中考数学正方形复习专题.docx
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中考数学正方形复习专题
正方形专题
1.如图,点F是正方形ABCD边CD上的一个动点,BF的垂直平分线EM与对角线AC相交于点E,与BF相交于点M,连接BE、FE,EM=3,
求证:
(1)BE⊥FE;求△EBF的周长
2.如图,在正方形ABCD中,E、F分别是边AD、CD上的点,∠EBF=45°,△EDF的周长为8,求正方形ABCD的边长
3.如图,正方形ABCD中,点E、F分别在BC、CD上,△AEF是等边三角形,连接AC交EF于G,
求证:
①BE=DF;②∠DAF=15°,③AC垂直平分EF.
4.如图,正方形ABCD的三边中点E、F、G,连ED交AF于M,GC交DE于N,求证:
①AF⊥DE;②AF∥CG;③CD=CM(三线合一或中垂线性质);
5.如图,正方形ABCD中,E为AD的中点,DF⊥CE于M,交AC于N,交AB于F,连接EN、BM,
求证:
①△ADF≌△DCE;②MN=FN;③CN=2AN;④S△ADN:
S四边形CNFB=2:
5;⑤∠ADF=∠BMF.BM=BC(这一问很好,走到直角三角形斜边中线上去了).
6.如图,正方形ABCD中,F为AB上一点,E是BC延长线上一点,且AF=EC,连结EF,DE,DF,M是FE中点,连结MC,设FE与DC相交于点N.
求证:
①∠EDF=90°;②△BFG∽△EDG∽△BDE;③AD2+AF2=DG•DB;
④若MC=
,则BF=2;
7.如图,以正方形ABCD的一边向形外作等边△ABE,BD与EC交于点F,且DF=EF,
(1)求证:
∠AFD=∠AFE,
(2)求∠AFD的度数
8.如图,正方形ABCD的对角线相交于O点,BE平分∠ABO交AO于E点,CF⊥BE于F点,交BO于G点,连接EG、OF.
求证:
①CE=CB;②四边形ABGE是等腰梯形;③AE=
OE;④OF=
CG.
9.如图,在正方形纸片ABCD中,对角线AC、BD交于点O,折叠正方形纸片ABCD,使AD落在BD上,A恰好与BD上的点F重合,展开后,折痕DE分别交AB,AC于点E、G,连接GF,
求证:
①∠AGD=112.5°;②四边形AEFG是菱形;③BE=2OG.
10.如图,在正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,E是BC边上一点,连结AE交BD于点F,G是AC上一点,B、G关于直线AE对称.求证:
四边形BEGF为菱形,并请直接写出图中与线段AG相等的所有线段.
11.如图,正方形ABCD的对角线相交于点O,点M,N分别是边BC,CD上的动点(不与点B,C,D重合),AM,AN分别交BD于点E,F,且∠MAN始终保持45°不变.
(1)求证:
AF⊥FM;
(2)求证:
=
;
(3)请探索:
在∠MAN的旋转过程中,当∠BAM等于多少度时,∠FMN=∠BAM?
写出你的探索结论,并加以证明.(只让尖子生做这一问)
12.如图1,在正方形ABCD内作∠EAF=45°,AE交BC于点E,AF交CD于点F,连接EF,过点A作AH⊥EF,垂足为H.
(1)如图2,将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG.
①求证:
△AGE≌△AFE;
②若BE=2,DF=3,求AH的长.
(2)如图3,连接BD交AE于点M,交AF于点N.请探究并猜想:
线段BM,MN,ND之间有什么数量关系?
并说明理由.(只让尖子生做这一问)
13.如图,在正方形ABCD中,点E为对角线AC上的一点,连接BE,DE.
(1)如图1,求证:
△BCE≌△DCE;
(2)如图2,延长BE交直线CD于点F,G在直线AB上,且FG=FB.
