圆周率的故事数学大世界推荐阅读材料六年级上册.docx
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圆周率的故事数学大世界推荐阅读材料六年级上册
圆周率的故事
今天老师布置了一道思考题,计算阴影部分的面积。
妞妞使用了在集合圈这一课中学到的知识,很容易就作出来了。
因为把四个半圆的面积加起来,阴影面积就被计算了两遍,减掉正方形的面积,就可以得到阴影的面积。
计算不复杂,妞妞是这样写的:
S=4*(π*52/2)-102=50π-100cm2
题是做完了,但是妞妞看着答案,半天都没说话,最后忍不住抬头问爸爸:
“π到底是个什么东西呀?
”
爸爸笑着说:
“我们今天就讲讲圆周率π的故事吧。
先问问妞妞你知道圆周率到底等于多少吗?
”
妞妞说:
“3.14吧!
”
“对,一般我们是使用它的近似值3.14来计算,我们也使用22/7,和355/133作为它的近似值。
爸爸会背它到小数点后22位,你听3.1415926535897932354626。
”爸爸慢慢地居然背了下来。
妞妞先是目瞪口呆,继而微笑问道。
“爸爸,你怎么能记得住这么多的呀?
”
“山巅一寺一壶酒,尔乐毋杀吾,把酒吃,酒杀尔,杀不死,乐尔乐。
”爸爸慢慢地说,一边微笑地看着妞妞。
妞妞一边听,一边笑,爸爸念完,妞妞笑得喘不过气,蹲在地上,半天站不起来。
“爸爸,你教我这个,太好玩了!
”妞妞笑得上气不接下气地说。
“是不是说有一个和尚喝酒的事儿呀?
”
“是呀,我会写成文章给你的。
”爸爸向妞妞保证。
“但是我们今天的话题还刚开始。
圆周率就是圆的周长和圆的直径之比,这是一个常数,这已经很神奇了,而且是一个无法通过有限次计算获得的无理数。
我们的古人很早就知道圆的周长和它的直径之比,也就是他们相除,所得的数字是一个不变的数,但是这个数到底是什么,却总没有一个准确的结果。
中国在汉朝之前,一般采用的圆周率是‘周三径一’,也就是π=3。
”
爸爸拿起了笔,画了一个圆,再在圆内画了一个等边三角形。
“我们要理解这个神奇的数字,我们还是从简单的形状说起。
其实正多边形的周长,与它们的外接圆直径之比也都是常数。
注意必须是正多边形,一般的多边形没有这个特点。
我们可以计算一下这个比例,如果计算的过程妞妞不能理解的话,也没关系,我们理解了结果就行了。
”妞妞点点头。
“等边三角形的中心到三个顶点的距离等于圆的半径。
如果圆的半径是1的话,等边三角形的边长就是(1+1-2cos1200)1/2=31/2,等边三角形的周长除以外接圆直径结果大约是3*1.732051/2=2.598076。
也就是说,等边三角形中的边长和外接圆直径之比约是2.6。
同样,对于正方形,我们也有其周长和外接圆直径之比为4*21/2/2=2.828427。
对于正五边形,计算稍微复杂一些,不过妞妞可以不去管这个计算过程。
相应地,我们也有五边形的边长=(1+1-2cos720)1/2=(2-2*0.309017)1/2=1.3819661/2=1.175571。
相应我们有五边形周长和外接圆直径之比为5*1.175571/2=2.938926。
”
爸爸继续在纸上画图,他的图画的有标准,又美观。
妞妞心里好希望自己什么时候也能画出这样好看的图形。
“六边形最简单了,它就是由六个等边三角形构成的,所以他的周长和外接圆直径的比就是6*1/2=3。
正七边形和八边形我就不画了,但是它们周长和外接圆直径的比例分别是:
正七边形:
7*(1+1-2cos(360/7)0)1/2/2=3.037186
正八边形:
8*(1+1-2cos(360/8)0)1/2/2=3.061467
我们把这些正边形的周长和外接圆直径之比罗列下来,可以看见一些规律:
正三角形周长和外接圆直径之比:
2.598076
正四边形周长和外接圆直径之比:
2.828427
正五边形周长和外接圆直径之比:
2.938926
正六边形周长和外接圆直径之比:
3
正七边形周长和外接圆直径之比:
3.037186
正八边形周长和外接圆直径之比:
3.061467”
妞妞很快就看出了它的规律,说:
“它们一个比一个大。
”
“对,这与我们的直觉也是一样的。
两点之间直线最短,所以边数越多,周长越长,而且它们的周长和圆的周长越来越接近,对不对?
