相似三角形中证明技巧.doc
- 文档编号:2295495
- 上传时间:2023-05-03
- 格式:DOC
- 页数:27
- 大小:2.66MB
相似三角形中证明技巧.doc
《相似三角形中证明技巧.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《相似三角形中证明技巧.doc(27页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
相似三角形中的辅助线添加和相似三角形证明技巧
在添加辅助线时,所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形,或得到成比例的线段或得出等角,等边,从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。
主要的辅助线有以下几种:
一、作平行线
例1.如图,的AB边和AC边上各取一点D和E,且使AD=AE,DE延长线与BC延长线相交于F,求证:
证明:
过点C作CG//FD交AB于G
小结:
本题关键在于AD=AE这个条件怎样使用。
由这道题还可以增加一种证明线段相等的方法:
相似、成比例。
例2.如图,△ABC中,AB AB·DF=AC·EF。 分析: 证明等积式问题常常化为比例式,再通过相似三角形对应边成比例来证明。 不相似,因而要通过两组三角形相似,运用中间比代换得到,为构造相似三角形,需添加平行线。 方法一: 过E作EM//AB,交BC于点M,则△EMC∽△ABC(两角对应相等,两三角形相似)。 方法二: 如图,过D作DN//EC交BC于N 二、作垂线 3.如图从ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF,垂足分别为E、F,求证: 。 证明: 过B作BM⊥AC于M,过D作DN⊥AC于N∴∽ ∴∴ (1) 又∽∴∴ (2) (1)+ (2) 又∴AN=CM ∴ 三、作延长线 例5.如图,RtABC中,CD为斜边AB上的高,E为CD的中点,AE的延长线交BC于F,FGAB于G,求证: FG=CFBF 解析: 欲证式即由“三点定形”,ΔBFG与ΔCFG会相似吗? 显然不可能。 (因为ΔBFG为RtΔ),但由E为CD的中点,∴可设法构造一个与ΔBFG相似的三角形来求解。 不妨延长GF与AC的延长线交于H 则 ∴ 又ED=EC∴FG=FH又易证RtΔCFH∽RtΔGFB ∴∴FG·FH=CF·BF ∵FG=FH∴FG2=CF·BF 四、作中线 例6如图,中,AB⊥AC,AE⊥BC于E,D在AC边上,若BD=DC=EC=1,求AC。 解: 取BC的中点M,连AM∵AB⊥AC∴AM=CM∴∠1=∠C 又BD=DC∴∴ ∴∽∴又DC=1MC=BC ∴ (1) 又∽又∵EC=1∴ (2) 由 (1) (2)得,∴ 小结: 利用等腰三角形有公共底角,则这两个三角形相似,取BC中点M,构造与相似是解题关键 练习题 1、在△ABC中,D为AC上的一点,E为CB延长线上的一点,BE=AD,DE交AB于F。 求证: EF×BC=AC×DF 2、中,,AC=BC,P是AB上一点,Q是PC上一点(不是中点),MN过Q且MN⊥CP,交AC、BC于M、N,求证: 。 例1: 已知: 如图,△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于D. 求证: BC2=2CD·AC. 证法一(构造2CD): 如图,在AC截取DE=DC, ∵BD⊥AC于D, ∴BD是线段CE的垂直平分线, ∴BC=BE,∴∠C=∠BEC, 又∵AB=AC, ∴∠C=∠ABC. ∴△BCE∽△ACB. ∴,∴ ∴BC2=2CD·AC. 证法二(构造2AC): 如图,在CA的延长线上截取AE=AC,连结BE, ∵AB=AC, ∴AB=AC=AE. ∴∠EBC=90°, 又∵BD⊥AC. ∴∠EBC=∠BDC=∠EDB=90°, ∴∠E=∠DBC, ∴△EBC∽△BDC ∴即 ∴BC2=2CD·AC. 证法三(构造): 如图,取BC的中点E,连结AE,则EC=. 又∵AB=AC, ∴AE⊥BC,∠ACE=∠C ∴∠AEC=∠BDC=90° ∴△ACE∽△BCD. ∴即. ∴BC2=2CD·AC. 