①求证:
DE⊥FG;
②已知正方形ABCD的边长为2,若点E在对角线AC上移动,当△BFG为等边三角形时,求线段DE的长(直接写出结果,不必写出解答过程).(只让尖子生做这一问)
14.如图1,正方形ABCD中,AC是对角线,等腰Rt△CMN中,∠CMN=90°,CM=MN,点M在CD边上,连接AN,点E是AN的中点,连接BE.
(1)若CM=2,AB=6,求AE的值;
(2)求证:
2BE=AC+CN;
(3)当等腰Rt△CMN的点M落在正方形ABCD的BC边上,如图2,连接AN,点E是AN的中点,连接BE,延长NM交AC于点F.请探究线段BE、AC、CN的数量关系,并证明你的结论.(只让尖子生做这一问)
15.四边形ABCD是正方形,点E在边BC上(不与端点B、C重合),点F在对角线AC上,且EF⊥AC,连接AE,点G是AE的中点,连接DF、FG
(1)若AB=7
,BE=
,求FG的长;
(2)求证:
DF=
FG;
(3)将图1中的△CEF绕点C按顺时针旋转,使边CF的顶点F恰好在正方形ABCD的边BC上(如图2),连接AE、点G仍是AE的中点,猜想BF与FG之间的数量关系,并证明你的猜想.(只让尖子生做这一问)
正方形专题素材
参考答案与试题解析
1.(2016•南岗区模拟)如图,点F是正方形ABCD边CD上的一个动点,BF的垂直平分线EM与对角线AC相交于点E,与BF相交于点M,连接BE、FE,EM=3,则△EBF的周长是( )
A.6+3
B.6+6
C.6﹣3
D.3+3
【分析】如图作EG⊥BC于G,EH⊥CD于H,先证明△EGB≌△EHF,推出△BEF是等腰直角三角形即可解决问题.
【解答】解:
如图作EG⊥BC于G,EH⊥CD于H.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ACB=∠ACD=45°,
∵EG⊥BC,EH⊥CD,
∴EG=EH,
∵EM垂直平分BF,
∴EB=EF,
在Rt△EGB和Rt△EHF中,
,
∴△EGB≌△EHF,
∴∠BEG=∠FEH,
∴∠BEF=∠GEH,
∵∠EGC=∠GCH=∠EHC=90°,
∴∠GEH=90°,
∴∠BEF=90°,
∴EM=BM=MF=3,BE=EF=3
,
∴△BEF的周长为6+6
,
故选B.
【点评】本题看成正方形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的判定等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考常考题型.
2.(2016春•宝应县期末)如图,在正方形ABCD中,E、F分别是边AD、CD上的点,∠EBF=45°,△EDF的周长为8,则正方形ABCD的边长为( )
A.2B.3C.5D.4
【分析】根据正方形的性质得AB=BC,∠BAE=∠C=90°,根据旋转的定义,把△ABE绕点A顺时针旋转90°可得到△BCG,根据旋转的性质得BG=BE,CG=AE,∠GBE=90°,∠BAE=∠C=90°,∠ABG=∠B=90°,于是可判断点G在CB的延长线上,接着利用“SAS”证明△FBG≌△EBF,得到EF=CF+AE,然后利用三角形周长的定义得到答案.
【解答】解:
∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=BC,∠BAE=∠C=90°,
∴把△ABE绕点A顺时针旋转90°可得到△BCG,如图,
∴BG=BE,CG=AE,∠GBE=90°,∠BAE=∠C=90°,
∴点G在DC的延长线上,
∵∠EBF=45°,
∴∠FBG=∠EBG﹣∠EBF=45°,
∴∠FBG=∠FBE,
在△FBG和△EBF中,
∴△FBG≌△EBF(SAS),
∴FG=EF,
而FG=FC+CG=CF+AE,
∴EF=CF+AE,
∵△DEF的周长=DF+DE+CF+AE=CD+AD=8,
∴AD=4;
故选:
D.
【点评】本题考查了旋转的性质:
对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等.也考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质.