。
”
妞妞说:
“周三径一实际上就是六边形的比值,这很不准吧!
”
爸爸满意地点了点头,说:
“妞妞说的很对。
对于圆周率的计算在很长时间里代表着一个国家的数学水平。
据《隋书·律历志》记载,南北朝时期杰出数学家祖冲之确定了圆周率3.1415926<л<3.1415927。
同时,祖冲之还确定了圆周率的两个分数形式的近似值:
约率л=22/7,密率л=355/113;祖冲之确定的圆周率准确到小数点后七位,这在当时世界上是最先进的,直到一千年以后,才有人打破了祖冲之的记录。
”
妞妞说:
“我们中国人好聪明呀!
”
爸爸接着说:
“可惜现代数学中中国人落后了,不过我们赶上的速度很快。
祖冲之计算圆周率的办法就是我们今天讨论的方法。
通过计算六边形边长和面积,进而十二边形,二十四边形,四十八边形,等等。
据我们现代人计算,圆内接接正三千零七十二边形时,其周长和直径之比为3927/1250=3.1416,而要得到3.1415926和3.1415927,必须求出圆内接正一万二千二百八十八边形的边长和二万四千五百七十六边形的面积。
这样求出的圆周率才能准确到小数点后七位。
”
妞妞感叹道:
“太了不起了!
可是这种办法是不是太麻烦了呢?
”
爸爸说:
“这在没有现代数学方法的古代,就是最先进的办法了。
不过由于祖冲之没有留下他解决问题的过程,现代人也只是推测他的办法。
你平时喜欢只记录问题的答案,写解答过程的时候往往偷懒,不愿意写下思考的过程和推断的逻辑,这样不太好。
别人没有办法知道你的思路,往往时间长了你自己也会忘记。
”妞妞听到爸爸的批评有些不好意思,不过还是点点头,表示接受。
爸爸接着说:
“说最后一点就结束今天的话题了。
假设外接圆半径为R,我们还有圆内接正多边形的面积和周长的新公式
正三角形周长=3*31/2*R,面积=3*31/2*R2/4
正四边形周长=4*21/2R,面积=2R2
正六边形周长=6R,面积=3*31/2*R2/2
正八边形周长=8(2-21/2)1/2*R,面积=2*21/2*R2
正十二边形周长=12*(2-31/2)1/2*R,面积=3R2
比较圆的周长和面积公式,我们也可以看到许多的相似之处,周长=2πR,面积=πR2。
而实际上,他们也存在逼近的关系。
这说起来更复杂一些,不过我们可以记住这些公式,在只给出正多边形外接圆半径的情况下,也可以计算正多变形的面积和周长。
还要记住这只对正多边形有效,对非正多边形没有效果。
”
爸爸摸了摸妞妞的头,“今天的话题有趣吗?
”
“还不错,尤其是和尚喝酒的口诀。
我要背一背这个口诀,你快教教我吧!
”
墓碑上的年龄问题
丢番图是古希腊杰出的数学家,在他的墓碑上刻着一首谜语式的短诗,内容是一道有趣的数学问题。
5年之后生子,子先其父4年而死,
寿命是他父亲的一半,
问丢番图活了多少岁?
