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控制工程基础
第六章控制系统的频率特性
采用频率特性法原因:
(1)稳定性分析
(2)系统校正
(3)系统模型建立
第一节频率特性的基本概念
一.概念
1.频率响应:
指控制系统对正弦输入信号的稳态正弦输出响应。
例:
如图所示的机械系统,K为弹簧刚度系数,单位N/m,C是阻尼系数,单位m/s.N,当输入力为正弦信号f(t)=Fsinwt时,求其位移x(t)的稳态响应
解:
列写力平衡方程f(t)
Cdx(t)
kx(t)
f(t)k
c
x(t)
dt
其传递函数为:
X(s)
1
1
1
K
K
G(s)
CsKC
s1
Ts1
F(s)
K
f(t)
Fsin
tF(s)
F
2
2
s
输出位移X(s)
G(s)F(s)
1
K
F
C
s
1
s2
2
K
k1
K2s
K3
Ts
1
s2
2
F
K
TF
K2e
t
x(t)
1
sin(tarctg
T)
1
2
T
T2
2
T
上式中第一项为稳态分量,第二项为瞬态分量,当时间
t趋向于无穷大时
为零。
系统稳态输出为:
F
x(t)
K
sin(
t
arctgT)
1
T2
2
A()F
sin[
t(
)]
Xsin[t()]
其幅值为:
相位为:
X
1
X
A(
)FA(
K
)
1(T)2
F
(
)
arctg
T
从上式的推导可以看出,频率响应是时间响应的一种特例。
正弦输入引起
的稳态输出是频率相同的正弦信号,输入输出幅值成比例A(),相位
(
)都是频率
的函数,而且与系统的参数
c,k有关。
二
频率特性及其求解方法
1.频率特性:
指线性系统或环节在正弦函数作用下,稳态输出与输入幅值
比A()和相位差
()随输入频率的变化关系。
用
G(j
)表示。
G(j)
x(t)
XImej[t
()]
A(
)ej()
f(t)
FImej
t
X
1
K
A()G(j)
1(T)2
F
()G(j)arctgT
G(j)称为系统的频率特性,其模A()称为系统的幅频特性,相位差
()称为相频特性
2.频率特性求解
(1)根据已知系统的微分方程或传递函数,输入用正弦函数代入,求其稳态解,取输出和输入的复数比
(2)根据传递函数来求取
(3)通过实验测得
令传递函数中的sj则得到频率表达式G(j),又由于G(j)是一
个复变函数,可在复平面上用复数表示,分解为实部和虚部,即:
G(jw)U(w)jV(w)A(w)ej(w)
U(w)
A(w)cos
(w)
V(w)
A(w)sin
(w)
A(w)
U2(w)V2(w)
(w)
arctgV(w)
U(w)
例:
某闭环系统传递函数为
G(s)
7
2
,当输入为1sin(2t45)
3s
7
3
时,试求系统稳态输出。
解:
正弦输入信号系统输出与输入频率相同,其输出幅值与相位取决于系统幅频特性与相频特性
G(jw)
7
7
(w)
3
3jw
2
A(w)
4
arctg(w)
9w2
2
xi(t)
1sin(2t
45
)
7
3
系统输出幅值为:
X
1A(w)
2
7
4
输出相位:
(2)
45
arctg(3
2)45
0
3
2
3
系统输出响应为:
y(t)
Xsin(2t)
2
sin
2t
3
4
3
3、频率特性的表示法
用频率特性中的幅值和相位随频率的变化规律来描述曲线,从而通过曲线
的某些点可判断系统的稳定性和快速性及其它品质以便于对系统进行分析与综合。
频率法是一种直观的图解法,表示形式为:
(1)奈魁斯特图(Nyquist)或称幅相频率特性,它通过极坐标来表示频率特性G(jw)中的幅值和相位间的关系。
(2)伯德图(Bode),又称对数频率特性图,它由半对数坐标系上来表示的幅频特性和相位特性图组成。
第二节奈魁斯特图的绘制(Nyquist)
一、奈魁斯特图
奈魁斯特图是极坐标图,但一般情况下,在复平面下绘制
A()和()的变化
Im
Re
二、典型环节的奈魁斯特曲线
1.比例环节
传递函数
G(s)
K
Im
频率特性
G(jw)
K
A(w)
U2(w)
V2(w)K
kRe
Im
(w)
arctgV(w)
0
U(w)
2.积分环节
传递函数:
G(s)
1
s
G(jw)
1
j1
频率特性;
jw
w
A(w)
U2(w)V2(w)
1
(w)
arctgV(w)
90
w
U(w)
3.微分环节:
传递函数:
G(s)
s
Im
频率特性:
G(jw)
jw
w
A(w)
U2(w)V2(w)
w
Re
(w)
arctgV(w)
90
U(w)
4.惯性环节:
1
传递函数:
G(S)
Ts1
11jTw
