中位线习题及答案Word格式.docx
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∴EM=2分之一的BC,
同理在Rt△BDC中,M为斜边BC的中点,可得DM=
2分之一BC(不知可是这图?
==格式出了一点问题。
。
)
∴EM=DM,
∴M在线段ED的垂直平分线上,
又N为ED的中点,
∴N也在线段ED的垂直平分线上,
∴MN垂直平分ED.
4、如图,四边形ABCD中,∠DAB=∠DCB=90o,点M、N分别是BD、AC的中点。
MN、AC的位置关系如何?
证明你的猜想。
5、已知梯形ABCD中,∠B+∠C=90o,EF是两底中点的连线,试说明BC-AD=2EF
解:
作EM//AB,EN//CD,
又AD//BC,
则四边形AEMB,CDEN是平行四边形,
AE=BM,ED=CN,
∠EMN=∠B,∠ENM=角∠C
∠B+∠C=90°
,
则△MEN是直角三角形。
又∵E、F分别为上、下底的中点
∴AE=ED,BF=CF,
BM=CN,则MF=NF=1/2(BC—AD),
则EF=NF=1/2(BC—AD)。
(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)。
6、如图1,在正方形ABCD和正方形CGEF(CG>BC)中,点B,C,G在同一直线上,点M是AE的中点.
(1)探究线段MD,MF的位置及数量关系,并证明.
(2)若将图1中的正方形CGEF绕点C顺时针旋转,使D,C,G三点在一条直线上,如图2,其他条件不变,则
(1)中得到的两个结论是否发生变化?
写出你的猜想并加以证明.
(3)将图1中的正方形CGEF绕点C顺时针旋转,使正方形CGEF的对角线CE恰好与正方形ABCD的边BC在同一条直线上,如图3,其他条件不变,则
(1)中得到的两个结论是否发生变化?
答案
解:
(1)MD=MF且MD⊥MF,理由如下:
如图1:
延长DM交EF于点N.
在正方形ABCD和正方形CGEF中:
AD=CD,FC=FE
∠ADC=∠CFE=90°
∴AD∥EF
∴∠1=∠2
∵M是AE的中点
∴AM=EM
∴在△ADM和△ENM中
∴△ADM≌△ENM(ASA)
∴AD=EN
DM=NM
∵AD=CD
∴CD=EN
∴FD=FN
∵DM=NM
∴MD⊥MF,∠DFM=
∠DFN=45°
∴∠DFM=∠FDM=45°
∴MD=MF
(2)MD⊥MF且MD=MF.理由如下:
如图2:
延长DM交GE于点N,
连接FD,FN
AD=CD,CF=EF
∠ADC=∠G=∠CFE=90°
∴AD∥GE,∠DCF=∠NFE=90°
∵M是AE中点
∴在△ADM和△ENM中:
∴AD=EN,DM=NM
∴在△FCD和△FEN中
∴△FCD≌△FEN(SAS)
∴FD=FN,∠5=∠6
∵∠CFE=90°
∴∠6+∠CFN=90°
∴∠5+∠CFN=90°
即∠DFN=90°
∠MDF=∠DFM=45°
(3)
(1)中的两个结论不变.理由如下:
如图3:
延长DM交CE于N,
连接FD,FN.
在正方形ABCD:
AD=CD,AD∥BC,∠DCB=90°
∴∠DCE=90°
,∠1=∠2
在正方形CGEF中:
∠CFE=90°
,∠FCE=∠FEC=45°
,CF=EF
∴∠DCF=∠NEF=45°
∵M为AE中点
在△ADM和△ENM中:
在△FDC和△FNE中
∴△FDC≌△FNE(SAS)
∴∠5=∠6,FD=FN
∴FM⊥DM,∠DFM=
∴∠MDF=∠DFM=45°
7、如图,已知在三角形ABC中,分别以AC,BC为边向外做正三角形BCE、正三角形ACD,BD与AE交于M,求证:
MC平分角DME
8.已知:
在
中,
,动点
绕
的顶点
逆时针旋转,且
,连结
.过
、
的中点
作直线,直线
与直线
分别相交于点
.