想:
把丢番图的年龄看作单位“1”,那么(5+4)年的和相当于
=84(岁)
答:
丢番图活了84岁。
数学家陈省身的故事
2004年12月3日,国际数学大师、中科院外籍院士陈省身,在天津病逝.享年93岁.陈省身,1911年10月26日生于浙江嘉兴.少年时就喜爱数学,觉得数学既有趣又较容易,并且喜欢独立思考,自主发展,常常“自己主动去看书,不是老师指定什么参考书才去看”.陈省身1927年进入南开大学数学系,该系的姜立夫教授对陈省身影响很大.在南开大学学习期间,他还为姜立夫当助教.1930年毕业于南开大学,1931年考入清华大学研究院,成为中国国内最早的数学研究生之一.在孙光远博士指导下,发表了第—篇研究论文,内容是关于射影微分几何的.1932年4月应邀来华讲学的汉堡大学教授布拉希克对陈省身影响也不小,使他确定了以微分几何为以后的研究方向.1934年,他毕业于清华大学研究院,同年,得到汉堡大学的奖学金,赴布拉希克所在的汉堡大学数学系留学.在布拉希克研究室他完成了博士论文,研究的是嘉当方法在微分几何中的应用.1936年获得博土学位.从汉堡大学毕业之后,他来到巴黎.1936年至1937年间在法国几何学大师E·嘉当那里从事研究.E·嘉当每两个星期约陈省身去他家里谈一次,每次一小时.“听君一席话,胜读十年书.”大师面对面的指导,使陈省身学到了老师的数学语言及思维方式,终身受益.陈省身数十年后回忆这段紧张而愉快的时光时说,“年轻人做学问应该去找这方面最好的人”.
陈省身先后担任我国西南联大教授,美国普林斯顿高等研究所研究员,芝加哥大学、伯克利加州大学终身教授等,是美国国家数学研究所、南开大学数学研究所的创始所长.陈省身的数学工作范围极广,包括微分几何、拓扑学、微分方程、代数、几何、李群和几何学等多方面.他是创立现代微分几何学的大师.早在40年代,他结合微分几何与拓扑学的方法,完成了黎曼流形的高斯—博内一般形式和埃尔米特流形的示性类论.他首次应用纤维丛概念于微分几何的研究,引进了后来通称的陈氏示性类.为大范围微分几何提供了不可缺少的工具.他引近的一些概念、方法和工具,已远远超过微分几何与拓扑学的范围,成为整个现代数学中的重要组成部分.陈省身还是一位杰出的教育家,他培养了大批优秀的博士生.他本人也获得了许多荣誉和奖励,例如1975年获美国总统颁发的美国国家科学奖,1983年获美国数学会“全体成就”靳蒂尔奖,1984年获沃尔夫奖.中国数学会在1985年通过决议.设立陈省身数学奖.他是有史以来惟一获得数学界最高荣誉“沃尔夫奖”的华人,被称为“当代最伟大的数学家”.被国际数学界尊为“微分几何之父”.韦伊曾说,“我相信未来的微分几何学史一定会认为他是嘉当的继承人”.
菲尔兹奖得主、华人数学家丘成桐这样评价他的老师:
“陈省身是世界上领先的数学家……没有什么障碍可以阻止一个中国人成为世界级的数学家.”
2004年11月2日,经国际天文学联合会下属的小天体命名委员会讨论通过,国际小行星中心正式发布第52733号《小行星公报》通知国际社会,将一颗永久编号为1998CS2号的小行星命名为“陈省身星”,以表彰他对全人类的贡献.
聪明的阿凡提
——圆的周长和面积
我们学习了平面图形的周长和面积,在周长相等的前提下,谁的面积最大呢?