G(jw)
频率特性:
Tjw11(Tw)2
U(w)
1
V(w)
Tw
Im
1(Tw)2
1(Tw)2
(0.5,j0)
A(w)
U2(w)V2(w)
1
Re
1
(Tw)2
w
(w)arctgV(w)
arctg(Tw)
U(w)
5.一阶微分
Im
传递函数:
G(S)Ts1
频率特性:
G(S)Tjw1
U(w)1V(w)Tw
w
G(jw)
(1,j0)Re
A(w)U2(w)V2(w)1(Tw)2
(w)arctgV(w)
arctg(Tw)
U(w)
6.振荡环节
传递函数:
1
2
G(s)
n
22
2
2
T
s2Ts1
s2ns
n
频率特性:
G(s)
1
1
2(jw)22T(jw)1
1(Tw)2
j2Tw
T
1(Tw)2j2Tw[1(Tw)2]2(2Tw)2
Im
1
(Tw)2
U(w)
2]2
(2Tw)2
[1(Tw)
(1,j0)
Re
V(w)
2Tw
ξ=0.8
ξ=0.5
w
[1(Tw)2]2(2Tw)2
ξ=0.3
A(w)U2(w)V2(w)
1
[1
(Tw)2]2(2Tw)2
(w)arctgV(w)
arctg[
2wT
2]
U(w)
1(Tw)
当小到一定程度时其振幅会有峰值出现,称这个峰值为谐振峰值Mr,所
对应的频率为谐振频率wr。
dA(w)
d
[
1
]
0
dw
dw
[1
(Tw)2]2
(2Tw)
2
wwr
wr
1
1
22
wn122
T
谐振峰值出现的条件(0.707)
1
1
MrA(wr)
(2Tw)2
21
[1(Tw)2]2
2
wwr
当0,wwn时,A(w)=∞
当
0,w
1
wn时,A(w)
2
wwn系统幅相频率特性为:
G(jwn)j1
2
幅角为-90
因此得到G(jwn)与虚轴交点处的频率是wn。
(此交点很有意义)
7.二阶微分
传递函数:
G(s)T2s2
2Ts1
频率特性:
G(jw)T2(jw)22Tjw1
实频特性:
虚频特性:
U(w)1(Tw)2
V(w)2Tw
A(w)
U2(w)
V2(w)
[1(Tw)2]2
(2Tw)2
(w)
arctgV(w)
arctg
2
wT
U(w)
1
(Tw)2
Im
I
ξ3
w
ξ2
ξ1<ξ2<ξ3
(1,j0)
ξ1
Re
8.延时环节
(1,j0)
w
传递函数
G(s)esRe
频率特性
实频特性:
虚频特性:
G(jw)ejwcosTwjsinTw
U(w)cosTw
V(w)sinTw
A(w)
U2(w)V2(w)
1
(w)
arctgV(w)
Tw
U(w)
线性变化
三、开环奈氏曲线的绘制
1、开环的幅频和相频
j
k
2s2
k
(cs1)
(c
2
1
2
G1(s)H(s)
c1
1
c2
1
m1
m2
2s2
sv
(Ta
s1)
(Ta
2
1
2
a1
1
a2
1
c2c2s1)
a2a2s1)
G(j)H(j)A()ej
1(
)A()ejH()
1
1
H
n
n
j
i()
A(
)e
i1
i
i1
n
开环幅频A()Ai()
i1
nIm
开环相频()i()
i1
2、开环奈氏曲线的绘制Re
(1)0型系统:
A(0)k(0)0
A()0()(nm)(90)
(2)I型系统:
A(0)
(0)
90
A()
0
(0)
(nm)(90)
(3)II型系统:
A(0)
(0)
180
A()
0
()
(nm)(90)
上式中,m为开环传递函数分子多项式的最高指数,
母多项式的最高指数。
例:
绘制下列开环传递函数的奈氏曲线。
Im
Re
w
Im
w
Re
n为开环传递函数分
10
(1)G1(s)H(s)
(s1)(s0.5)
10
(2)G1(s)H(s)
s(s1)(s0.5)
10(s5)
(3)G1(s)H(s)
s2(s1)
NyquistDiagrams
From:
U
(1)
15
10
5
Im
agiTo:
narY(10
y
-5
-10
-15
-5
0
5
10
15
20
RealAxis
NyquistDiagrams
From:
U
(1)
25
20
15
10
Im
agi
5
To:
na
0
Y(
ry
-5
-10
-15
-20
-25
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
-1
RealAxis
NyquistDiagrams
From:
U
(1)
5000
4000
3000
2000
Im
agiTo:
naY(
ry
1000
0
-1000
-2000
-3000
-4000
-5000
-6-5-4-3-2-10
x105
RealAxis
