1、近世代数期末考试题卷库.世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、设ABR(实数集)，如果A到B的映射：xx2，xR，则是从A到B的（ c）A、满射而非单射 B、单射而非满射C、一一映射 D、既非单射也非满射2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合AB中含有（ d ）个元素。A、2 B、5 C、7 D、103、在群G中方程ax=b，ya=b，a,bG都有解，这个解是（b）乘法来说A、不是唯一 B、唯一的 C、不一定唯一的 D、相
2、同的(两方程解一样)4、当G为有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（c）A、不相等 B、0 C、相等 D、不一定相等。5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（d ）A、倍数 B、次数 C、约数 D、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、设集合A=-1,0,1；B=1,2，则有BA=。2、若有元素eR使每aA，都有ae=ea=a，则e称为环R的单位元。3、环的乘法一般不交换。如果环R的乘法交换，则称R是一个交换环。4、偶数环是整数环的子环。5、一个集合A的若干个-变换的乘法作成的群叫做A的一个变换全。6、每一
3、个有限群都有与一个置换群同构。7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是1，元a的逆元是a-1。8、设I和S是环R的理想且ISR，如果I是R的最大理想，那么-。9、一个除环的中心是一个-域-。三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）矩阵，且A=B+C。若令有A=B+C，这里B和C分别为对称矩阵和反对称矩阵，则写成对换的乘积。2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。奇1、解：把和写成不相杂轮换的乘积：=(1653)(247)(8) =(123)(48)(57)(6)可知为奇置换，为偶置换。 和可以写成如下对换的乘积：=(13)(
4、15)(16)(24)(27) =(13)(12)(48)(57)1 1B= (A+A) C= (A-A)2 22解：设A是任意方阵，令 ， ，则B是对称矩阵，而C是反对称1 1 1 1.下载可编辑.1 11 13、设集合Mm=0,1,2,m-1,m(m1)，定义Mm中运算“+m”为a+mb=(a+b)(modm),则（Mm，+m）是不是群，为什么？四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、设G是群。证明：如果对任意的xG，有x2=e，则G是交换群。2、假定R是一个有两个以上的元的环，F是一个包含R的域，那么F包含R的一个商域。1、对于G中任意元x，y，由于(xy
5、)2=e，所以xy=(xy)-1=y-1x-1=yx（对每个x，从x2=e可得x=x-1）。2、证明在F里ab-1=b-1a=ab(a,bR,b0)有意义，作F的子集-ab-Q显然是R的一个商域 证毕。近世代数模拟试题二一、单项选择题二、1、设G有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（c）是子群。a e ea ,a3A、 B、,e C、 D、,a,a32、下面的代数系统（G，*）中，（d ）不是群A、G为整数集合，*为加法 B、G为偶数集合，*为加法C、G为有理数集合，*为加法 D、G为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（ b ）A、a*b=a-b B、a*b
6、=maxa,b C、a*b=a+2b D、a*b=|a-b|4、设1、2、3是三个置换，其中1=（12）（23）（13），2=（24）（14），3=（1324），则3=（b）A、 21 B、12 C、22 D、215、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ a）。A、不可能是群 B、不一定是群C、一定是群 D、是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、凯莱定理说：任一个子群都同一个-变换全-同构。2、一个有单位元的无零因子-交换环-称为整环。3、已知群G中的元素a的阶等于50，则a4的阶等于-25-。.下载可编辑.4、a的阶若
7、是一个有限整数n，那么G与-模n乘余类加群-同构。5、A=1.2.3 B=2.5.6那么AB=-2-。6、若映射既是单射又是满射，则称为-双射-。7、叫做域F的一个代数元，如果存在F的-不都等于林-a0,a1,an使得a0+a1+ann=0。8、a是代数系统(A,0)的元素，对任何xA均成立xa=x，则称a为-单位元-。9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、-消去律成立-。10、一个环R对于加法来作成一个循环群，则P是-。三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设集合A=1,2,3G是A上的置换群，H是G的子群，H=I,
8、(12)，写出H的所有陪集。2、设E是所有偶数做成的集合，“”是数的乘法，则“”是E中的运算，（E，）是一个代数系统，问（E，）是不是群，为什么？1、解：H的3个右陪集为：I,(12)，(123)，(13)，(132)，(23)H的3个左陪集为：I,(12)，(123)，(23)，(132)，(13)2、答：（E，）不是群，因为（E，）中无单位元。3、解方法一、辗转相除法。列以下算式：a=b+102b=3102+85102=185+17由此得到(a,b)=17,a,b=ab/17=11339。然后回代：17=102-85=102-(b-3102)=4102-b=4(a-b)-b=4a-5b.所