欣赏完下面的故事,你一定会有所启发的。
故事背景:
在旧社会里,地主剥削农民的种种恶毒手段,虽然说也说不完,但是受剥削压迫的农民为了自己应得的利益,通过自己和集体的聪明才智战胜地主的例子也屡见不鲜。
相信大家通过欣赏下面的故事,一定会有所启示。
有一个巴依老爷,视财如命,靠自己有些小聪明,经常平白无故的少给长工们工钱。
长工们有理无处说,只好忍气吞声。
这不,巴依老爷又一次把罪恶的魔手伸向了憨厚的放羊人。
巴依老爷:
唉,听说今天放羊人来问我要工钱,想着白花花的银子装进别人的口袋,我心里真不是滋味,管家,你说该怎么办?
管家:
老爷,我倒有一个办法。
巴依老爷:
说来听听。
管家:
……
巴依老爷:
嗯,好!
好办法!
就这么办!
放羊人:
老爷说我给他放羊,一年的工钱是五两银子。
可一年了一分钱也没有拿到!
今天我来向巴依老爷要工钱。
老爷!
巴依老爷:
来了。
放羊人:
老爷,您看我辛辛苦苦干了一年,今天是不是开给我工钱?
巴依老爷:
哼,要钱吗,可以!
只要你能帮我办到这件事,工钱一分不少给你。
管家,你说!
管家:
老爷有个羊圈,它是一个长20米,宽11.4米的长方形。
羊慢慢长大了,羊圈就太拥挤了,不许你向老爷要材料的情况下,还要把羊圈扩大,要不然,哼哼,工钱一分也别想拿到!
放羊人:
(思索片刻)这道题太难了!
我真的算不出来!
求求你给我工钱吧!
我还要养家糊口呢!
巴依老爷:
管家,把他轰出去!
管家:
出去!
出去!
放羊人:
唉!
今天又没要到工钱!
唉!
唉……
长工:
唉!
这位伙计是怎么了?
咱们去看看吧!
哎,你这是?
……
放羊人:
我给巴依老爷放了一年的羊,说好了工钱是五两银子。
可一年了一分钱我也没有拿到!
我今天去问老爷要工钱。
没想到,被他赶出来了!
唉!
这不,还给我出了道难题!
如果算出来就给我工钱!
如果算不出来,工钱就泡汤了!
唉!
长工:
那,这是个什么难题呢?
说来听听。
放羊人:
老爷说他的羊圈是一个长20米,宽11.4米的长方形。
羊慢慢长大了,羊圈里就变得太拥挤了!
不许我问老爷要材料的情况下,还要扩大羊圈的面积!
长工们:
那我们一起想想办法吧!
长工:
原来长方形的长是20米,宽是11.4米,我们就可以求出它的面积:
20×11.4=228(平方米)
长工:
既然知道了长和宽,我们就可以求出它的周长,(20+11.4)×2=62.8米
长工:
在周长相等的情况下,我们可以改建成正方形羊圈。
求正方形的边长是62.8÷4=15.7米
长工:
知道边长可以求出面积,15.7×15.7=246.49(平方米)。
改建后的正方形羊圈比原来长方形羊圈的面积怎么样了呢?
长工:
哦,改建后正方形的面积比原来长方形的面积大了,那好,我们一起去问巴依老爷要工钱!
老爷!
管家:
你怎么又来了?
放羊人:
我们来要工钱。
巴依老爷:
我让你想的办法,你想好了吗?
放羊人:
想好了!
我们是这样考虑的:
老爷的羊圈是一个长20米,宽11.4米的长方形。
我们可以求出长方形羊圈的面积20×11.4=228平方米,知道了长和宽还可以求出周长(20+11.4)×2=62.8米。
在周长不变的情况下,我们可以改建成正方形羊圈,已知周长求边长62.8÷4=15.7米,知道了边长可以求面积15.7×15.7=246.49(平方米)。
老爷您看改建后正方形羊圈的面积比原来长方形羊圈的面积是不是大了?
