平面向量方法总结.docx
- 文档编号:2876931
- 上传时间:2023-05-04
- 格式:DOCX
- 页数:23
- 大小:26.16KB
平面向量方法总结.docx
《平面向量方法总结.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《平面向量方法总结.docx(23页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
平面向量方法总结
平面向量
应试技巧总结
一.向量有关概念:
1.向量的概念:
既有大小又有方向的量,注意向量和数量的区别。
向量常用有向线段来表示,注意不能说向量就是有向线段,为什么?
(向量可以平移)。
如:
已知A(1,2),B(4,2),则把向量AB按向量a=(-1,3)平移后得到的向量是
(答:
(3,0))
2.零向量:
长度为0的向量叫零向量,记作:
0,注意零向量的方向是任意的;
3.单位向量:
长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是AB);
|AB|
4.相等向量:
长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性;
5.平行向量(也叫共线向量):
方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量,记作:
a∥b,
规定零向量和任何向量平行。
提醒:
①相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等;
②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念:
两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合;
③平行向量无传递性!
(因为有0);
④三点A、B、C共线AB、AC共线;
6.相反向量:
长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
a的相反向量是-a。
如
下列命题:
(1)若ab,则ab。
(2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终
点相同。
(3)若ABDC,则ABCD是平行四边形。
(4)若ABCD是平行四边形,则ABDC。
(5)若ab,bc,则ac。
(6)若a//b,b//c,则a//c。
其中正确的是_______
(答:
(4)(5))
二.向量的表示方法:
1.几何表示法:
用带箭头的有向线段表示,如AB,注意起点在前,终点在后;
2.符号表示法:
用一个小写的英文字母来表示,如a,b,c等;
3.坐标表示法:
在平面建立直角坐标系,以与
x轴、
y轴方向相同的两个单位向量
i,
j
为基
底,则平面的任一向量
a可表示为
a
xi
yj
x,y
,称
x,y
为向量
a的坐标,
a=
x,y
叫做向量a的坐标表示。
如果向量的起点在原点,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
三.平面向量的基本定理:
如果e1和e2
是同一平面的两个不共线向量,那么对该平面的任一
向量a,有且只有一对实数
1
1
+
2
。
如
、2,使a=1e
2e
(1)若a(1,1),b(1,1),c(1,2),则c______
(答:
1
a
3
b);
2
2
(2)下列向量组中,能作为平面所有向量基底的是
A.e1(0,0),e2(1,2)B.e1(1,2),e2(5,7)
C.e1(3,5),e2(6,10)
D.
1
3
e1(2,3),e2(,
)
2
4
(答:
B);
(3)已知AD,BE分别是
ABC的边BC,AC上的中线,且AD
a,BEb,则BC可用向量a,b
表示为_____
(答:
2a
4b);
3
3
()已知ABC中,点
D在
BC边上,且
CD2DB,CD
rABsAC,则r
s的值是
4
___
(答:
0)
四.实数与向量的积:
实数
与向量
a的积是一个向量,记作
a,它的长度和方向规定如下:
1aa,2当
>0时,
a的方向与a的方向相同,当
<0时,
a的方向与a的
方向相反,当=0时,
a0
,注意:
a≠。
0
五.平面向量的数量积:
1.两个向量的夹角:
对于非零向量a,b,作OAa,OB
b,AOB
0称为向量a,b的夹角,当=0时,a,b同向,当=时,a,b反向,当=
时,a,b垂直。
2
2.平面向量的数量积:
如果两个非零向量a,b,它们的夹角为,我们把数量|a||b|cos
叫做a与b的数量积(或积或点积),记作:
a?
b,即a?
b=abcos。
规定:
零向量与任一向量的数量积是0,注意数量积是一个实数,不再是一个向量。
如
(1)△ABC中,|AB|3,|AC|4,|BC|5,则ABBC_________
(答:
-9);
(2)已知a(1,1),b(0,1),cakb,dab,c与d的夹角为,则k等于____
224
(答:
1);
(3)已知a2,b5,ab3,则ab等于____
(答:
23);
(4)已知a,b是两个非零向量,且abab,则a与ab的夹角为____
(答:
30)
3.b在a上的投影为|b|cos,它是一个实数,但不一定大于0。
如
已知|a|3,|b|5,且ab12,则向量a在向量b上的投影为______
(答:
12)
5
4.a?
b的几何意义:
数量积a?
b等于a的模|a|与b在a上的投影的积。
5.向量数量积的性质:
设两个非零向量a,b,其夹角为,则:
①aba?
b0;
2
2
2
②当a,b同向时,a?
b=ab,特别地,a
a?
aa
aa;当a与b反向时,a
?
b=-ab;当为锐角时,a?