(1)如图1,当点
旋转到
的延长线上时,点
恰好与点
重合,取
,根据三角形中位线定理和平行线的性质,可得结论
(不需证明).
(2)当点
旋转到图2或图3中的位置时,
与
有何数量关系?
请分别写出猜想,并任选一种情况证明.
分析:
取AC的中点H,连接HE、HF,当点D旋转到图2中的位置时,由F为DC的中点,E为AB的中点,根据三角形中位线的性质得到FH∥AD,且FH=1/2AD;
HE∥BC,且HE=1/2BC,得到∠HFE=∠AMF,∠HEF=∠ENB,HE=HF,则∠HEF=∠HFE,所以∠AMF=∠BNE;
当点D旋转到图3中的位置时,同理可证得∠AMF=∠BNE.
取AC的中点H,连接HE、HF,如图,
当点D旋转到图2中的位置时,
∵F为DC的中点,E为AB的中点,
∴FH∥AD,且FH=1/2AD;
HE∥BC,且HE=1/2BC,
∴∠HFE=∠AMF,
∠HEF=∠ENB,HE=HF,
∴∠HEF=∠HFE,
∴∠AMF=∠BNE;
当点D旋转到图3中的位置时,用同样的方法可证明∠HFE=∠AME,∠HEF=∠BNE,而∠HFE=∠HEF,
∴∠AME=∠BNE,而∠AMF+∠AME=180°
,∴∠AMF+∠BNE=180°
.故答案为:
∠AMF=∠BNE或∠AMF+∠BNE=180
9、已知:
如图,在正方形ABCD中,点G是BC延长线一点,连接AG,分别交BD、CD于点E、F.
(1)求证:
∠DAE=∠DCE;
(2)当CG=CE时,试判断CF与EG之间有怎样的数量关系?
并证明你的结论.
(3)在
(2)的条件下,求DF/FC的值.
10、如图1,在四边形ABCD中,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点,连接EF并延长,分别与BA、CD的延长线交于点M、N,则∠BME=∠CNE(不需证明).
(温馨提示:
在图1中,连接BD,取BD的中点H,连接HE、HF,根据三角形中位线定理,证明HE=HF,从而∠1=∠2,再利用平行线性质,可证得∠BME=∠CNE.)
问题一:
如图2,在四边形ADBC中,AB与CD相交于点O,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点,连接EF,分别交DC、AB于点M、N,判断△OMN的形状,请直接写出结论;
问题二:
如图3,在△ABC中,AC>AB,D点在AC上,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点,连接EF并延长,与BA的延长线交于点G,若∠EFC=60°
,连接GD,判断△AGD的形状并证明.
(1)取AC中点P,连接PF,PE,
可知PE=AB/2,PE∥AB,
∴∠PEF=∠ANF,
同理PF=CD/2,
PF∥CD,
∴∠PFE=∠CME,
又PE=PF,
∴∠PFE=∠PEF,
∴∠OMN=∠ONM,
∴△OMN为等腰三角形.
(2)判断出△AGD是直角三角形.
如图连接BD,取BD的中点H,连接HF、HE,
∵F是AD的中点,
∴HF∥AB,HF=1/2AB,
同理,HE∥CD,HE=1/2CD,
∵AB=CD∴HF=HE,
∵∠EFC=60°
,∴∠HEF=60°
,∴∠HEF=∠HFE=60°
∴△EHF是等边三角形,∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°
∴△AGF是等边三角形.
∵AF=FD,
∴GF=FD,
∴∠FGD=∠FDG=30°
∴∠AGD=90°
即△AGD是直角三角形.
11、已知:
点B、C分别在射线OA、OD上,AB=CD,△PAB的面积等于△PCD的面积。
求证:
OP平分∠AOD。
12、如图,在△ABC中,∠ABC=60°
,AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB,求证:
AC=AE+CD.
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