1、控制工程基础第六章 控制系统的频率特性采用频率特性法原因：（1）稳定性分析（2）系统校正（3）系统模型建立第一节 频率特性的基本概念一概念1频率响应：指控制系统对正弦输入信号的稳态正弦输出响应。例：如图所示的机械系统， K 为弹簧刚度系数，单位 N/m ，C 是阻尼系数，单位 m/s.N,当输入力为正弦信号 f(t)=Fsinwt 时，求其位移 x(t) 的稳态响应解：列写力平衡方程 f(t)C dx ( t )kx ( t )f ( t ) kcx(t)dt其传递函数为：X(s)111KKG(s)Cs K Cs 1Ts 1F(s)Kf (t)F sint F (s)F22s输出位移 X (s
2、)G(s)F (s)1KFCs1s22Kk1K 2 sK 3Ts1s22FKT FK2 etx(t)1sin( t arctgT )12TT22T上式中第一项为稳态分量，第二项为瞬态分量，当时间t 趋向于无穷大时为零。系统稳态输出为：Fx(t)Ksin(tarctg T)1T 22A( )Fsint ()X sin t ( )其幅值为：相位为：X1XA()F A(K)1(T)2F()arctgT从上式的推导可以看出，频率响应是时间响应的一种特例。正弦输入引起的稳态输出是频率相同的正弦信号，输入输出幅值成比例 A( )，相位() 都是频率的函数，而且与系统的参数c,k 有关。二频率特性及其求解方
3、法1频率特性： 指线性系统或环节在正弦函数作用下， 稳态输出与输入幅值比 A( )和相位差( ) 随输入频率的变化关系。用G( j) 表示。G( j )x(t)X Im ej t( )A()ej ( )f (t)F Im ejtX1KA( ) G( j )1(T)2F( ) G ( j ) arctg TG( j ) 称为系统的频率特性，其模 A( )称为系统的幅频特性，相位差( ) 称为相频特性2频率特性求解（1）根据已知系统的微分方程或传递函数， 输入用正弦函数代入， 求其稳态解，取输出和输入的复数比（2）根据传递函数来求取（3）通过实验测得令传递函数中的 s j 则得到频率表达式 G(
4、j ) ，又由于 G( j ) 是一个复变函数，可在复平面上用复数表示，分解为实部和虚部，即：G( jw) U(w) jV (w) A(w)ej (w)U ( w)A( w) cos( w)V ( w )A( w ) sin( w )A(w)U 2(w) V 2(w)(w)arctg V (w)U (w)例：某闭环系统传递函数为G(s)72，当输入为 1 sin( 2 t 45 )3s73时，试求系统稳态输出。解：正弦输入信号系统输出与输入频率相同，其输出幅值与相位取决于系统幅频特性与相频特性G( jw)77(w)33jw2A(w)4arctg( w)9w22xi (t)1 sin( 2 t4
5、5)73系统输出幅值为： X1 A(w)274输出相位：( 2)45arctg ( 32) 450323系统输出响应为：y(t )X sin( 2 t)2sin2 t3433、频率特性的表示法用频率特性中的幅值和相位随频率的变化规律来描述曲线，从而通过曲线的某些点可判断系统的稳定性和快速性及其它品质以便于对系统进行分析与综合。频率法是一种直观的图解法，表示形式为：（1） 奈魁斯特图（ Nyquist ）或称幅相频率特性，它通过极坐标来表示频率特性 G(jw) 中的幅值和相位间的关系。（2） 伯德图（ Bode），又称对数频率特性图，它由半对数坐标系上来表示的幅频特性和相位特性图组成。第二节 奈
6、魁斯特图的绘制（ Nyquist ）一、奈魁斯特图奈魁斯特图是极坐标图，但一般情况下，在复平面下绘制A( )和 ( )的变化ImRe二、典型环节的奈魁斯特曲线1比例环节传递函数G(s)KIm频率特性G( jw)KA(w)U 2 (w)V 2 (w) KkReIm(w)arctg V (w)0U (w)2积分环节传递函数： G(s)1sG( jw)1j 1频率特性；jwwA(w)U2 (w) V 2 (w)1(w)arctg V (w)90wU (w)3微分环节：传递函数： G(s)sIm频率特性： G( jw)jwwA(w)U 2 (w) V2(w)wRe(w)arctg V (w)90U (
7、w)4惯性环节：1传递函数： G(S)Ts 11 1 jTwG( jw)频率特性： Tjw 1 1 (Tw)2U(w)1V(w)TwIm1 (Tw)21 (Tw)2(0.5,j0)A(w)U 2 (w) V 2 (w)1Re1(Tw)2w(w) arctg V (w)arctg(Tw)U (w)5.一阶微分Im传递函数： G(S) Ts 1频率特性： G(S) T j w1U (w) 1 V (w) TwwG(jw)(1,j0) ReA(w) U 2 (w) V2 (w) 1 (Tw)2( w) arctg V ( w)arctg (Tw )U ( w)6.振荡环节传递函数：12G(s)n2