3.(2016春•新泰市期末)如图,正方形ABCD中,点E、F分别在BC、CD上,△AEF是等边三角形,连接AC交EF于G,下列结论:
①BE=DF;②∠DAF=15°,③AC垂直平分EF,④BE+DF=EF,⑤S△AEC=S△ABC,其中正确结论有( )个.
A.5B.4C.3D.2
【分析】由正方形和等边三角形的性质得出△ABE≌△ADF,从而得出∠BAE=∠DAF,BE=DF,①正确;②正确;由正方形的性质就可以得出EC=FC,就可以得出AC垂直平分EF,③正确;设EC=x,由勾股定理和三角函数就可以表示出BE与EF,得出④错误;由三角形的面积得出⑤错误;即可得出结论.
【解答】解:
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°.
∵△AEF等边三角形,
∴AE=EF=AF,∠EAF=60°.
∴∠BAE+∠DAF=30°.
在Rt△ABE和Rt△ADF中,
,
∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL),
∴BE=DF(故①正确).
∠BAE=∠DAF,
∴∠DAF+∠DAF=30°,
即∠DAF=15°(故②正确),
∵BC=CD,
∴BC﹣BE=CD﹣DF,即CE=CF,
∵AE=AF,
∴AC垂直平分EF.(故③正确).
∴AC垂直平分EF.(故③正确).
设EC=x,由勾股定理,得EF=
x,CG=
x,
AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°=
x,
∴AC=
,
∴AB=
,
∴BE=AB﹣x=
,
∴BE+DF=
x﹣x≠
x,(故④错误),
∵S△AEC=CE•AB,S△ABC=BC•AB,CE<BC,
∴S△AEC<S△ABC,故⑤错误;
综上所述,正确的有①②③,
故选:
C.
【点评】本题考查了正方形的性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用,勾股定理的运用,等边三角形的性质的运用,三角形的面积公式的运用,解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键.
4.(2016春•岱岳区期中)如图,正方形ABCD的三边中点E、F、G,连ED交AF于M,GC交DE于N,下列结论:
①AF⊥DE;
②AF∥CG;
③CD=CM;
④∠CMD=∠AGM.
其中正确的有( )
A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④
【分析】由△ADE≌△BAF得∠ADE=∠BAF,由此推出①正确;由四边形AGCF是平行四边形,推出②正确;可以证明CG是DM的垂直平分线,由此推出③正确;假设④成立推出∠AGM=60°,显然不可能,由此即可解决问题.
【解答】解:
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=AD,∠BAC=∠ADC=∠DCB=∠B=90°,
∵AE=EB=AG=DG=BF=CF,
在△ADE和△ABF中,
,
∴△ADE≌△BAF,
∠ADE=∠BAF,
∵∠ADE+∠AED=90°,
∴∠BAF+∠AEM=90°,
∴∠AME=90°,
∴AF⊥DE,故①正确,
∵AG=CF,AG∥CF,
∴四边形AGCF是平行四边形,
∴AF∥CG,故②正确,
∵AF⊥DE,
∴CG⊥DM,
∵AG=GD,
∴GM=GD,
∴MN=DN,
∴CM=CD,故③正确,
若∠CMD=∠AGM,则∠AGM=∠CMD=2∠GMD,
∴∠GMD=30°,∠AGM=60°,
这个显然不可能,故④错误.
故选A.
【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、线段垂直平分线的性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形,属于中考常考题型.
5.(2015•开江县二模)如图,正方形ABCD中,E为AD的中点,DF⊥CE于M,交AC于N,交AB于F,连接EN、BM,有如下结论:
①△ADF≌△DCE;②MN=FN;③CN=2AN;④S△ADN:
S四边形CNFB=2:
5;⑤∠ADF=∠BMF.BM=BC其中正确的结论有( )
A.5个B.4个C.3个D.2个
【分析】①本题需先根据已知条件,得出△ADF与△DCE相似,即可得出结果.
