中考数学三角形之中位线和中线常见考题题型教学案模型辨析+例题讲解+练习题.docx
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中考数学三角形之中位线和中线常见考题题型教学案模型辨析+例题讲解+练习题.docx
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中考数学三角形之中位线和中线常见考题题型教学案模型辨析+例题讲解+练习题
中考数学三角形之中位线和中线常见考题题型
在中位线的学习,很多同学掌握不到位,遇到题目中有直角三角形斜边上的中点,经常视而不见,从而想不到斜边中线处理线段之间数量关系时的妙用;而有时出现多个中点,想不到再找中点,从而也就看不见隐藏的中位线了,本讲就精选几道例题帮助同学们突破难点.
一、想不到的斜边中线
例1:
如图,DE为△ABC的中位线,点F在DE上,且∠AFB=90°,若AB=6,BC=8,则EF的长为________.
分析:
根据DE是中位线,可知DE长是第三边BC长的一半,点D是AB的中点.由∠AFB=90°,则Rt△ABF中,可知DF作为斜边中线,长度等于斜边AB长的一半,将DE的长减去DF的长,即可得到EF的长.
解答:
例2:
如图,在△ABC中,点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,AH是边BC上的高.
(1)求证:
四边形ADEF是平行四边形;
(2)求证:
∠DHF=∠DEF.
分析:
(1)根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半,可得DE∥AC,EF∥AB,两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
(2)D,F分别作为Rt△ABH,Rt△ACH斜边AB,AC上的中线,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可得DH=AD,FH=AF,∠BAH=∠AHD,∠CAH=∠AHF,即∠BAC=∠DHF,由平行四边形对角相等可得∠DEF=∠BAC,等量代换即可得证.
证明:
(1)∵点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,
∴DE、EF是△ABC的中位线,
∴DE∥AC,EF∥AB,
∴四边形ADEF是平行四边形.
(2)∵AH是边BC上的高,D,F分别是AB,CA中点
∴Rt△ABH中,DH=AD,Rt△ACH中,FH=AF,
∴∠BAH=∠AHD,∠CAH=∠AHF,
∴∠DHF=∠BAC,
∵四边形ADEF是平行四边形,
∴∠DEF=∠BAC,
∴∠DHF=∠DEF.
本题也可连接DF,证明△DEF≌△FHD
小结:
许多题目中,会出现多个中点,有的中点与另一中点相连,作为中位线;而有的中点与直角顶点相连,就成了斜边中线,而这都涉及到线段长度之间的倍数关系,尤其是后者,不能忽视.
二、看不见的中位线
(1)补全三角形
例1:
在△ABC中,CD平分∠ACB,AD⊥CD于D,E是AB中点,AC=15,BC=27,求DE的长.
分析:
本题中,点E已经是AB的中点,由CD平分∠ACB,AD⊥CD,想到可以构造等腰三角形,利用三线合一,使点D成为另一个中点,从而让ED变成“看得见”的中位线.
解答:
例2:
如图△ABC中,∠B,∠C的平分线BE,CF相交于O,AG⊥BE于G,AH⊥CF于H.
(1)求证:
GH∥BC;
(2)若AB=9,AC=14,BC=18,求GH.
(3)若将条件“∠B,∠C的平分线”改为“∠B的平分线及∠C的外角平分线”(如图2所示),或改为“∠B,∠C的外角平分线”(如图3所示),其余条件不变,求证:
结论GH∥BC仍成立.
分析:
与上例类似,有角平分线,有垂直,延长构造等腰三角形,利用三线合一.
解答:
(1)证明:
分别延长AG,AH交BC于M,N,
在△ABM中
∵BG平分∠ABM,BG⊥AM,
∴∠ABG=∠MBG,∠BGA=∠BGM=90°
∴∠BAM=∠BMA.
∴BA=BM,G是AM的中点.
同理CA=CN,H是AN的中点,
∴GH是△AMN的中位线,HG∥MN,HG∥BC.
(2)由
(1)知,△ABG≌△MBG,△ACH≌△NCH,
∴AB=BM=9,AC=CN=14.
∴MN=BM+CN-BC
=AB+AC-BC=9+14-18=5
(3)无字证明如下,相信同学们都能看懂.
(2)找边的中点
例1:
分析:
根据要证明的结论,我们可以发现这与三角形三边关系有关,因此,要构造一个以CD长的一半,AB长的一半,EF长为三边的三角形,自然想到中位线,取BC边的中点即可.
解答:
变式:
已知在四边形ABCD中,AC=BD,E、F分别是AB、DC的中点.求证:
OM=ON.
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