直线的方向向量与平面的法向量.docx
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直线的方向向量与平面的法向量
迪.J
直线的方向向量与平面的法向量
【问题导思】
图3-2-1
1.如图3-2-1,直线I//m,在直线I上取两点A、B,在直线m上取两点C、D,向量Ab与CD有怎样的关系?
【提示】Ab//Cd.
2.如图直线I丄平面a,直线I//m,在直线m上取向量n,则向量n与平面a有怎样的关系?
【提示】n丄a
直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的非零向量,一条直线的方向向量有无数
个.
直线I丄a取直线I的方向向量a,则向量a叫做平面a的法向量.
空间中平行关系的向量表示
线线平行
设两条不重合的直线1,m的方向向量分别为a=(a^bi,ci),b=(a2,b2,C2),
贝VI//m?
a/b?
(ai,bi,ci)=k(a2,b2,c2)
线面平行
设1的方向向量为a—(ai,bi,ci),a的法向量为u=(a2,b2,⑵,则1//a?
au
=0?
aia2+bib2+cic2—0
面面平行
设a,B的法向量分别为u—(ai,bi,ci),v—(a2,b2,⑵,贝9a//价u//v?
bi,ci)=k(a2,b2,C2)
图3-2-2
求平面的法向量
㈣二
已知ABCD是直角梯形,/ABC=90°SA丄平面ABCD,SA=AB=BC=1,
AD=1,试建立适当的坐标系.
(1)求平面ABCD与平面SAB的一个法向量.
(2)求平面SCD的一个法向量.
【自主解答】以点A为原点,AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建
1
立如图所示的坐标系,则A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),Dq,0,0),S(0,0,1).
(1)•/SA丄平面ABCD,•••AS=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量.
•/AD丄AB,AD丄SA,「.AD丄平面SAB,
•Ad=(1,0,0)是平面sab的一个法向量.
(2)在平面SCD中,DC=g,1,0),SC=(1,1,-1).
设平面SCD的法向量是n=(x,y,z),贝Un丄DC,n丄SC.
1
x+y=0
得方程组2
x+y—z=0.
令y=—1得x=2,z=1,「.n=(2,—1,1).
II规律方法I
1.若一个几何体中存在线面垂直关系,则平面的垂线的方向向量即为平面的法向量.
2•—般情况下,使用待定系数法求平面的法向量,步骤如下:
⑴设出平面的法向量为n=(x,y,z)•
(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量
a=(ai,bi,ci),b=(a2,b2,C2).
⑶根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组
na=0,
nb=0.
(4)解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
na0,
3.在利用上述步骤求解平面的法向量时,方程组有无数多个解,只需给x,
nb=0
y,z中的一个变量赋于一个值,即可确定平面的一个法向量;赋的值不同,所求平面的法向量就不同,但它们是共线向量.
亜X训圾
正方体ABCD—AiBiCiDi中,E、F分别为棱AiDi、A1B1的中点,在如图3—2-3所示的空间直角坐标系中,求:
Die
图3—2—3
(1)平面BDDiBi的一个法向量.
(2)平面BDEF的一个法向量.
【解】设正方体ABCD—AiBiCiDi的棱长为2,则D(0,0,0),B(2,2,0),A(2,0,0),C(0,2,0),
E(i,0,2)
(1)连AC,因为AC丄平面BDDiBi,所以AC=(—2,2,0)为平面BDDiBi的一个法向量.
(2)DB=(2,2,0),DE=(i,0,2).
设平面BDEF的一个法向量为n=(x,y,z).
令x=2得y=—2,z=—1.
•••n=(2,—2,1)即为平面BDEF的一个法向量.
咧长方体ABCD—AiBiCiDi中,E、F分别是面对角线B1D1,AiB上的点,且DiE
=2EBi,BF=2FAi.求证:
EF//ACi.
22b2
c),Eqa,3b,c),F(a,3,3C)-
二,abcf1、
•FE=(—3,3,3),ACi=(—a,b,c),
•FE=3AC1.
又FE与ACi不共线,
•直线EF//ACi.
