数学建模人口发展的评价分析.docx
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数学建模人口发展的评价分析
2010-2011
(1)学期数学建模B期末作业
改革开放以来我国人口发展的评价分析
姓名:
王印芬学号:
20092561专业:
自动化(交控)周2第4讲
姓名:
蒲磊学号:
20092569专业:
自动化(交控)周2第4讲
姓名:
学号:
专业:
周第讲
改革开放以来我国人口发展的评价分析
摘要
中国是世界第一人口大国,人口问题一直是中国的第一大问题,也是目前人们比较关心的问题。
中国拥有13亿人口,约占世界总人口的1/5,因此我们有必要对中国的人口进行分析。
从1978年改革开放以来,到现在三十多年的时间过去了。
在这三十年里,中国在工业、农业、交通等各个领域都发生了翻天覆地的变化。
同样,中国的人口也发生了翻天覆地的变化,无论是人口的数量,人口的性别比例,人口的年龄组成还是人们的受教育程度都在发生不同程度的改变。
本文从人们比较关心也比较熟悉的几个方面入手,分析改革开放30年来中国人口的数量,性别比例和年龄组成的发展和变化状况。
在建模的过程中,我们利用了指数模型分析近三十年我国人口的数量的发展变化。
这样就对模型进行了理想化,使问题变得简单,更利于建模。
应用了最小二乘法进行数据的计算处理,由于在指数模型总数据比较多计算比较复杂,而应运最小二乘法就能将此问题简单化,有利于模型的求解。
应运了权重分析法。
由于在建模过程中我们不仅要进行纵向的比较而且还要有横向的比较,所以在进行横向比较时,我们计算了数据的平均值和方差,并赋予他们不同的权重这样有利于数据进行科学的比较和分析。
应用了EXCEL软件处理数据,并用其进行了画图分析比较。
其中我们还采用了SPSS软件进行了画图处理。
本文通过以上模型对我国人口的发展变化进行了详细的分析,最后我们将所得结果进行了验证,使得模型更加具有说服力。
关键词:
指数分析,最小二乘法,权重分析,EXCEL,SPSS,数量,年龄,性别比。
一.问题重述
中国是一个人口大国,虽然改革开放以来,中国在各方面都取得了很大的成就,人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。
根据已有数据,运用数学建模的方法,对中国人口的发展状况进行分析是一个重要问题。
近年来中国的人口发展出现了一些新的特点,例如,老龄化进程加速、人口性别比持续升高,以及乡村人口城镇化等。
关于中国人口问题已有多方面的研究,并积累了大量数据资料。
资料见附录。
在该文中我们将根据已有的部分资料,对改革开放30年以来我们人口数量的发展状况进行分析;根据附录二,对我国人口的性别比例进行分析;根据附录三,对我国的年龄结构进行分析。
最后,将对我们人口的总体发展状况进行评价。
要求:
应用数学建模的相关知识,对以上模型进行定性和定量的分析;避免大量的图表说明。
二.问题分析
关于人口的发展状况,研究人口数量的模型有很多,如指数增长模型,阻滞增长模型等等。
最简单的人口增长模型就是人们所公知的指数增长模型,假设增长率不变,列出方程。
在求解过程中,运用最小二乘法进行处理,避免较大的失误;在数据处理中运用spss软件,作图精确,快速。
在对性别比例进行分析的时候,我们要根据所掌握的数据对我国各个地区现在的男女比例程度进行分析比较,从而得出在这三十年中我国男女比例失衡程度的发展趋势。
分析年龄结构的时候,我们将根据已有数据对我国三十年来人口老龄化指数进行分析。
在文章的评价部分,我们需要把人口的增长,人口的性别比例,人口的年龄结构进行总体的说明,以体现出中国人口在改革开放30年来的整体变化。
三.模型假设
1.假设人口的增长率在短时间内不发生变化。
2.忽略某一段时间内人口,年龄组成,性别比例的波动,只考虑30年来中国整体的发展趋势。
3.不考虑统计的缺陷,比如说统计数据不准,统计数据部不权威或者说统计方法不对的情况。
四.符号说明