②本题需先根据AE=AF,∠NAF=∠NAE,AN=AN这三个条件,得出△ANF≌△ANE,即可得出结论.
③本题需先根据AF∥CD,得出CN与AN的比值,即可求出结果.
④本题需先连接CF,再设S△ANF=1,即可得出S△ADN与S四边形CNFB的比值即可.
⑤在△DEN和△MFB中,根据已知条件,得出△DEN与△MFB全等,即可得出结果.
【解答】解:
①在△ADF和△DCE中,
,
∴△ADF≌△DCE,
故本选项正确;
②∵△ADF≌△DCE,
∴DE=AF,
∵AE=DE,
∴AE=AF,
在△ANF和△ANE中
,
∴△ANF≌△ANE,
∴NF=NE,
∵NM⊥CE,
∴NE>MN,
∴NF>MN,
∴MN=FN错误,
故本选项错误;
③∵AF∥CD,
∴∠CDN=∠NFA,∠DCN=∠NAF,
∴△DCN∽△FAN,
又∵△ADF≌△DCE,且四边形ABCD为正方形,
∴AF=
AB=
DC,
∴
=
=2,
∴CN=2AN,
故本选项正确;
④连接CF,
设S△ANF=1,
则S△ACF=3,S△ADN=2,
∴S△ACB=6,
∴S四边形CNFB=5,
∴S△ADN:
S四边形CNFB=2:
5,
故本选项正确;
⑤延长DF与CB交于G,则∠ADF=∠G,
根据②的结论F为AB中点,即AF=BF,
在△DAF与△GBF中,
,
∴△DAF≌△GBF(AAS),
∴BG=AD,又AD=BC,
∴BC=BG,
又∵∠ADF=∠DCE,∠ADF+∠CDM=90°,
∴∠DCE+∠CDM=90°,
∴∠DMC=∠CMG=90°,
∴△CMG是直角三角形,
∴MB=BG=BC(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半),
∴∠G=∠BMF,
因此∠ADF=∠BMF,故选项正确.
所以正确的有①③④⑤共4个.
故选:
B.
【点评】本题主要考查了正方形的性质问题,在解题时要注意全等三角形、相似等知识的综合利用,在做题时要结合图形是解题的关键.
6.(2014•杭州模拟)如图,正方形ABCD中,F为AB上一点,E是BC延长线上一点,且AF=EC,连结EF,DE,DF,M是FE中点,连结MC,设FE与DC相交于点N.则4个结论:
①∠EDF=90°;②△BFG∽△EDG∽△BDE;③AD2+AF2=DG•DB;④若MC=
,则BF=2;
正确的结论有( )
A.①②B.①②③C.③④D.①②③④
【分析】根据正方形的性质可得AD=CD,然后利用“边角边”证明△ADF和△CDE全等,根据全等三角形对应角相等可得∠ADF=∠CDE,然后求出∠EDF=∠ADC=90°,判断出①正确;根据全等三角形对应边相等可得DE=DF,然后判断出△DEF是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质可得∠DEF=45°,再根据两组角对应相等的三角形相似得到△BFG∽△EDG∽△BDE,判断出②正确;根据勾股定理可得AD2+AF2=DF2,再利用相似三角形对应边成比例列式整理可得DG•DB=DE2,然后求出AD2+AF2=DG•DB,判断出③正确;连接BM、DM,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BM=DM=
EF,然后判断出直线CM垂直平分BD,过点M作MH⊥BC于H,得到∠MCH=45°,然后求出MH,再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得BF=2MH,判断出④正确.