II规律方法I
利用向量法证明线线平行的方法与步骤:
&flDllS
图3-2-4
如图3—2-4所示,在正方体ABCD—AiBiCiDi中,E、F分别为DD1和BBi的中点.求
证:
四边形AECiF是平行四边形.
【证明】以点D为坐标原点,分别以DA,DC,元1为正交基底建立空间直角坐标系,
11
不妨设正方体的棱长为1,则A(1,0,0),E(0,0,2),Ci(0,1,1),F(1,1,^),
f1f1f1f1
AE=(-1,0,2),FC1=(-1,0,2),EC1=(0,1,2),AF=(0,1,2),二AE=FC1,EC1
=Af,
•••Al//FC1,EC1nAf,
又•••F?
AE,F?
EC1,・.AE//FC1,EC1/AF,
•四边形AEC1F是平行四边形.
利用空间向量证明线面平行
图3-2-5
咧如图3-2-5,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AC的中点,求证:
AB1/平
面DBC1.
)
a\
J
【自主解答】以A为坐标原点建立空间直角坐标系.
设正三棱柱的底面边长为a(a>0),侧棱长为b(b>0),
则A(0,0,0),B^a,2,0),Bi(于a,|,b),Ci(0,a,b),D(0,a,0),•-aBi=(宁a,|,b),BD=(-于a,0,0),
~a
DCi=(0,|,b).
设平面DBCi的一个法向量为
n=(x,y,z),
t'3
nBD=—-^ax=0,则-
ta
nDCi=|y+=0,
x=0,
a
z=—却
不妨令y=2b,则n=(0,2b,
—a).
由于ABin=ab—ab=0,因此ABi丄n•
又ABi?
平面DBCi,「.ABi//平面DBCi.
II规律方法I
利用空间向量证明线面平行一般有三种方法:
方法一:
证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面,即可用平面内的一
组基底表示.
方法二:
证明直线的方向向量与平面内某一向量共线,转化为线线平行,利用线面平行
判定定理得证.
方法三:
先求直线的方向向量,然后求平面的法向量,证明方向向量与平面的法向量垂直.
在长方体ABCD—AiBiCiDi中,AAi=2AB=2BC,E,F,Ei分别是棱AAi,BBi,AiBi的中点.
求证:
CE//平面CiEiF.
角坐标系,如图.
1
设BC=1,则C(0,1,0),E(1,0,1),Ci(0,1,2),F(1,1,1),Ei(1,2,2).
设平面CiEiF的法向量为n=(x,y,z),
•-C?
Ei=(1,-2,0),FCi=(-1,0,1),
nCiEi=0,
nFCi=0,
1
即2取n=(1,2,1).
x=z,
•/Cl=(1,-1,1),nCl=1-2+1=0,
•••CE丄n,且CE?
平面CiEiF.
•••CE//平面CEF.
向量法证明空间平行关系
图3-2-6
典倾(12分)如图3—2-6,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,EF//
AB,EF丄FB,AB=2EF,/BFC=90°BF=FC,H为BC的中点.
求证:
FH//平面EDB.
【思路点拨】先通过推理证明FH丄平面ABCD,建立空间直角坐标系,再设证明HF、
BE、BD共面.
【规范解答】•••四边形ABCD是正方形,
•••AB丄BC,又EF//AB,
•••EF丄BC.
又EF丄FB,
•EF丄平面BFC.
•EF丄FH,•AB丄FH.2分
又BF=FC,H为BC的中点,
•FH丄BC.
•FH丄平面ABC.4分以H为坐标原点,HB为x轴正方向,Hf为z轴正方向.
建立如图所示的空间直角坐标系.
设BH=1,则B(1,0,0),D(-1,-2,0),E(0,—1,1),F(0,0,1).6分
—2,0),
•Hf=(0,0,1),BE=(—1,—1,1),BD=(—2,设Hf=入BE+^BD=•—1,—1,1)+K—2,—2,0)=(—入一2禺—入一2卩,?
)8分
•(0,0,1)=(——2仏——2仏为,
—入一2尸0
,解得
1
=1
1
尸一2,
—9—91—9
•HF=BE—?