9、以p=4,q=-5.四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、证明设e是群的幺元。令xa1*b，则a*xa*(a1*b)(a*a1)*be*bb。所以，xa1*b是a*xb的解。若xG也是a*xb的解，则xe*x(a1*a)*xa1*(a*x)a1*bx。所以，xa1*b是a*xb的惟一解。2、容易证明这样的关系是Z上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合Z记为Zm，每个整数a所在的等价类记为a=xZ；mxa或者也可记为a，称之为模m剩余类。若mab也记为ab(m)。当m=2时，Z2仅含2个元：0与1。四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共2
10、5分）1、若是群，则对于任意的a、bG，必有惟一的xG使得a*xb。2、设m是一个正整数，利用m定义整数集Z上的二元关系：a b当且仅当mab。.下载可编辑.近世代数模拟试题三一、单项选择题1、6阶有限群的任何子群一定不是（ c ）。A、2阶 B、3阶 C、4阶 D、6阶2、设G是群，G有（c）个元素，则不能肯定G是交换群。A、4个 B、5个 C、6个 D、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（ d ）。4、下列哪个偏序集构成有界格（d ）A、偶数 B、奇数 C、4的倍数 D、2的正整数次幂A、（N,） B、（Z,）C、（2,3,4,6,12,|（整除关系） D、(P(A),)5、设S3(
11、1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（a）A、(1)，(123)，(132) B、12)，(13)，(23)C、(1)，(123) D、S3中的所有元素二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、群的单位元是-的，每个元素的逆元素是-的。2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则f-1f(a)=-a-。3、区间1，2上的运算ab=mina,b的单位元是-2-。4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=24。5、环Z的零因子有- -。86、一个子群H的
12、右、左陪集的个数-相等-。7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的-商权-。8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的-特征-。9、设群G中元素a的阶为m，如果an=e，那么m与n存在整除关系为-mIn-。三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、S，S是A的子环，则SS也是子环。S+S也是子环吗？1 2 1 2 1 23、设有置换=(1345)(1245)，=(234)(456)S6。1求和-1；2确定置换和-1的奇偶性。群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分
13、类进行计算：例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，等等，可得总共8种。2、证由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,bS1S2有a-b,abS1S2：.下载可编辑.因为S1，S2是A的子环，故a-b,abS1和a-b,abS2，因而a-b,abS1S2，所以S1S2是子环。S1+S2不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例：3、解：1=(1243)(56)，-1=(16524)；2两个都是偶置换。四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。2、M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e。1、
14、证明：假定是R的一个理想而不是零理想，那么a0，由理想的定义a-1a=1，因而R的任意元b=b1这就是说=R，证毕。2、证必要性：将b代入即可得。充分性：利用结合律作以下运算：ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e，ba=(ab2a)ba=ab2(aba)=ab2a=e，近世代数模拟试题四一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合AB中含有（ d ）个元素。A.2 B.5C.7 D.102.设
15、ABR(实数集)，如果A到B的映射：xx2，xR，则是从A到B的（ c ）A.满射而非单射 B.单射而非满射C.一一映射 D.既非单射也非满射3.设S(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)，那么，在S中可以与(123)交换的3 3所有元素有（ a ）.下载可编辑.A.(1)，(123)，(132) B.(12)，(13)，(23)C.(1)，(123) D.S中的所有元素34.设Z是以15为模的剩余类加群，那么，Z的子群共有（ d ）个。15 15A.2 B.4C.6 D.85.下列集合关于所给的运算不作成环的是（ b ）A.整系数多项式全体Zx关于多项式的加法与乘法B.