证法四(构造): 如图,取BC中点E,连结DE,则CE=. ∵BD⊥AC,∴BE=EC=EB, ∴∠EDC=∠C 又∵AB=AC,∴∠ABC=∠C, ∴△ABC∽△EDC. ∴J即. ∴BC2=2CD·AC. 例2.已知梯形中,,,是腰上的一点,连结 (1)如果,,,求的度数; (2)设和四边形的面积分别为和,且,试求的值 (1)设,则 解法1 如图,延长、交于点 ,,,为的中点 又,又为等边三角形故 解法2 如图 作分别交、于点、 则,得平行四边形 同解法1可证得为等边三角形 故 解法3 如图 作交于,交的延长线于 作,分别交、于点、 则,得矩形 , 又,故为、的中点 以下同解法1可得是等边三角形 故 解法4 如图, 作,交于,作,交于,得平行四边形,且 读者可自行证得是等边三角形,故 解法5 如图 延长、交于点,作,分别交、于点、,得平行四边形 可证得为的中点,则,故 得为等边三角形,故 解法6 如图(补形法), 读者可自行证明是等边三角形, 得 (注: 此外可用三角形相似、等腰三角形三线合和一、等积法等) (2)设,则 解法1(补形法)如图 补成平行四边形,连结,则 设,则, 由得,, 解法2 (补形法)如图,延长、交于点, ,,又 设,则,, , 解法3(补形法)如图 连结,作交延长线于点 连结 则∽,故 (1) , 故 (2) 由 (1)、 (2)两式得 即 解法4(割补法)如图 连结与的中点并延长交延长线于点,如图,过、分别作高、,则且, ,又 ,,故 说明本题综合考查了等腰三角形的性质,相似三角形的判定和性质,解题关键是作辅助线,构造相似三角形. 例3.如图4-1,已知平行四边ABCD中,E是AB的中点,,连E、F交AC于G.求AG: AC的值. 解法1: 延长FE交CB的延长线于H, ∵四边形ABCD是平行四边形,∴,∴∠H=∠AFE,∠DAB=∠HBE 又AE=EB,∴△AEF≌△BEH,即AF=BH, ∵,∴,即. ∵AD∥CH,∠AGF=∠CGH,∠AFG=∠BHE,∴△AFG∽△CGH.∴AG: GC=AF: CH, ∴AG: GC=1: 4,∴AG: AC=1: 5. 解法2: 如图4—2,延长EF与CD的延长线交于M,由平行四边形ABCD可知,,即AB∥MC, ∴AF: FD=AE: MD,AG: GC=AE: MC.∵,∴AF: FD=1: 2, ∴AE: MD=1: 2. ∵.∴AE: MC=1: 4,即AG: GC=1: 4, ∴AG: AC=1: 5 例4、如图4—5,B为AC的中点,E为BD的中点,则AF: AE=___________. 解析: 取CF的中点G,连接BG.∵B为AC的中点, ∴BG: AF=1: 2,且BG∥AF,又E为BD的中点, ∴F为DG的中点. ∴EF: BG=1: 2. 故EF: AF=1: 4,∴AF: AE=4: 3. 例5、如图4-7,已知平行四边形ABCD中,对角线AC、BD交于O点,E为AB延长线上一点,OE交BC于F,若AB=a,BC=b,BE=c,求BF的长. 解法1: 过O点作OM∥CB交AB于M, ∵O是AC中点,OM∥CB, ∴M是AB的中点,即, ∴OM是△ABC的中位线,, 且OM∥BC,∠EFB=∠EOM,∠EBF=∠EMO. ∴△BEF∽△MOE,∴, 即,∴. 解法2: 如图4-8,延长EO与AD交于点G,则可得△AOG≌△COF, ∴AG=FC=b-BF,∵BF∥AG,∴.即, ∵∴. 解法3: 延长EO与CD的延长线相交于N,则△BEF与△CNF的对应边成比例,即. 解得. 例6、已知在△ABC中,AD是∠BAC的平分线.求证: . 分析1比例线段常由平行线而产生,因而研究比例线段问题,常应注意平行线的作用,在没有平行线时,可以添加平行线而促成比例线段的产生.此题中AD为△ABC内角A的平分线,这里不存在平行线,于是可考虑过定点作某定直线的平行线,添加了这样的辅助线后,就可以利用平行关系找出相应的比例线段,再比较所证的比例式与这个比例式的关系,去探求问题的解决. 证法1: 如图4—9,过C点作CE∥AD,交BA的延长线于E.在△BCE中,∵DA∥CE,∴① 又∵CE∥AD,∴∠1=∠3,∠2=∠4,且AD平分∠BAC, ∵∠1=∠2,于是∠3=∠4, ∴AC=AE.代入②式得. 分析2由于BD、CD是点D分BC而得,故可过分点D作平行线. 证法2: 如图4—10,过D作DE∥AC交AB于E,则∠2=∠3. ∵∠1=∠2,∴∠1=∠3. 