【解答】解:
正方形ABCD中,AD=CD,
在△ADF和△CDE中,
,
∴△ADF≌△CDE(SAS),
∴∠ADF=∠CDE,
∴∠EDF=∠FDC+∠CDE=∠FDC+∠ADF=∠ADC=90°,故①正确;
DE=DF,
∴△DEF是等腰直角三角形,
∴∠DEF=45°,
∵∠ABD=∠DEF=45°,∠BGF=∠EGD(对顶角相等),
∴△BFG∽△EDG,
∵∠DBE=∠DEF=45°,∠BDE=∠EDG,
∴△EDG∽△BDE,
∴△BFG∽△EDG∽△BDE,故②正确;
在Rt△ADF中,由勾股定理得,AD2+AF2=DF2,
由△EDG∽△BDE得,
=
,
∴DG•DB=DE2,
∵DE=DF,
∴AD2+AF2=DG•DB,故③正确;
连接BM、DM,
∵M是EF的中点,△BEF、△DEF是直角三角形,
∴BM=DM=
EF,
又∵BC=CD,
∴直线CM是BD的垂直平分线,
过点M作MH⊥BC于H,则∠MCH=45°,
∵MC=
,
∴MH=
×
=1,
∵M是EF的中点,BF⊥BC,MH⊥BC,
∴MH是△BEF的中位线,
∴BF=2MH=2,故④正确;
综上所述,正确的结论有①②③④.
故选D.
【点评】本题考查了正方形的性质,勾股定理,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,等腰直角三角形的判定与性质,到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线,三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半,熟记各性质与定理并作辅助线是解题的关键.
7.(2014春•太仓市期中)如图,以正方形ABCD的一边向形外作等边△ABE,BD与EC交于点F,且DF=EF,则∠AFD等于( )
A.60°B.50°C.45°D.40°
【分析】分别求证△DCF≌△DAF≌△EAF可得∠DFC=∠AFD=∠AFE,根据∠DFC+∠AFD+∠AFE=180°,可得∠DFC=∠AFD=∠AFE=60°
【解答】解:
连接AC,不作辅助线也可以!
!
!
!
!
∵BD为AC的垂直平分线,
∴FA=FC,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=DC=AB,
在△DCF和△DAF中,
,
∴△DCF≌△DAF,
∵三角形ABE是等边三角形,
∴AE=AB=AD,
在△DAF和△EAF中,
,
∴△DAF≌△EAF,
∴△DCF≌△DAF≌△EAF,
得:
∠DFC=∠AFD=∠AFE,
又∵∠DFC+∠AFD+∠AFE=180°
∴∠DFC=∠AFD=∠AFE=60°
故选A.
【点评】本题考查了正方形各边长相等的性质,考查了正三角形各边长相等的性质,本题中求证△DCF≌△DAF≌△EAF是解题的关键.
8.(2008春•武汉期末)如图,正方形ABCD的对角线相交于O点,BE平分∠ABO交AO于E点,CF⊥BE于F点,交BO于G点,连接EG、OF.下列四个结论:
①CE=CB;②四边形ABGE是等腰梯形;③AE=
OE;④OF=
CG.其中正确的结论只有( )
A.①②③B.③④C.①②④D.①②③④
【分析】由四边形ABCD是正方形,BE平分∠ABO,易求得∠EBO=22.5°,即可得∠CBE=∠CEB=67.5°,即可证得①CE=CB正确;
又由CF⊥BE,由三线合一,可得∠ECG=∠BCG=22.5°,EF=BF,易证得△ABE≌△BCG,即可得AE=BG,又由平行线分线段成比例定理,证得EG∥AB,即可得四边形ABGE是等腰梯形;
由△OEG是等腰直角三角形,可得EG=
OF,又易证得△ECG≌△BCG,即可证得AE=
OE;
由∠AOB=90°,EF=BF,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,即可证得OF=
CG正确.