16、有理数域Q上的n级矩阵全体M(Q)关于矩阵的加法与乘法nC.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“”：m，nZ，mn0D.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“”：m，nZ，mn1二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6.设“”是集合A的一个关系，如果“”满足_，则称“”是A的一个等价关系。7.设(G，)是一个群，那么，对于a，bG，则abG也是G中的可逆元，而且(ab)1_。8.设(23)(35)，(1243)(235)S，那么_(表示成若干个没有5公共数字的循环置换之积)。9.如果G是一个含有15个元素的群，那么，根据Lagrang
17、e定理知，对于aG，则元素a的阶只可能是_5,15,1,3,_。10.在3次对称群S中，设H(1)，(123)，(132)是S的一个不变子群，则商群G/H3 3中的元素(12)H_。11.设Z0，1，2，3，4，5是以6为模的剩余类环，则Z中的所有零6 6因子是_2,3,4_。12.设R是一个无零因子的环，其特征n是一个有限数，那么，n是_。13.设Zx是整系数多项式环，(x)是由多项式x生成的主理想，则(x)_。14.设高斯整数环Ziabi|a，bZ，其中i21，则Zi中的所有单位是_。15.有理数域Q上的代数元2+3在Q上的极小多项式是_。三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分
18、）16.设Z为整数加群，Zm为以m为模的剩余类加群，是Z到Zm的一个映射，其中：kk，kZ，验证：是Z到Zm的一个同态满射，并求的同态核Ker。17.求以6为模的剩余类环Z0，1，2，3，4，5的所有子环，并说明6这些子环都是Z的理想。618.试说明唯一分解环、主理想环、欧氏环三者之间的关系，并举例说明唯一分解环未必.下载可编辑.是主理想环。.四、证明题（本大题共3小题，第19、20小题各10分，第21小题5分，共25分）19.设Ga，b，c，G的代数运算“”由右边的运算表给出，证明：(G，)作成一个群。 a b ca a b cb b c ac c a b20.设cbda0c0已知R关于矩阵
19、的加法和乘法作成一个环。证明：I是R的一个子环，但不是理想。21.设(R，)是一个环，如果(R，)是一个循环群，证明：R是一个交换环。近世代数模拟试题一 参考答案一、单项选择题。1、C；2、D；3、B；4、C；5、D；二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)。1、(1,-1)1,0)1,1)(2,-1)(2,0)(2,1)；2、单位元；3、交换环；4、整数环；5、变换群；6、同构;7、零、-a；8、S=I或S=R；9、域；三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、解：把和写成不相杂轮换的乘积：=(1653)(247)(8) =(123)(48)(57)(6)可知为奇置换
20、，为偶置换。 和可以写成如下对换的乘积：=(13)(15)(16)(24)(27) =(13)(12)(48)(57)2、解：设A是任意方阵，令B=121(A+A)C=(A-A)，则B是对称矩阵，而C是反对称1 1 1 11 11 13、答：（Mm，+m）不是群，因为Mm中有两个不同的单位元素0和m。四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、对于G中任意元x，y，由于(xy)2=e，所以xy=(xy)-1=y-1x-1=yx（对每个x，从x2=e可得x=x-1）。2、证明在F里.下载可编辑.ab-1=b-1a=ab(a,bR,b0)有意义，作F的子集-ab-Q显然
21、是R的一个商域 证毕。近世代数模拟试题二 参考答案一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)。1、C；2、D；3、B；4、B；5、A；二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)。1、变换群；2、交换环；3、25；4、模n乘余类加群；5、2；6、一一映射；7、不都等于零的元；8、右单位元；9、消去律成立；10、交换环；三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、解：H的3个右陪集为：I,(12)，(123)，(13)，(132)，(23)H的3个左陪集为：I,(12)，(123)，(23)，(132)，(13)2、答：（E，）不是群，因为（E，）中无单位元。3、解
22、方法一、辗转相除法。列以下算式：a=b+102b=3102+85102=185+17由此得到(a,b)=17,a,b=ab/17=11339。然后回代：17=102-85=102-(b-3102)=4102-b=4(a-b)-b=4a-5b.所以p=4,q=-5.四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、证明设e是群的幺元。令xa1*b，则a*xa*(a1*b)(a*a1)*be*bb。所以，xa1*b是a*xb的解。若xG也是a*xb的解，则xe*x(a1*a)*xa1*(a*x)a1*bx。所以，xa1*b是a*xb的惟一解。2、容易证明这样的关系是Z上的一个
23、等价关系，把这样定义的等价类集合Z记为Zm，每个整数a所在的等价类记为a=xZ；mxa或者也可记为a，称之为模m剩余类。若mab也记为ab(m)。当m=2时，Z2仅含2个元：0与1。近世代数模拟试题三 参考答案一、单项选择题1、C；2、C；3、D；4、D；5、A；二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、唯一、唯一；2、a；3、2；4、24；5、 ；6、相等；7、商群；8、特征；9、mn；三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、解在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，等等，.下载可编辑.可得总共8种。.2、证由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,bS1S2有a-b,abS1S2：因为S1，S2是A的子环，故a-b,abS1和a-b,abS2，因而a-b,abS1S2，所以S1S2是子环。S1+S2不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例：3、解：1=(1243)(56)，-1=(16524)；2两个都是偶置换。四、证明题（本大题共2小题，第