BD10分•向量Hf,BE,Bd共面.又HF不在平面EDB内,
•HF//平面EDB.12分
【思维启迪】1•建立空间直角坐标系,通常需要找出三线两两垂直或至少找到线面垂
直的条件.
2•证明时,要注意空间线面关系与向量关系的联系与区别,注意所运用定理的条件要找全.
1.利用向量解决立体几何问题的“三步曲”:
⑴建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题;
(2)进行向量运算,研究点、直线、平面之间的关系(距离和夹角等);
(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题.
2•证明线面平行问题,可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系;也可以转化为线线平行,利用向量共线来证明.
交锻学习区J
他双垦达标醴堂球生主至命这"改待"
1.若A(—1,0,1),B(1,4,7)在直线I上,则直线I的一个方向向量为()
A•(1,2,3)B.(1,3,2)
C.(2,1,3)D.(3,2,1)
【解析】AB=(2,4,6)=2(1,2,3).
【答案】A
2.下列各组向量中不平行的是()
A.a=(1,2,—2),b=(—2,—4,4)
B.c=(1,0,0),d=(—3,0,0)
C.e=(2,3,0),f=(0,0,0)
D.g=(—2,3,5),h=(16,24,40)
【解析】•/b=(—2,—4,4)=—2(1,2,—2)=—2a,二a//b,同理:
c//d,e//f.
【答案】D
3.设平面a内两向量a=(1,2,1),b=(—1,1,2),则下列向量中是平面a的法向量的是()
A.(—1,—2,5)B.(—1,1,—1)
C.(1,1,1)D.(1,—1,—1)
【解析】平面a的法向量应当与a、b都垂直,可以检验知B选项适合.
【答案】B
4•根据下列各条件,判断相应的直线与直线、平面与平面、直线与平面的位置关系:
(1)直线11,12的方向向量分别是a=(1,—3,—1),b=(8,2,2);
(2)平面a,B的法向量分别是u=(1,3,0),v=(—3,—9,0);
(3)直线l的方向向量,平面a的法向量分别是a=(1,—4,—3),u=(2,0,3).
【解】
(1)•/ab=1x8+(—3)X2+(—1)X2=0,二11丄|2.
(2)•/v=(—3,—9,0)=—3(1,3,0)=—3仏•••all3
(3)•/a、u不共线,•I不与a平行,也不在a内.
又Tau=—7工0,「.I与a不垂直.
故I与a斜交.
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一、选择题
1.(2013吉林高二检测)li的方向向量为vi=(1,2,3),12的方向向量V2=(入4,6),若li
//I2,则=(
)
A.1
B.2C.3D.4
【解析】
12
-11/l2,「.V1/V2,则〒4,…^=2.
【答案】
B
2.(2013青岛高二检测)若AB=X5D+pCE,则直线AB与平面CDE的位置关系是()
A•相交B.平行
C.在平面内D.平行或在平面内
【解析】•/Ab=x5d+pCE,「.Ab、Cd、CE共面,则ab与平面cde的位置关系是
平行或在平面内.
【答案】D
3.已知平面a内有一个点A(2,—1,2),a的一个法向量为n=(3,1,2),则下列点P中,在平面a内的是(
A.(1,-
-1,1)
B.(1,3,刁
3
3
C.(1,-
-3,m
D.(—1,3,—刁
【解析】
对于
B,AP=(—1,4,—
1
1),
则nAP=(3,1,2)(亠1,4,—2)=0,
—>3
•••n丄AP,则点P(1,3,;)在平面a内.
4.
【答案】B
已知A(1,1,0),B(1,0,1),C(0,1,1),则平面ABC的一个法向量的单位向量是()
(1,1,1)
(3
【解析】设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),AB=(0,-1,1),BC=(-1,1,0),AC
ABn=—y+z=0
=(—1,0,1),贝VBCn=—x+y=0二x=y=z,
ACn=—x+z=0
又•••单位向量的模为1,故只有B正确.