巴依老爷:
才大了这么点地方,还想要工钱!
管家,再把他们轰出去!
长工们:
比原来大了,还不行,难道还有别的办法?
长工:
这可怎么办呢!
哎,要不咱们一起去找聪明的阿凡提吧!
他一定能帮我们解决这个难题的!
长工们:
好吧,我们走。
长工们:
阿凡提,阿凡提!
阿凡提:
哦,大家来我家有何贵干呢?
长工们:
刚才,我们遇见这位伙计,他去巴依老爷家讨工钱,不但工钱没讨到,还给她出了道难题。
阿凡提:
哦,说来听听。
放羊人:
老爷说他的羊圈是一个长20米,宽11.4的长方形。
羊慢慢长大了,羊圈里就太拥挤了。
不许我问老爷要材料的情况下还要扩大羊圈的面积。
如果办不到的话,工钱就甭想要了!
刚刚我们已经想出正方形比长方形大了,可老爷说这不是他想要的答案,要我们另想办法。
长工们:
阿凡提,你这么聪明,就帮帮他吧!
阿凡提:
让我想想。
有了,你们过来看,在周长不变的情况下,我们还可以改建成圆形羊圈啊,知道了周长求半径是……
长工:
这个我知道,求圆形羊圈的半径是62.8÷3.14÷2=10(米)
阿凡提:
你看,知道了半径可以求出面积……
长工:
这个我知道,求圆形羊圈的面积是3.14×10×10=314(平方米)
阿凡提:
你们看,改建成圆形羊圈的面积比原来长方形和正方形羊圈的面积怎么样了呢?
放羊人:
哦,改建后圆形羊圈的面积比原来长方形和正方形羊圈的面积大多了!
阿凡提:
在所有平面图形中,在周长相等的前提下,谁的面积最大?
长工们:
圆的面积是最大的!
阿凡提:
至于巴依老爷要选什么就由他来决定了!
长工们:
哦,原来是这样。
放羊人:
那好,我们一起去问巴依老爷要工钱。
管家:
你怎么又来了?
!
放羊人:
我们来要工钱!
巴依老爷:
事情考虑好了?
!
放羊人:
想好了,我们是这样考虑的:
我们在周长不变的情况下,我们还可以改建成圆形,已知周长求半径62.83.14÷2=10(米),知道了半径求面积3.14×10×10=314(平方米)。
老爷您看,改建后圆形羊圈的面积是不是比原来长方形、正方形面积大了呢?
巴依老爷:
(走着)唉,确实有道理,是阿凡提给你出的主意吧,我服了。
我当然选圆形了,不用买材料,又扩大了面积。
管家,去,拿工钱给他吧。
唉,我的银子吆!
放羊人:
谢谢老爷!
总结:
通过这个故事,我们发现:
在周长相等的平面图形中,圆的面积是最大的。
曹冲称象与七桥问题
传说,在公元前287年,叙拉古王国的国王打了胜仗,为了庆祝胜利,他决定献给神一顶金子做的王冠。
他找来一位珠宝商,给了他一些金子让他制造一顶王冠。
王冠制作得很漂亮,重量也跟原来国王给的黄金一样重。
但是国王还是怀疑珠宝商盗窃了一部分黄金,而在王冠中掺进了同等重量的白银。
他请阿基米德鉴定王冠是不是纯金的,但不许拆散王冠。
阿基米德冥思苦想多天,都不得要领。
一天,他跨入盛满水的浴缸洗澡,看到水向外溢,顿时豁然开朗,兴奋地喊:
“我找到检验王冠的方法了”。
阿基米德由此发现了浮力定理,从而解决了王冠的检验问题。
在我国古代,也流传一个利用浮力原理的“曹冲称象”的故事。
曹操的儿子曹冲小时候非常聪明。
一天,有人送给曹操一只大象,曹操很高兴,想知道这个庞然大物究竟有多重。
但是到哪里去找这样大的秤呢?