于是EA=ED. 又∵,∴,∴. 分析3欲证式子左边为AB: AC,而AB、AC不在同一直线上,又不平行,故考虑将AB转移到与AC平行的位置. 证法3: 如图4—11,过B作BE∥AC,交AD的延长线于E,则∠2=∠E. ∵∠1=∠2,∴∠1=∠E,AB=BE. 又∵,∴. 分析4由于AD是∠BAC的平分线,故可过D分别作AB、AC的平行线,构造相似三角形求证. 证法4如图4—12,过D点作DE∥AC交AB于E,DF∥AB交AC于F. 易证四边形AEDF是菱形.则DE=DF. 由△BDE∽△DFC,得. 又∵,∴. 一、如何证明三角形相似 例1、如图: 点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上,AG交BC、BD于点E、F,则△AGD∽∽。 例2、已知△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD是角平分线,求证: △ABC∽△BCD 例3: 已知,如图,D为△ABC内一点连结ED、AD,以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD,∠BCE=∠BAD 求证: △DBE∽△ABC 例4、矩形ABCD中,BC=3AB,E、F,是BC边的三等分点,连结AE、AF、AC,问图中是否存在非全等的相似三角形? 请证明你的结论。 二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式 例5、△ABC中,在AC上截取AD,在CB延长线上截取BE,使AD=BE,求证: DFAC=BCFE 例6: 已知: 如图,在△ABC中,∠BAC=900,M是BC的中点,DM⊥BC于点E,交BA的延长线于点D。 求证: (1)MA2=MDME; (2) 例7: 如图△ABC中,AD为中线,CF为任一直线,CF交AD于E,交AB于F,求证: AE: ED=2AF: FB。 三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。 例8: 已知: 如图E、F分别是正方形ABCD的边AB和AD上的点,且。 求证: ∠AEF=∠FBD 例9、在平行四边形ABCD内,AR、BR、CP、DP各为四角的平分线,求证: SQ∥AB,RP∥BC 例10、已知A、C、E和B、F、D分别是∠O的两边上的点,且AB∥ED,BC∥FE,求证: AF∥CD 例11、直角三角形ABC中,∠ACB=90°,BCDE是正方形,AE交BC于F,FG∥AC交AB于G,求证: FC=FG 例12、Rt△ABC锐角C的平分线交AB于E,交斜边上的高AD于O,过O引BC的平行线交AB于F,求证: AE=BF 一、判定相似三角形的基本思路: 1.找准对应关系: 两个三角形的三个对应顶点、三个对应角、三条对应边不能随便写,一般说来,相等的角所对的边是对应边,对应边所对的角是对应角。 2.记住五个判定定理: 判定相似三角形依据是五个定理,即预备定理、判定定理一、判定定理二、判定定理三、直角三角形相似的判定定理。 二、相似形的应用: 1.证比例式; 2.证等积式; 3.证直线平行; 4.证直线垂直; 5.证面积相等; 三、经典例题: 例1.如图,在ΔABC中,D是BC的中点,E是AC延长线上任意一点,连接DE与AB交于F,与过A平行于BC的直线交于G。 求证: . 变式1: 如图,在ΔABC中,与互余,CDAB,DE//BC,交AC于点E,求证: AD: AC=CE: BD. 例2: 如图: 已知梯形ABCD中,AD//BC,,且BDCD于D。 求证: ① ;② 例3.如图,在ΔABC中,,M是BC的中点,DMBC交BA的延长线于D,交AC于E。 求证: 例4.已知: 在ΔABC中,AD是的平分线,点E在AD上,点F在AD的延长线上,且 求证: BE//FC。 例5.如图,在正方形ABCD中,E,F分别为AB、AC上一点,切BE=BF,BPCE,垂足为P。 求证: PDPF. 例6.在ΔABC的中线AD,BE相交于G。 求证: ΔAGB的面积等于四边形CEGD。 A B C D 1.如图,在中,,是边上一点,连接. (1)要使,还需要补充一个条件是(只要求填一个) (2)若,且,,求的长. 2.