相似三角形六大证明技巧.docx
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相似三角形六大证明技巧
第2讲相似三角形6大证明技巧
模块一]相似三角形证明方法
相似三角形的判定方法总结:
1.平行于三角形一边的直线与其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似
2.三边成比例的两个三角形相似•(SSS)
3.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似•(SAS)
4.两角分别相等的两个三角形相似.(AA)
5.斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL)
相似三角形的模型方法总结:
“反A”型与“反X”型.
示意图
结论
C厶
反A型:
如图,已知△ABC,ZADE=/CJUMDEs公CB
(AA),•••AEAC=ADAB.
若连CD、BE,进而能证明△ACDs^ABE(SAS)
反X型:
如图,已知角/BAO=/CDO,^UAAOBs/DOC
(AA),/OAOC=ODOB.若连AD,BC,进而能证明/AODs/BOC.
“类射影”与射影模型
示意图
结论
CB
类射影:
如图,已知△ABC,/ABD=/C,^U/ABDs/
ACB(AA),•AB2=ADAC.
C
/
、
K
射影定理
如图,已知/ACB=90°,CH丄AB于H,贝U
222
ACAHAB,BCBHBA,HCHAHB
AHB
13
14
“旋转相似”与“一线三等角”
示意图
结论
A
C
旋转相似:
ABAD
如图,已知△ABCs/ADE,则————,/
ACAE
BAC=/DAE,「./BAD=/CAE,
•••△BADs△:
AE(SAS)
DE
—
一线三等角:
如图,已知/A=/C=ZDBE,贝^ADABs/BCE(AA)
ABC
巩固练习
反A型与反X型
射影定理
15
模块二1比例式的证明方法
通过前面的学习,我们知道,比例线段的证明,离不开“平行线模型”(A型,X型,线束
型),也离不开上述的6种“相似模型”•但是,王老师认为,“模型”只是工具,怎样选择工具,怎样使用工具,怎样用好工具,取决于我们如何思考问题•合理的思维方法,能让模
型成为解题的利刃,让复杂的问题变简单。
在本模块中,我们将学比例式的证明中,会经常用到的思维技巧
技巧一:
三点定型法
技巧二:
等线段代换
技巧三:
等比代换
技巧四:
等积代换
技巧五:
证等量先证等比
技巧六:
几何计算
【例1】如图,平行四边形ABCD中,E是AB延长线上的一点,DE交BC于F,求证:
dccf-
AEAD
【例2】如图,△ABC中,BAC90,M为BC的中点,DMBC交CA的延长线于
D,交AB于E•求证:
AM2MDME
技巧二:
等线段代换
悄悄地替换比例式中的某条线段…
【例4】如图,在△ABC,AD平分ZBAC,AD的垂直平分线交AD于E,交BC的延长线
于F,求证:
FD2FBFC
ECAD•求证:
ACBECEAD-
17
【例6】如图,△ACB为等腰直角三角形,AB=AC,/BAC=90°,DAE=45°,求证:
2
ABBECD
延长BP交AC于E,交CF于F•求证:
BPPEPF.
技巧三:
等比代换
【例9]如图,在△ABC中,已知A90时,ADBC于D,E为直角边AC的中点,
过D、E作直线交AB的延长线于F.求证:
ABAFACDF•
A
【例10】如图,在△ABC中(AB>AC)的边AB上取一点D,在边AC上取一点E,使
19
ADAE,直线DE和BC的延长线交于点P.求证:
BPCECPBD
【例11】如图,△ABC中,BD、CE是高,EHBC于H、交BD于G、交CA的延长线于M.求证:
HEHGMH.
求证:
/AEF=ZC
CBDECD.
【例14】在Rt△ABC中,AD丄BC,P为AD中点,MN丄BC,求证MN2ANNC
技巧五:
证等量先证等比
【例15】已知,平行四边形ABCD中,E、F分别在直线AD、CD上,EF//AC,BE、BF
分别交AC于M、N.,求证:
AM=CN.
【例16】已知如图AB=AC,BD//AC,AB//CE,过A点的直线分别交BD、CE于D、E.求证:
AM=NC,MN//DE.
E
【例17】如图,△ABC为等腰直角三角形,点P为AB上任意一点,PF丄BC,PE丄AC,
21
AF交PE于N,BE交PF于M.,求证:
PM=PN,MN//AB.
【例18】如图,正方形BFDE内接于△ABC,CE与DF交于点N,AF交ED于点M,CE
与AF交于点P.求证:
(1)MN//AC;
(2)EM=DN.
【例20】(探)如图,梯形ABCD的底边AB上任取一点M,过M作MK〃BD,MN//AC,
分另U交AD、BC于K、N,连KN,分另U交对角线AC、BD于P、Q,求证:
KP=QN.
技巧六:
几何计算
【例21】(2016年四月调考)如图,在△ABC中,AC>AB,AD是角平分线,AE是中线,
BF丄AD于G,交AC于点M,EG的延长线交AB于点H.
(1)求证:
AH=BH,
23
【例22】(2016七一华源)如图:
正方形ABCD中,点E、点F、点G分别在边BC、AB、
CD上,/1=Z2=Z3=a.求证:
(1)EF+EG=AE
(2)求证:
CE+CG=AF
2
HCHAHB
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