------初始人口,由于我们统计的是1978-2008年人口的发展状况,因此,它即是1978年的人口。
k-------整数,取0,1,2,3等
------第k年的人口数
r-------人口的年增长率
Q------最小值
Z-----比例函数
x-------某地区三十年的男女比例平均数
y-------某地区三十年的男女比例的增长方差
A-----权重
B------权重
a,b------常数
i-----整数,取值为1,2,3,等
w(t)-----老龄化指数
r(t)-----老龄人口数
s(t)-----总人口数
五.模型建立
一.人口的数量分析
5.1.1数据处理
从附录,我们得到了1978-2008年每10年的人口数据(表1.1.1)。
表1.1.1人口数据表
年份
人口数/亿
1978
9.61
1988
11.10
1998
12.48
2008
13.28
5.1.2图形拟合
运用spss软件,我们得到人口数据与年份的直方图。
5.1.3模型的建立
人口的模型有很多钟,如指数增长模型,阻滞增长模型等,在这里,我们采用最简单的指数增长模型。
记今年的人口为
,k年后的人口为,年增长率为r,则有:
这个公式的适用的基本条件为年增长率r保持不变
记时刻t的人口为x(t),当考察一个国家甚至全球人口的时候,x(t)是一个很大的整数,为了利用微积分这一数学工具,将x(t)视为连续,可微的函数。
记时刻t=0时的人口为
考虑t到t+dt时间内人口的增量,有
x(t+dt)-x(t)=rx(t)dt
令dt
得到
满足微分方程
解这个方程得
r>0表示人口按指数增长。
为了运用简单的线最小二乘法,我们对上式取对数,有
下面对这个式子进行求解
设在
条件下共有
个结果,可列方程组:
但由于方程式中的数目n多于待求量的数目,所以无法直接利用代数的方法求解上述方程组。
显然,为充分利用这n个结果所提供的数据信息,必须给出一个适当的方法处理,这就是最小二乘法。
最小二乘法的原理是,在所求的直线上,各相应点的值与测量值误差的平方和比其他的直线上要小,即
最小值
选取a,r使Q达到最小值的必要条件是
由上式可得
式中
解这个方程可得人口增长模型的相关数据。
其中
这样再利用相关数据即可解得
的表达式。
二.人口的性别比例分析
5.2.1相关数据
表2.1.1给出了各年的性别比例。
表2.2.1我国的男女比例表
年代
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
市男女
114.52
111.92
111.68
108.81
110.68
110.27
113
109.28
111.37
112.06
114.44
113.92
111.8292
3.23210833
镇男女
124.33
115.62
111.68
125.9
108.73
118.4
116.3
116.02
123.12
110.97
126.9
117.21
117.9317
33.45018
乡男女
116.15
117.75
117.7
118.85
119.98
122.03
119.3
117.59
122.11
120.9
122.21
121.21
119.6483
3.92024
5.2.2建立模型
记地区性别比例函数为
Z=Ax-By
其中x为某地区三十年的男女比例平均数
y为某地区三十年的男女比例的增长方差
其中取权重
A=1
B=
=8.61
则将以上数据代入某地区性别比例函数中就可以得到某地区男女比例失衡严重程度.并且还可以与表格2.2.3比较验证得出结论的正确性.
三.人口的年龄结构分析
5.3.1相关数据
5.3.1.1相关数据
表2.3.1各年的人口结构
1982
1990
1998
2006
0--14
3.41
3.17
3.21
2.596
15--64
6.25
7.63
8.43
9.507
65以上
0.50
0.637
0.836
1.04
5.3.1.2原始数据的图形整合
将原始数据进行拟合,得柱状图.