如图,在平行四边形ABCD中,R在BC的延长线上,AR交CD于Q,若DQ∶CQ=4∶3,求AQ∶QR的值。 3.如图,梯形中,,且,,分别是,的中点,与相交于点. (1)求证: ; (2)若,求. 4.如图,△ABC中AB=BD,AD为中线,点E是BD的中点。 求证: (1)△ABE∽CBE; (2)求证: AC=2AE 5.如图,点,分别在的边,上,四边形是等腰梯形,.与交于点,且. (1)试问: 成立吗? 说明理由; (2)若,求证: 是等腰三角形. 6、已知: 如图,AD是△ABC的角平分线,AD的垂直平分线EF交CB的延长线于点F,求证: 7、已知: 如图,四边形ABCD中,∠A=∠BCD=900,过C作对角线BD的垂线交BD、AD于点E、F。 求证: 8、如图,四边形ABCD是平行四边形,AE⊥BC于E,AF⊥CD于F. (1)ΔABE与ΔADF相似吗? 说明理由. (2)ΔAEF与ΔABC相似吗? 说说你的理由. 9、已知: ∠A=60°,BD、CE是△ABC的高。 (1)△ADE与△ABC相似吗? 说明理由。 (2)图中共有几对相似三角形? 思考: 去掉∠A=60°条件以上结论还成立吗? 10.M为线段AB的中点,AE与BD交于C,∠DME=∠A=∠B=,且DM交AC于F,ME交BC于G。 (1)写出图中相似三角形; (2)连接FG,若=45°,AB=,AF=3,求FG的长。 1、如图,△ABC中,三条内角平分线交于D,过D作AD垂线,分别交AB、AC于M、N,请写出图中相似的三角形,并说明其中两对相似的正确性。 2、如图,AD为△ABC的高,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F,试判断∠ADF与∠AEF的大小,并说明明理由, 3、如图,在△ABC中,点D、E分别在BC、AB上,且∠CAD=∠ADE=∠B,AC: BC=1: 2,设△EBD、△ADC、△ABC的周长分别为m1、m2、m3,求的值, 4、如图,已知△ABC中,D为BC中点,AD=AC,DE⊥BC,DE与AB交于E,EC与AD相交于点F, (1)△ABC与△FCD相似吗? 请说明理由; (2)若S=5,BD=10,求DE的长。 6、已知: 如图,在△PAB中,∠APB=120O,M、N是AB上两点,且△PMN是等边三角形。 求证: BM·PA=PN·BP 7、已知: 如图,D是△ABC的边AC上一点,且CD=2AD,AE⊥BC于E,若BC=13,△BDC的面积是39,求AE的长。 8、已知: 如图,在△ABC中,AB=15,AC=12,AD是∠BAC的外角平分线且AD交BC的延长线于点D,DE∥AB交AC的延长线于点E。 9、已知: 如图,四边形ABCD中,CB⊥BA于B,DA⊥BA于A,BC=2AD,DE⊥CD交AB于E,连结CE,求证: DE2=AE•CE 10、如图,矩形ABCD中,E为BC上一点,DF⊥AE于F. (1)ΔABE与ΔADF相似吗? 请说明理由. (2)若AB=6,AD=12,BE=8,求DF的长. 11、如图: 三角形ABC是一快锐角三角形余料,边BC=120mm,高AD=80mm,要把它加工成正方形零件,是正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB、AC上,这个正方形零件的边长是多少? 12、已知: 如图: FGHI为矩形,AD⊥BC于D,,BC=36cm,AD=12cm。 求: 矩形FGNI的周长。 13、已知: 如图,DE∥BC,AF∶FB=AG∶GE。 求证: ΔAFG∽ΔAED。 14、己知: 如图,AB∥CD,AF=FB,CE=EB.求证: GC2=GF·GD. 15、如图,在正方形ABCD中,E是CD的中点,EF⊥AE.求证: AE2=AD×AF. [提示: 延长AE、BC交于G,先证ΔADE≌ΔGCE,ΔGCE∽ΔAEF] 16、如图,∠ADC=∠ACB=900,∠1=∠B,AC=5,AB=6,求AD的长 17、如图,正方形ABCD中,E是AD的中点,DM⊥CE,AB=6,求DM的长。 18、己知: 如图,AD是ΔABC的角平分线,EF垂直平分AD交BC的延长线于F. 求证: FD2=FB·FC.[提示: 连结AF] 19、已知: 如图,ΔABC中,∠ACB=900,F为AB的中点,EF⊥AB.求证: ΔCDF∽ΔECF. 20、已知: 如图,ΔABC中,CE⊥AB,BF⊥AC.