【解答】解:
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABO=∠ACO=∠CBO=45°,AB=BC,OA=OB=OC,BD⊥AC,
∵BE平分∠ABO,
∴∠OBE=
∠ABO=22.5°,
∴∠CBE=∠CBO+∠EBO=67.5°,
在△BCE中,∠CEB=180°﹣∠BCO﹣∠CBE=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°,
∴∠CEB=∠CBE,
∴CE=CB;
故①正确;
∵CF⊥BE,
∴∠ECG=∠BCG=
∠BCO=22.5°,EF=BF,
∵∠ABE=
∠ABO=22.5°,
∴∠ABE=∠BCG,
∵AB=BC,∠EAB=∠GBC=45°,
∴△ABE≌△BCG,
∴AE=BG,BE=CG,
∵OA=OB,
∴AE:
OA=BG:
OB,
∴EG∥AB,
∴四边形ABGE是等腰梯形;
故②正确;
∵OA=OB,AE=BG,
∴OE=OG,
∵∠AOB=90°,
∴△OEG是等腰直角三角形,
∴EG=
OE,
∵∠ECG=∠BCG,EC=BC,CG=CG,
∴△ECG≌△BCG,
∴BG=EG,
∴AE=EG=
OE;
故③正确;
∵∠AOB=90°,EF=BF,
∵BE=CG,
∴OF=
BE=
CG.
故④正确.
故正确的结论有①②③④.
故选D.
【点评】此题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、等腰梯形的判定、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质.此题难度较大,解题的关键是注意数形结合思想的应用.
9.(2015•市北区二模)如图,在正方形纸片ABCD中,对角线AC、BD交于点O,折叠正方形纸片ABCD,使AD落在BD上,A恰好与BD上的点F重合,展开后,折痕DE分别交AB,AC于点E、G,连接GF,有下列结论:
①∠AGD=112.5°;②AD=2AE;③S△AGD=S△OGD;④四边形AEFG是菱形;⑤BE=2OG.其中正确结论的序号是( )
A.①②③B.①③④C.①④⑤D.①②③④⑤
【分析】①根据正方形性质和折叠性质得出∠GAD和∠ADG,即可求解;
②根据直角三角形的直角边小于斜边,即可得出结论;
③根据角平分线的性质得出三角形的高相等,再分析底边长即可;
④证明四条边相等即可;
⑤由折叠的性质设BF=EF=AE=1,进一步表示AB,BD,DF的长度,结合相似三角形进行求解即可.
【解答】解:
因为在正方形纸片ABCD中,折叠正方形纸片ABCD,使AD落在BD上,点A恰好与BD上的点F重合,
所以∠GAD=45°,∠ADG=
,
可求,∠AGD=112.5°,所以①正确.
因为tan∠AED=
,
因为AE=EF<BE,
所以AE<
AB,
因为AD=AB,因此②错.
因为AG=FG>OG,△AGD与△OGD同高,
所以S△AGD>S△OGD,所以③错.
根据题意可得:
AE=EF,AG=FG,又因为EF∥AC,
所以∠FEG=∠AGE,又因为∠AEG=∠FEG,
所以∠AEG=∠AGE,所以AE=AG=EF=FG,
所以四边形AEFG是菱形,因此④正确.
由折叠的性质设BF=EF=AE=1,则AB=1+
,BD=2+
,DF=1+
,
由此可求,
=
,
因为EF∥AC,
所以△DOG∽△DFE,
所以
,
∴
EF=2OG,
在直角三角形BEF中,∠EBF=45°,
所以△BEF是等腰直角三角形,同理可证△OFG是等腰直角三角形,
在等腰直角三角形BEF和等腰直角三角形OFG中,BE2=2EF2=2GF2=2×2OG2,
所以BE=2OG.因此⑤正确.
故答案为:
C.
【点评】此题主要考查四边形综合问题,熟悉正方形性质和菱形的判定,会用勾股定理进行线段求值,会根据平行论证相似是解题的关键.
10.(2015•杭州模拟)如图,在正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,E是BC边上一点,连结AE交BD于点F,G是AC上一点,B、G关于直线AE对称.求证:
四边形BEGF为菱形,并请直接写出图中与线段AG相等的所有线段.
【分析】首先根据轴对称的性质可得
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