8、222Ts 2 Ts 1s 2 nsn频率特性：G(s)112 ( jw)2 2 T( jw) 11 (Tw)2j2 TwT1(Tw)2 j2 Tw 1 (Tw)2 2 (2 Tw)2Im1(Tw)2U (w)2 2(2 Tw) 21 (Tw)(1,j0)ReV(w)2 Tw=0.8=0.5w1 (Tw)2 2 (2 Tw)2=0.3A(w) U 2 (w) V 2 (w)11(Tw)2 2 (2 Tw)2(w) arctg V (w)arctg2 wT2 U (w)1 (Tw)当 小到一定程度时其振幅会有峰值出现，称这个峰值为谐振峰值 Mr ，所对应的频率为谐振频率 wr。dA( w)d10
9、dwdw1(Tw) 2 2( 2 Tw)2w wrw r112 2wn 1 2 2T谐振峰值出现的条件（ 0.707 ）11M r A(wr )( 2 Tw) 22 11 (Tw)2 22w wr当0 ， w wn 时， A(w) =当0， w1wn 时， A( w)2w wn 系统幅相频率特性为： G ( jw n ) j 12幅角为 -90因此得到 G(jw n)与虚轴交点处的频率是 wn 。 （此交点很有意义）7.二阶微分传递函数： G(s) T 2s22 Ts 1频率特性： G(jw) T2(jw)2 2 Tjw 1实频特性：虚频特性：U (w) 1 (Tw)2V (w) 2 TwA(
10、w)U 2 (w)V 2 (w)1 (Tw) 2 2(2 Tw) 2(w)arctg V (w)arctg2wTU (w)1(Tw) 2ImI 3w 212 Tw(1,j0)UwT第三节 对数频率特性图（ Bode）一、 Bode 图：奈魁斯特曲线不能表示系统各环节的单独作用， 而且计算工作量较大，因此对频率特性中的幅频特性取对数，各环节的幅值相乘变为相加，曲线可用直线代替，这样绘出的图形简单、方便、直观地表示各环节的作用。对数幅频特性：将幅频特性 A(w) 取常用对数后再乘以 20 ，记为：L(w)=20lgA(w), 单位 (dB)对数幅频特性坐标系中，横坐标采用对数分度，但标注时只标 w
11、，纵轴采用线性分度。横轴上频率满足的关系：若在横轴上任取两点，使两点间的频率满足w2/w1=10，则w1 与w2 间距离为1=lg(w 2/w1)=lg10一个10 倍频程：不论坐标轴的起点是多少，只要角频率w 变化10 倍，在横轴上线段长度均为1 个单位（dec）。L( ) dB40200.1 1 10 100 1000对数相频不取对数，但对数相频图横轴也采用对数轴， Bode 图坐标如图所示。采用 Bode 图的优点：便于在较宽的范围内研究频率特性。二、典型环节的 Bode 图1比例环节L( ) dB频率特性G( jw) K20 lg kA(w)U 2 (w) V 2 (w) K( )L(
12、w) 20lgA(w) 20lgK(w)arctgV(w) 0 U(w)不改变曲线的形状，只改变 L(w) 的大小。2.积分环节L(w)/dB20 -20dB/dec0.1 1( )G( jw)1j 1jwwL(w)20lg A(w)20lg 120lgww(w)arctg V (w)90U (w)3微分环节：频率特性： G( jw) jwL(w) 20lg A(w) 20lgw(w) arctg V(w)90U (w)4惯性环节：11jTwG( jw)1 1(Tw)2TjwA(w) U 2(w)V2(w)11(Tw)2L(w)/dB0.1 120dB/dec-20( )90L(w)/dB1/
13、T0-20dB/dec( )1/T-45L(w)20lg A(w)20lg1(Tw)2120lg 1(Tw)2(w)arctg V (w)arctg (Tw)U (w)当 wT1 （高频） L(w) -20lgTww=1/TL(w)20lg 1120lg 2( 1) 45T当 w2/w1=10 时（频率变化10 倍幅值变化多少），L(w2 )L(w1)20lgTw220lgTw120 20lgTw 20lgTw1 120dBwT=1/T 时曲线误差最大为 -3dB ，称 wT 为转折频率。惯性环节具有低通滤波的作用。5一阶微分L(w)/dBG( j) jT120dB/decL(w)20lg A(w)20lg 1 (Tw)20(w) arctg V (w) arctg (Tw)U (w)1/T( )90451/T6振荡环节G( jw)112T( jw) 11 (Tw)2j2 TwT 2 ( jw)21(Tw)2j 2 Tw1(Tw)2 2(2 Tw)2L(w) 20lg A(w) 20lg11 (Tw)2 2 (2 Tw)2(w) arctg V (w)arctg 2 wTU (w)1 (Tw) 2当 wT1 （高频） L(w) -20lg(Tw)2=-40lgTw，时高频段 L(w) 0，( 1) 90w=1/T=w