求证: ΔAEF∽ΔACB. 21、已知: 如图,DE∥BC,AD2=AF·AB。 求证: ΔAEF∽ΔACD。 22、已知: 如图,ΔABC中,∠ACB=900,CD⊥AB,DE⊥BC,AC=6,DE=4,求CD和AB的长 23、已知: 如图,ΔABC中,∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC.求证: AB·BC=AC·CD. 24、已知: 如图,CE是RtΔABC的斜边AB上的高,BG⊥AP.求证: CE2=ED·EP. 25、已知: 如图,ΔABC中,AD=DB,∠1=∠2.求证: ΔABC∽ΔEAD. 26、已知: 如图,∠1=∠2,∠3=∠4.求证: ΔDBE∽ΔABC. 27、如图,∠B=900,AB=BE=EF=FC=1。 求证: ΔAEF∽ΔCEA. 28、如图,在梯形ABCD中,AB⊥BC,∠BAD=90°,对角线BD⊥DC。 (1)△ABD与△DCB相似吗? 请说明理由。 (2)如果AD=4,BC=9,求BD的长。 29、已知,如图,在正方形ABCD中,P是BC上的点,且BP=3PC,Q是CD的中点,△ADQ与△QCP是否相似? 为什么? 30、已知: 如图所示,D是AC上一点,BE//AC,BE=AD,AE分别交BD、BC于点F、G,∠1=∠2。 则BF是FG、EF的比例中项吗? 请说明理由 31、如图,CD是Rt△ABC的斜边AB上的高,∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F,AC·AE=AF·AB吗? 说明理由。 32、如图,AD是Rt△ABC斜边BC上的高,DE⊥DF,且DE和DF 分别交AB、 45° A E F B C 33、如图,已知△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点E、F在AB上,∠ECF=45°. (1)求证: △ACF∽BEC; (2)设△ABC的面积为S,求证: AF·BE=2S. A C E F D B 34、如图,在ABCD中,过点B作BE⊥CD,垂足为E,连结AE,F为AE上一点,且∠BFE=∠C. (1)求证: △ABF∽△EAD; (2)若AB=4,∠BAE=30°,求AE的长;(3)在 (1) (2)的条件下,若AD=3,求BF的长. A F E M C D G B 第5题图 35、将正方形ABCD折叠,使顶点A与CD边上的点M重合,折线交AD于E,交BC于F,边AB折叠后与BC交于点G, (1)如果M为CD的中点,求证: DE∶DM∶EM=3∶4∶5. (2)如果M为CD上任一点,设AB=2a,问△CMG的周长是否与点M的位置有关? 若有关,请把△CMG的周长用含DM的长x(即DM=x)的代数式表示;若无关,请说明理由. A D C M 图① B A D C 图② B 36、某生活小区的居民筹集资金1600元,计划在一块上、下底分别为10米,20米的梯形空地上种植花木如图①, (1)他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花,单价为8元/㎡,当△AMD地带种满花后(图中阴影部分)共花了160元,请计算种满△BMC地带所需费用. (2)若其余地带要种的有玫瑰和茉莉两种花木可供选择,单价分别为12元/㎡和10元/㎡,应选择哪种花木,刚好用完所筹集的资金.(3)若梯形ABCD为等腰梯形,面积不变(如图②)请你设计一种花坛图案,即在梯形内找到一点P,使得△APB≌△DPC,且S△APD=S△BPC,并说明你的理由. 37、如图,正方形ABCD的边长为2,AE=EB,MN=1,线段MN的两端在BC、CD上,若△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似,求CM的长. B C D M N E A A P Q B C M A P Q B C 38、如图,已知△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,PQ∥AB,P点在AC上(与A、C不重合),Q在BC上. (1)当△PQC的面积与
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 相似 三角形 证明 技巧