【答案】B
5.如图3—2—7,在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,点M,P,Q分别为棱AB,CD,BC的中点,若平行六面体的各棱长均相等,则()
1A1M//D1P;
2A1M//B1Q;
3A1M//平面DCC1D1;
4A1M//平面D1PQB1.
以上正确说法的个数为()
A.1B.2C.3D.4
->->->->1->->->->->1->->->
【解析】A1M=A1A+AM=A1A+^AB,D1P=D1D+DP=A1A+^AB,-A1M/D1P,所以A1M//D1P,由线面平行的判定定理可知,A1M//面DCC1D1,A1M//面D1PQB1.①③④正确.
【答案】C
二、填空题
1
6.(2013泰安高二检测)已知直线I的方向向量为(2,m,1),平面a的法向量为(1,?
2),且l/a,贝Vm=.
【解析】TI//a,•••I的方向向量与a的法向量垂直,
11
••(2,m,1)(1,2,2)=2+qm+2=0,「.m=—8.
【答案】—8
7.已知A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,—5),点P(x,—1,3)在平面ABC内,则x=.
【解析】AB=(—2,2,—2),AC=(—1,6,—8),AP=(x—4,—2,0),由题意知A、B、
C、P共点共面,•-AP=?
AB+j-AC=(—2人2人—2为+(—卩,6卩,—8©=(—2—卩,2?
d-6仏一2入一8—.
2?
d-6-=—2入=一4
----而x—4=—2?
——--x=11.
—2—8-=0,-=1,
【答案】11
&下列命题中,正确的是.(填序号)
1若n1,n2分别是平面a,B的一个法向量,贝Un1/n2?
a//3;
2若n1,n2分别是平面a,3的一个法向量,贝Ua丄3?
n1n2=0;
3若n是平面a的一个法向量,a与平面a共面,则na=0;
4若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面一定不垂直.
【解析】②③④一定正确,①中两平面有可能重合.
【答案】②③④
三、解答题
图3—2—8
9.
已知0、A、B、C、D、E、F、G、H为空间的9个点(如图3—2—8所示),并且0E
求证:
(1)A、B、C、D四点共面,E、F、G、H四点共面;
(3)0G=kOC
【解】⑴由AC=AD+mAB,EG=EH+mEF,知A、B、C、D四点共面,E、F、G、
H四点共面.
=k(OD-OA)+km(0B-OA)=kAD+kmAB
=k(AD+mAB)=kAC,
•••AC//EG.
•OG=kOC
10.在正方体ABCD—AiBiCiDi中,E,F分别是BBi,DC的中点,求证:
AE是平面
AiDiF的法向量.
【证明】设正方体的棱长为i,建立如图所示的空间直角坐标系,贝UA(i,0,0),E(i,i,
1ifi
2,Di(0,0,i),F(0,2,°),Ai(i,0,i),AE=(0,1,2),
~fi-f
DiF=(0,2,-i),AiDi=(—i,0,0).
ffii
•-AEDiF=(0,i,p(•,2,-i)
=0,
又AEAiDi=0,
•AE丄DiF,AE_LAiDi.
又AiDiADiF=Di,
•••AE丄平面AiDiF,
•••AE是平面AiDiF的法向量.
n
11.如图3-2-9,在四棱锥O—ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,/ABC=4,
OA丄底面ABCD,OA=2,M为OA的中点,N为BC的中点,证明:
直线MN//平面OCD.
【证明】作APICD于点P.如题图分别以AB、AP、AO所在直线为x轴、y轴、建立空间直角坐标系.
A(0,0,0),B(1,0,0),P(0,彳0),
于,0),O(0,0,2),M(0,0,1),N(1—于
0).MN=(1-42,42,-1),
2).
OP=(0,号,-2),Od=(-今
设平面OCD的法向量为
n=(x,y,z).
,取z=•.2,贝y=4,x=0,
1)(0,42)=0,
nOP=0,nOD=0.
2y-2z=0
2.2
—"Tx+R-2z=0
n=(0,4,,2).
•-mn•=(1-乎,¥,
44
•MN//平面OCD.
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- 直线 方向 向量 平面