用线状图拟合有
5.3.2模型的建立
在研究人口的年龄组成的时候,我们主要看各部分年龄的人数在总人口中的比重。
近年来,我国的老龄化比较严重,人口比例很不协调,因此我们主要看老龄化指数。
定义老龄化指数
其中
r(t)-----老龄人口数
s(t)-----总人口数
我们通过计算各年的数据可以讨论老龄化的发展趋势。
六.模型的求解
一.人口的数量分析
6.1.1人口数量的数据整合
6.1.1.1基本的数据整合
设1978年为初始时刻,则有
=9.61,所以
,因此得表6.1.1
表6.1.1基本数据处理表
时间
t
y
ty
1978
0
2.26
0
0
1988
10
2.407
24.07
100
1998
20
2.524
50.48
400
2008
30
2.586
77.58
900
平均值
15
2.444
38.03
350
6.1.1.2基本数据的折线图
6.1.2计算
由上面的分析可知,
将1.1.1的数据代入上式有:
因此,可得年份与时间的关系为
由此可知,改革开放以后,我国人口数量发展很迅速,但是在90年代后期出现变缓,这得益于计划生育的有效执行。
二.性别比例分析
由地区性别比例函数
Z=-Ax—By
A=1
B=
=8.61;
将其上的数据代入该式中可得
=111.8292A—3.232108B=84.00075012;
=117.9317A—33.45018B=-170.0743498;
=119.6483A—3.92024B=85.8950;
比较可得失衡程度为Z3,Z1,Z2;
由以下图表可得
分类
人数
年份
城市男
城市女
镇男
镇女
乡男
乡女
2005
18149.353
18091.964
11276.024
11117.230
36660.833
35460.596
2004
16677.021
16889.472
10059.906
9901.294
39360.358
37099.950
2003
16778.520
16842.800
9961.311
9704.702
39221.918
36717.750
2002
16803.000
16804.327
8212.639
7903.789
40565.689
38163.555
2001
15465.804
15419.587
8394.324
8153.512
41270.517
38923.255
以上结论比较正确,,即失衡程度乡村男女,镇男女,城市男女.
由上述计算及图表分析可知,改革开放以后,我过男女比例失调越来越严重,这要求政府在这方面进行更大的干预。
三.人口的年龄结构分析
6.3.1.计算各年龄段人数所占总人口的比重
1982
1990
1998
2006
0—14岁
33.56%
27.72%
25.98%
19.75%
15—64岁
61.52%
66.71%
68.23%
72.34%
65岁以上
4.92%
5.57%
5.79%
7.91%
6.3.2.将上述数据分别用柱状图和曲线图拟合
6.3.3.w(t)的变化曲线
其中
1-----1982年
2-----1990年
3------1998年
4------2008年
七.模型的评价与分析
从人口的数量分析方面,我们知道了人口数量与年份的变化曲线,显然,人口数与年份呈指数增长,但是90年代之后,我国人口数量增长速度变缓,这从我国的政策上可以分析,因为,在那个时候,我国实行了严格的计划生育,使得
人口的增长有所变缓。
从我们的性别比例函数可知,从改革开放至今,我国男女比例失调越来越严重,因此,我国政府应该在政治上甚至法律上进行干预,严禁人为的生男生女控制,对那些提供非医学的婴儿性别预测给予严厉的处理,必要时给予法律上的处分。
从我国年龄组成结构中,可以看出,随着改革开放以来,我国的老龄化越来越严重,这给青年人造成了很多负担,这就要求,我国在计划生育的政策上要得以放宽,运行适当的二胎生育,必要的时候,甚至鼓励人们生育第二个孩子,让我国的人口组成回到正常的结构上来。
总的来说,改革开放30年来,中国在工业、农业、交通等各个领域都发生了翻天覆地的变化。
人口方面也不例外。
我国的人口呈现近似的指数增长,人口数量得以迅猛发展;但是,在人口数量发展的同时,也存在很多弊端,我国的性别比例失调越来越严重,人口老龄化加剧等等。
但是我国人们的生产生活水平还是得到了很大的提高,这得以于党中央的改革开放的伟大政策。
八.参考文献
【1】数学模型第三版姜启源谢金星叶俊高等教育出版社
【2】实用数学建模与软件应用肖华勇西北工业大学出版社
【3】EXCELVBA应用程序专业设计实用指南黄睿马然电子工业出版社
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