魏国的谋臣武士们绞尽脑汁,也想不出一个办法。
小小的曹冲却想出了一个妙法:
他教人把大象牵到一只大木船上,刻下木船的吃水深度;然后把大象牵下船而向船上装进一些石块,让木船吃水深度与原来的刻度一致时即停止继续装石块。
根据浮力原理,大象的重量和船上石块的重量相等,而分散的石块是可以用普通的秤称出其重量的。
“曹冲称象”成为千古美谈。
“曹冲称象”的思想不仅仅是利用了物理学中的浮力原理,也利用了数学中一个极为普遍的思想:
转化思想。
即把有待解决的问题,通过适当的方法,转化为已经解决或已经知道其解决方法的问题。
从某种意义上讲,数学证明或数学计算中的每一步都是一种转化,转化思想是数学中最基本、最重要的一种思想。
可以毫不夸张地说。
转化能力的高低是衡量一个人数学水平的重要标志之一。
匈牙利数学家罗莎曾经对此作过一个有趣的比喻:
假如在你面前有煤气灶、水壶、水笼头和火柴,现在要烧一壶开水,你应该怎样做?
回答很简单,谁都知道应该怎样做。
在水壶中加满水;点燃煤气;把水壶放到煤气灶上。
接着罗莎再提出问题:
现在所有的条件都和原来一样,只是水壶中已灌满了水,这时你又应该怎样做?
对于这一问题人们通常的回答往往是:
那就只要点燃煤气,再把水壶放到煤气灶上就可以了。
但罗莎指出,这不是最好的回答,因为只有物理学家才会这样做,而数学家则会倒去壶中的水,因为他已经把后一问题转化为前一个问题了,而前一问题是已经解决了的。
罗莎的比喻也许过于夸张,但它的确表明了数学思想方法的一个特点,善于使用转化的方法。
在18世纪,东普鲁士哥尼斯堡(今属立陶宛共和国)内有一条大河,河中有两个小岛。
全城被大河分割成四块陆地。
河上架有七座桥,把四块陆地像图1那样联系起来。
当时许多市民都在思索如下的问题:
一个散步者能否从某一陆地出发,不重复地经过每座桥一次,最后回到原来的出发地。
这就是历史上有名的哥尼斯堡七桥问题。
这个问题似乎不难解决,所以吸引了许多人都想来试试看,但是日复一日谁也没有得出确定的答案。
于是有人便写信给当时着名的数学家欧拉(Euler,1707~1783)求教。
欧拉毕竟是数学家,他并没有去重复人们已多次失败了的试验,而是首先产生了一种直觉的猜想:
许多人千百次的失败,也许意味着这样的走法根本就不存在。
于是欧拉把七桥问题进行了数学的抽象。
用A、B、C、D四个点表示四块陆地,用两点间的一条线表示联接两块陆地之间的一座桥,就得到如图2那样一个由四个点和七条线组成的图形。
于是,七桥问题就转化为一个象图2那样的图形是否可以“一笔画”的问题。
什么叫“一笔画”呢?
那就是笔不准离开纸,一气画成整个图形,但每一条线只许画一次,不得重复。
像图2这样的图形能不能一笔画呢?
1736年欧拉证明了:
答案是否定的。
为什么呢?