b>0,且a、b不同向,ab
0是为锐角的必要非充分条
件;当为钝角时,a?
b<0,且a、b不反向,ab
0是为钝角的必要非充分条件;
③非零向量a,b夹角的计算公式:
cos
a?
b;④|a?
b||a||b|。
如
ab
(1)已知a
(,2),b
(3,2),如果a与b的夹角为锐角,则
的取值围是______
(答:
4或
0且
1);
3
3
(2)已知OFQ的面积为S,且OFFQ
1,若1
S
3,则OF,FQ夹角
的取值围
2
2
是_________
(答:
(,
));
4
3
(3)已知a
(cosx,sinx),b(cosy,siny),a与b之间有关系式kab
3akb,其中k
0,①
用k表示ab;②求ab的最小值,并求此时a与b的夹角
的大小
(答:
①ab
k2
1
(k0);②最小值为1,
60)
4k
2
六.向量的运算:
1.几何运算:
①向量加法:
利用“平行四边形法则”进行,但“平行四边形法则”只适用于不共线的向
量,如此之外,向量加法还可利用“三角形法则”:
设AB
a,BC
b,那么向量AC叫做a与
b的和,即abABBCAC;
②向量的减法:
用“三角形法则”:
设AB
a,AC
b,那么a
bABACCA,由减向量
的终点指向被减向量的终点。
注意:
此处减向量与被减向量的起点相同。
如
(1)化简:
①ABBCCD___;②AB
ADDC____;③(AB
CD)(ACBD)_____
(答:
①AD;②CB;③
0);
(2)若正方形ABCD的边长为1,AB
a,BC
b,AC
c,则|a
bc|=_____
(答:
2
2);
(3)若O是ABC所在平面一点,且满足OB
OC
OB
OC
2OA,则ABC的形状
为____
(答:
直角三角形);
(4)若D为ABC的边BC的中点,ABC所在平面有一点P,满足PABPCP
0,
设|AP|
,则的值为___
|PD|
(答:
2);
(5)若点O是△ABC的外心,且OAOBCO0,则△ABC的角C为____
(答:
120);
2.坐标运算:
设a(x1,y1),b(x2,y2),则:
①向量的加减法运算:
ab(x1x2,y1y2)。
如
(1)已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若APAB
AC(
R),则当
=____时,点P在第
一、三象限的角平分线上
(答:
1
);
2
(2)已知A(2,3),B(1,4),且1
AB
(sinx,cosy),x,y
(
2
),则xy
2
2
(答:
或
);
6
2
(3)已知作用在点
A(1,1)的三个力F1(3,4),F2(2,
5),F3
(3,1),则合力FF1
F2F3
的
终点坐标是
(答:
(9,1))
②实数与向量的积:
ax1,y1x1,y1。
③若A(x1,y1),B(x2,y2),则ABx2x1,y2y1,即一个向量的坐标等于表示这个向量的
有向线段的终点坐标减去起点坐标。
如
设A(2,3),B(1,5),且AC
1
3AB,则C、D的坐标分别是__________
AB,AD
3
11
);
(答:
(1,),(7,9)
3
④平面向量数量积:
a?
b
x1x2y1y2。
如
已知向量a=(sinx,cosx),b=(sinx,sinx),c=(-1,0)。
(1)若x=
,求向量a、
3,
ab的最大值为1,求的值
3
c的夹角;
(2)若x∈[
],函数f(x)
8
4
2
(答:
(1)150;
(2)
1或
21);
2
⑤向量的模:
|a|
x2
2
x
y2。
如
y2,a|a|2
2
已知a,b均为单位向量,它们的夹角为60,那么|a3b|=_____
(答:
13);
⑥两点间的距离:
若Ax1,y1,Bx2,y2,则
22
|AB|x2x1y2y1。
如
如图,在平面斜坐标系xOy中,xOy60,平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这
样定义的:
若OPxe1ye2,其中e1,e2分别为与x轴、y轴同方向的单位向量,则P点斜坐标
为(x,y)。
(1)若点P的斜坐标为(2,-2),求P到O的距离|PO|;
(2)求以O为圆心,1
为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程。
(答:
(1)2;
(2)x2y2xy10);
七.向量的运算律:
.交换律:
abba,
a
a
,a?
b
b?
a;
1
2.结合律:
ab
c
ab
c,ab
c
ab
c
,
a?
b
a?
ba?
b;
3.分配律:
a
a
a,
a
b
a
b,a
b?
c
a?
cb?
c。
如
下列命题中:
①
a(b
c)
ab
ac;②a(bc)
(ab)c;③(a
b)2
|a|2
2|a||b||b|2;④若ab0
,则a
0或b
0
;⑤若ab
cb,则a
2
2
c;⑥a
a;⑦
ab
b
;⑧(ab)
2
a
22
b)
2
2
2ab
2
。
其中正确的是______
2
b;⑨(a
a
b
aa
(答:
①⑥⑨)
提醒:
(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别:
对于一个向量等式,可以移项,两边平方、两边同乘以一个实数,两边同时取模,两边同乘以一个向量,但不能两边同除以一
个向量,即两边不能约去一个向量,切记两向量不能相除(相约);
(2)向量的“乘法”不满足结合律,即a(b?
c)(a?
b)c,为什么?
