函数的零点与方程的解高一新教材A版必修第一册.docx
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函数的零点与方程的解高一新教材A版必修第一册.docx
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函数的零点与方程的解高一新教材A版必修第一册
函数的应用
函数的零点与方程的解
1.函数的零点
对于函数y=f(x),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
思考1:
函数的零点是函数与x轴的交点吗?
提示:
不是.函数的零点不是个点,而是一个数,该数是函数图象与x轴交点的横坐标.
2.方程、函数、函数图象之间的关系
方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.
3.函数零点存在定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解.
思考2:
该定理具备哪些条件?
提示:
定理要求具备两条:
①函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线;②f(a)·f(b)<0.
1.下列各图象表示的函数中没有零点的是( )
A B C D
D [结合函数零点的定义可知选项D没有零点.]
2.函数y=2x-1的零点是( )
A.
B.
C.
D.2
A [由2x-1=0得x=
.]
3.函数f(x)=3x-4的零点所在区间为( )
A.(0,1)B.(-1,0)C.(2,3)D.(1,2)
D [由f(-1)=-
<0,f(0)=-3<0,f
(1)=-1<0,f
(2)=5>0,f(3)=23>0,得f(x)的零点所在区间为(1,2).]
4.二次函数y=ax2+bx+c中,a·c<0,则函数有________个零点.
2 [由Δ=b2-4ac>0得二次函数y=ax2+bx+c有两个零点.]
求函数的零点
【例1】
(1)求函数f(x)=
的零点;
(2)已知函数f(x)=ax-b(a≠0)的零点为3,求函数g(x)=bx2+ax的零点.
[解]
(1)当x≤0时,令x2+2x-3=0,解得x=-3;
当x>0时,令-2+lnx=0,解得x=e2.
所以函数f(x)=
的零点为-3和e2.
(2)由已知得f(3)=0即3a-b=0,即b=3a.
故g(x)=3ax2+ax=ax(3x+1).
令g(x)=0,即ax(3x+1)=0,
解得x=0或x=-
.
所以函数g(x)的零点为0和-
.
函数零点的求法
(1)代数法:
求方程f(x)=0的实数根.
(2)几何法:
对于不能用求根公式的方程f(x)=0,可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来.图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
1.判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出;否则,请说明理由.
(1)f(x)=x2+7x+6;
(2)f(x)=1-log2(x+3);
(3)f(x)=2x-1-3;
(4)f(x)=
.
[解]
(1)解方程f(x)=x2+7x+6=0,
得x=-1或x=-6,
所以函数的零点是-1,-6.
(2)解方程f(x)=1-log2(x+3)=0,得x=-1,所以函数的零点是-1.
(3)解方程f(x)=2x-1-3=0,得x=log26,所以函数的零点是log26.
(4)解方程f(x)=
=0,得x=-6,所以函数的零点为-6.
判断函数零点所在的区间
【例2】
(1)函数f(x)=ln(x+1)-
的零点所在的大致区间是( )
A.(3,4) B.(2,e)
C.(1,2)D.(0,1)
(2)根据表格内的数据,可以断定方程ex-x-3=0的一个根所在区间是( )
x
-1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.08
x+3
2
3
4
5
6
A.(-1,0)B.(0,1)
C.(1,2)D.(2,3)
(1)C
(2)C [
(1)因为f
(1)=ln2-
<0,f
(2)=ln3-1>0,且函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,
所以函数的零点所在区间为(1,2).故选C.
(2)构造函数f(x)=ex-x-3,由上表可得f(-1)=0.37-2=-1.63<0,
f(0)=1-3=-2<0,
f
(1)=2.72-4=-1.28<0,
f
(2)=7.39-5=2.39>0,
f(3)=20.08-6=14.08>0,
f
(1)·f
(2)<0,所以方程的一个根所在区间为(1,2),故选C.]
判断函数零点所在区间的三个步骤
(1)代入:
将区间端点值代入函数求出函数的值.
(2)判断:
把所得的函数值相乘,并进行符号判断.
(3)结论:
若符号为正且函数在该区间内是单调函数,则在该区间内无零点,若符号为负且函数连续,则在该区间内至少有一个零点.
2.若函数f(x)=x+
(a∈R)在区间(1,2)上有零点,则a的值可能是( )
A.-2 B.0
C.1D.3
A [f(x)=x+
(a∈R)的图象在(1,2)上是连续不断的,逐个选项代入验证,当a=-2时,f
(1)=1-2=-1<0,f
(2)=2-1=1>0.故f(x)在区间(1,2)上有零点,同理,其他选项不符合,选A.]
函数零点的个数
[探究问题]
1.方程f(x)=a的根的个数与函数y=f(x)及y=a的图象交点个数什么关系?
提示:
相等.
2.若函数g(x)=f(x)-a有零点,如何求实数a的范围?
提示:
法一:
g(x)=f(x)-a有零点可知方程
f(x)-a=0有解,即a=f(x)有解.
故a的范围为y=f(x)的值域.
法二:
g(x)=f(x)-a有零点,等价于函数y=a与函数y=f(x)的图象有交点,故可在同一坐标系中分别画出两函数的图象,观察交点情况即可.
【例3】 已知0 A.1 B.2C.3 D.4 [思路点拨] → → B [函数y=a|x|-|logax|(0 画出函数f(x)=a|x|(0 1.把本例函数“y=a|x|-|logax|”改为“y=2x|logax|-1”,再判断其零点个数. [解] 由2x|logax|-1=0得|logax|= x,作出y=
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