因为除了起点和终点之外,我们把其余的点称为中间点。
如果一个图可以一笔画的话,对于每一个中间点来说,当画笔沿某条线到达这一点时,必定要沿另一条线离开这点,并且进入这点几次,就要离开这点几次,一进一出,两两配对,所以从这点发出的线必然要是偶数条。
因此,一个图形能否一笔画就有了一个判别准则:
一个可以一笔画的图形最多只能有两个点(起点和终点)与奇数条线相连。
再看图2中的四个点都是与奇数条(三条或五条)线相连的,根据这一判别准则,是不能一笔画的。
从而证明了七桥问题所要求的走法是不存在的。
曾经难倒许多人的七桥问题,经过欧拉这一转化,就像哥伦布竖鸡蛋一样,简单而圆满地解决了。
欧拉的故事
---七桥问题与一笔画
如果一个图形可以用笔在纸上连续不断而且不重复地一笔画成,那么这个图形就叫一笔画。
显然,在下面的图形中,
(1)
(2)不能一笔画成,故不是一笔画,(3)(4)可以一笔画成,是一笔画。
同学们可能会问:
为什么有的图形能一笔画成,有的图形却不能一笔画成呢?
一笔画图形有哪些特点?
关于这个问题有一个著名的数学故事——哥尼斯堡七桥问题。
哥尼斯堡是立陶宛共和国的一座城市,布勒格尔河从城中穿过,河中有两个岛,18世纪时河上共有七座桥连接A,B两个岛以及河的两岸C,D(如下图)。
所谓七桥问题就是:
一个散步者要一次走遍这七座桥,每座桥只走一次,怎样走才能成功?
当时的许多人都热衷于解决七桥问题,但是都没成功。
后来,这个问题引起了大数学家欧拉(1707-1783)的兴趣,许多人的不成功促使欧拉从反面来思考问题:
是否根本就不存在这样一条路线呢?
经过认真研究,欧拉终于在1736年圆满地解决了七桥问题,并发现了一笔画原理。
欧拉是怎样解决七桥问题的呢?
因为岛的大小,桥的长短都与问题无关,所以欧拉把A,B两岛以及陆地C,D用点表示,桥用线表示,那么七桥问题就变为右图是否可以一笔画的问题了。
我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点,与奇数条线相连的点叫做奇点。
如下图中,A,B,C,E,F,G,I是偶点,D,H,J,O是奇点。
欧拉的一笔画原理是:
(1)一笔画必须是连通的(图形的各部分之间连接在一起);
(2)没有奇点的连通图形是一笔画,画时可以以任一偶点为起点,最后仍回到这点;
(3)只有两个奇点的连通图形是一笔画,画时必须以一个奇点为起点,以另一个奇点为终点;
(4)奇点个数超过两个的图形不是一笔画。
利用一笔画原理,七桥问题很容易解决。
因为图中A,B,C,D都是奇点,有四个奇点的图形不是一笔画,所以一个散步者不可能不重复地一次走遍这七座桥。
顺便补充两点:
(1)一个图形的奇点数目一定是偶数。
因为图形中的每条线都有两个端点,所以图形中所有端点的总数必然是偶数。
如果一个图形中奇点的数目是奇数,那么这个图形中与奇点相连接的端点数之和是奇数(奇数个奇数之和是奇数),与偶点相连的线的端点数之和是偶数(任意个偶数之和是偶数),于是得到所有端点的总数是奇数,这与前面的结论矛盾。
所以一个图形的奇点数目一定是偶数。
(2)有K个奇点的图形要K÷2笔才能画成。
例如:
下页左上图中的房子共有B,E,F,G,I,J六个奇点,所以不是一笔画。
如果我们将其中的两个奇点间的连线去掉一条,那么这两个奇点都变成了偶点,如果能去掉两条这样的连线,使图中的六个奇点变成两个,那么新图形就是一笔画了。
将线段GF和BJ去掉,剩下I和E两个奇点(见右下图),这个图形是一笔画,再添上线段GF和BJ,共需三笔,即(6÷2)笔画成。
一个K(K>1)笔画最少要添加几条连线才能变成一笔画呢?
我们知道K笔画有2K个奇点,如果在任意两个奇点之间添加一条连线,那么这两个奇点同时变成了偶点。
如左下图中的B,C两个奇点在右下图中都变成了偶点。
所以只要在K笔画的2K个奇点间添加(K-1)笔就可以使奇点数目减少为2个,从而变成一
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