Eg1.已知系统传递函数为G(s)
s
1,试画其奈氏曲线图
Ts
1
解:
将传递函数化为频率特性
jw
11Tw2
j(T
)w
G(jw)
1
1
(Tw)2
Tjw
实部U(w)
1
Tw2
虚部:
V(w)
jw
1
(T
)w
1
(Tw)2
Tjw
1
1
(Tw)2
幅频特性:
A(w)
U2(w)V2(w)
1
(w)2
1
(Tw)2
相频特性:
(w)
arctgV(w)
(T
)w
arctgw
arctg(Tw)
U(w)
1
Tw2
当w=0
A(w)=1
(w)
0
w→∞
A(w)
T
()
0
要画准确的奈氏曲线需计算不同频率下的幅值和相位,或实部和虚部得到
相应的各点,将各点顺次连接得到奈氏曲线。
若系统传递函数是由多个环节组成,幅频特性曲线其幅值是各环节幅值的
乘积,相角是各环节相位相加。
即:
(
)
A1
(
w
)
A2
(
)
An
(
)
Aw
w
w
(w)
1(w)
2(w)
n(w)
jV
τ>T
w
(1,j0)
U
w
τ 第三节对数频率特性图(Bode) 一、Bode图: 奈魁斯特曲线不能表示系统各环节的单独作用,而且计算工作量较大, 因此对频率特性中的幅频特性取对数,各环节的幅值相乘变为相加,曲线 可用直线代替,这样绘出的图形简单、方便、直观地表示各环节的作用。 对数幅频特性: 将幅频特性A(w)取常用对数后再乘以20,记为: L(w)=20lgA(w),单位(dB) 对数幅频特性坐标系中,横坐标采用对数分度,但标注时只标w,纵轴采 用线性分度。 横轴上频率满足的关系: 若在横轴上任取两点,使两点间的频率满足 w2/w1=10,则 w1与 w2间距离为 1=lg(w2/w1)=lg10 一个 10倍频程: 不论坐标轴的起点是多少,只要角频率 w变化 10倍,在横轴上线段长度均为 1个单位( dec)。 L()dB 40 20 0.11101001000 对数相频不取对数,但对数相频图横轴也采用对数轴,Bode图坐标如图所 示。 采用Bode图的优点: 便于在较宽的范围内研究频率特性。 二、典型环节的Bode图 1.比例环节 L()dB 频率特性 G(jw)K 20lgk A(w) U2(w)V2(w)K () L(w)20lgA(w)20lgK (w)arctgV(w)0U(w) 不改变曲线的形状,只改变L(w)的大小。 2.积分环节 L(w)/dB 20-20dB/dec 0.11 () G(jw) 1 j1 jw w L(w) 20lgA(w) 20lg1 20lgw w (w) arctgV(w) 90 U(w) 3.微分环节: 频率特性: G(jw)jw L(w)20lgA(w)20lgw (w)arctgV(w) 90 U(w) 4.惯性环节: 1 1 jTw G(jw) 11 (Tw)2 Tjw A(w)U2(w) V2(w) 1 1 (Tw)2 L(w)/dB 0.11 20dB/dec -20 () 90° L(w)/dB 1/T 0 -20dB/dec () 1/T -45° L(w) 20lgA(w) 20lg 1 (Tw)2 1 20lg1 (Tw)2 (w) arctgV(w) arctg(Tw) U(w) 当wT<<1(低频)L(w)=0(w)0 wT>>1(高频)L(w)≈-20lgTw w=1/T L(w) 20lg1 1 20lg2 (1 )45 T 当w2/w1=10时(频率变化 10倍幅值变化多少), L(w2) L(w1) 20lgTw2 20lgTw1 2020lgTw20lgTw 11 20dB wT=1/T时曲线误差最大为-3dB,称wT为转折频率。 惯性环节具有低通滤波的作用。 5.一阶微分 L(w)/dB G(j )jT 1 20dB/dec L(w) 20lgA(w) 20lg1(Tw)2 0 (w)arctgV(w)arctg(Tw) U(w) 1/T () 90° 45° 1/T 6.振荡环节 G(jw) 1 1 2 T(jw)1 1(Tw)2 j2Tw T2(jw)2 1 (Tw)2 j2Tw [1 (Tw)2]2 (2Tw)2 L(w)20lgA(w)20lg 1 [1(Tw)2]2(2Tw)2 (w)arctgV(w) arctg[ 2wT ] U(w) 1(Tw)2 当wT<<1(低频),L(w)=0,(w)0 wT>>1(高频)L(w)≈-20lg(Tw) 2=-40lgTw ,时高频段L(w)≈0, (1 )90 w=1/T=w
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- 控制工程 基础