八.向量平行(共线)的充要条件:
a//bab(ab)2(|a||b|)2x1y2y1x2=0。
如
(1)若向量a(x,1),b(4,x),当x=_____时a与b共线且方向相同
(答:
2);
(2)已知a(1,1),b(4,x),ua2b,v2ab,且u//v,则x=______
(答:
4);
(3)设PA(k,12),PB(4,5),PC(10,k),则k=_____时,A,B,C共线
(答:
-2或11)
九.向量垂直的充要条件:
ab
ab0|ab||ab|
x1x2
y1y20.特别地
(AB
AC)(AB
AC)。
如
AB
AC
AB
AC
(1)已知OA
(1,2),OB(3,m),若OA
OB,则m
(答:
3);
2
(2)以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB,B
90
,则点B的坐标是
________
(答:
(1,3)或(3,-1));
(3)已知n
(a,b),向量nm,且n
m,则m的坐标是________
(答:
(b,a)或(b,a))
十.线段的定比分点:
1.定比分点的概念:
设点P是直线P1P2上异于P1、P2的任意一点,若存在一个实数
,
1
2,则叫做点P分有向线段PP12
所成的比,P点叫做有向线段PP12
的以定比为
的
使PP
PP
定比分点;
2.的符号与分点P的位置之间的关系:
当P点在线段P1P2上时
>0;当P点在线
段P1
P2
的延长线上时
<-1;当P点在线段P
2
1的延长线上时
1
0;若点P分
P
有向线段
1
2所成的比为
,则点
P
分有向线段21
所成的比为
1。
如
PP
PP
若点P分AB所成的比为3,则A分BP所成的比为_______
4
(答:
7)
3
3.线段的定比分点公式:
设P1(x1,y1)、P2(x2,y2),P(x,y)分有向线段PP12
所成的比为
,
x1
x2
x
x1
x2
x
2
1
,特别地,当=1时,就得到线段
P1P2的中点公式
则
y1
y2。
在使用定
y1
y
y2
y
2
1
比分点的坐标公式时,应明确(x,y),(x1,y1)、(x2,y2)的意义,即分别为分点,起点,终点的
坐标。
在具体计算时应根据题设条件,灵活地确定起点,分点和终点,并根据这些点确定对应的定比。
如
(1)若M(-3,-2),N(6,-1),且MP
1MN
的坐标为
_______
,则点P
3
(答:
(6,
7));
3
(2)已知A(a,0),B(3,2a),直线y
1ax与线段AB交于M,且AM
2MB,则a等于_______
2
(答:
2或-4)
十一.平移公式:
如果点P(x,y)按向量ah,k平移至P(x,y),则
xxh;曲线
yyk
f(x,y)0按向量ah,k平移得曲线f(xh,yk)0.注意:
(1)函数按向量平移与平常“左
加右减”有何联系?
(2)向量平移具有坐标不变性,可别忘了啊!
如
(1)按向量a把(2,3)平移到(1,2),则按向量a把点(7,2)平移到点______
(答:
(-8,3));
(2)函数y
sin2x的图象按向量a平移后,所得函数的解析式是
ycos2x
1,则a=
________
(答:
(
4
1))
12、向量中一些常用的结论:
(1)一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量,要注意运用;
(2)||a|
|b|||a
b||a|
|b|,特别地,当a、b同向或有0
|ab||a|
|b|
||a||b||
|ab|;当a、b反向或有0|ab||a|
|b|
||a||b|||a
b|;当a、b不共线
||a||b||
|a
b|
|a|
|b|(这些和实数比较类似).
(3
)在
ABC
中,①若Ax1,y1,Bx2,y2
Cx3,y3
,则其重心的坐标为
Gx1x2
x3,y1
y2
y3。
如
3
3
若⊿ABC的三边的中点分别为(2,1)、(-3,4)、
(-1,-1),则⊿ABC的重心的坐
标为_______
(答:
(
2
4
));
3
3
②PG
1(PA
PB
PC)
G为ABC的重心,特别地PA
PB
PC0
P为ABC的
3
重心;
③PAPBPBPCPCPAP为ABC的垂心;
④向量(ABAC)(0)所在直线过ABC的心(是BAC的角平分线所在直线);
|AB||AC|
⑤|
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 平面 向量 方法 总结