北师大小学六年级下比和比例的复习.docx
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北师大小学六年级下比和比例的复习
第五讲:
比和比例的复习
基本内容及知识点
1.比的意义和性质
2.按比分配
3.比例和比例的性质
4.比例尺
5.正比例的意义
6.反比例的意义
7.应用题
二.教学重点
知识要求:
1.理解正、反比例的意义,抽象概念并运用概念进行判断。
2.比的意义,比的写法和读法,比号,比的各部分名称,比与除法,分数的联系与区别,比值的意义,求比值;比的基本性质,化简比,求比的未知项。
3.理解按比分配的意义,会解答按比分配的应用题。
比例的意义,比例各部分的名称,比例的性质,解比例。
4.比例尺的意义,用途。
会求图上距离和实际距离。
5.正比例的意义,会判断两种相关联的量是否成正比例。
6.反比例的意义,会判断两种相关联的量是否成反比例。
7.用比例知识解答基本的应用题和较难应用题。
能力要求:
1.能正确、迅速地求比值和化简比,会求比的未知项。
2.会根据有关条件求图上距离、实际距离或比例尺。
3.能运用按比例分配的方法解决实际问题。
4.会解最基本的正比例应用题和反比例应用题。
5.使学生进一步受到事物是相互联系的教育,初步接触函数思想。
知识教学
(一)比的意义和性质
1.比的意义:
什么是比?
两个数相除又叫两个数的比。
(一种比是同类量的比,如:
长和宽的比是3比2,结果是长是宽的几分之几,是2分之3;另一种比是不同类量的比,如:
路程和时间的比是100:
2,结果可以得到一个新的量是速度50,50千米/小时)
2.比的读写法,各部分名称。
(1)3比2记作(3:
2)2比3记作(2:
3)100比2记作(100:
2)
(2)比的各部分名称
例题1:
足球比赛中比分“2:
0”是比吗?
(不是,它只是用了比的这种形式,它的意思是一个队进了两个球,得2分,另一个队没进球得0分,而比表示两个数相除。
)
小明今年12岁,是六
(1)班学生,该班共有42名学生;小明爸爸今年38岁,在保险公司上班,年薪150000元,小明妈妈每月工资1200元,她所在的单位有职工24人。
看谁能根据题目中提供的信息,寻找合适的量,提出多种多样的问题,并说说这些量之间的比(年龄比12:
38、年薪比150000:
(1200×12)、人数比42:
24、月薪比等)
3.什么是比值?
比的前项除以比的后项所得商叫做比值
比值是一个数,一般用整数或分数表示。
例题2:
求比值
105:
35=
=3
1.2:
=12:
24=
注意比值的读法:
二分之一。
4.比与除法、分数的关系
比
前项
比号
后项
比值
除法
被除数
除号
除数
商
分数
分子
分数线
分母
分数值
想一想:
比的后项能不能是零?
为什么?
小结:
因为除法中除数不能为0,分数中分母不能为0,所以比的后项也不能是零。
例题3:
求下面各比的未知项。
(1)120:
x=24
(2)x:
=30
x=120÷24x=
×30
x=5x=18
师:
根据什么可以求出比的未知项?
5.比的基本性质:
比的前项和后项同时乘以或除以一个相同的数(零除外),比值不变。
为什么“零除外”。
6.化简比:
应用比的基本性质,可以把比化成和它相等的最简单的整数比。
把比化成最简单的整数比,叫做化简比。
例题4:
(1)24:
144=
=
(2)
=(63÷9):
(18÷9)=7:
2
练一练:
(1)2.7:
18=
=
=
(2)
:
=(
×8):
(
×8)=6:
5“为什么要同乘8”
想一想:
把整数比、小数比或分数比化成最简单的整数比的一般方法是什么?
①整数比写成分数约分后得最简比。
②小数比先化成整数比,再化简。
③分数比先同乘分母的最小公倍数化成整数比,再化简。
(二)按比分配
同学们,老师买了奖品,准备奖给数学竞赛获一、二、三等奖的同学,怎样分配比较合适?
(平均分合适吗?
不合适。
也就是按一定的比进行分配)
师:
举出生活中你见过的实例。
现在,咱们就研究按比分配问题。
例题5:
学校有一块200平方米的卫生区,把卫生区分给六·三班和三·三班,他们负责的面积比是3:
2,两个班各分得多少平方米?
题里的哪句话告诉我们应该怎样分?
“他们负责的面积比是3:
2”,是什么意思?
六·三班负责的面积占3份,三·三班负责的面积占2份,200平方米的卫生区占5份,
3+2=5
200×
=120(平方米)
200×
=80(平方米)
答:
六·三班分得120平方米,三·三班分得80平方米。
一般的,我们把这样的应用题,叫“按比分配应用题”,按比分配应用题的解题步骤是什么?
(1)确定总份数。
(2)把比转化成分数。
(3)求一个数的几分之几是多少?
练习:
甲乙丙三个修路队,合修一条200千米的公路。
已知甲队修了50千米,乙丙两队修路千米数的比是2:
3,丙队修多少千米?
200-50=150(千米)
2+3=5
150×
=90(千米)
答:
丙队修90千米。
例题6:
一个容积是1064立方厘米的瓶子,瓶中饮料高度h1为15厘米,h2为6厘米,求瓶中饮料有多少立方厘米。
h1:
h2=15:
6
15+6=21
1064×
=1064×
=760(立方厘米)
答:
瓶中饮料有760立方厘米。
(三)比例和比例的性质
1.比例的意义
表示两个比相等的式子叫做比例。
只要两个比的比值相等,就能组成比例。
2.比例的基本性质
在比例里,两个外项的积等于两个内项的积,这叫比例的基本性质
如:
1.5:
3=1:
2
1×3=1.5×2=3
3.解比例
根据比例的基本性质,如果已知比例中的任何三项就可以求出另外一个未知项,求比例的未知项,叫做解比例。
例题7:
27:
x=4.5:
6
你能利用我们学过的知识解这个比例吗?
方法一:
解:
27:
x=4.5:
6根据是什么?
x=
x=36
方法二:
解:
=
=0.75
x=27÷0.75
x=36
你喜欢哪种方法?
解比例的过程就是解方程的过程,解方程要验算,所以解比例也要验算。
验算:
方法1:
方法2:
36×4.5=16227:
36=27÷36=0.75
27×6=1624.5:
6=4.5÷6=0.75
∴x=36正确。
∴x=36正确。
(四)比例尺
图上距离与实际距离的比,叫这幅图的比例尺。
1.数字比例尺如:
1:
3000000图上1厘米表示实际3000000厘米。
注意统一单位。
2.线段比例尺如:
3.比例尺的应用
比例尺的关系式:
图上距离=(实际距离)×(比例尺)公式变形
实际距离=(图上距离)÷(比例尺)
例题8:
在一幅比例尺是1:
7000000的地图上,量出北京到井冈山的距离是21厘米,照这样计算,北京到井冈山的实际距离是多少千米?
分析:
①实际距离=图上距离÷比例尺
②问题单位是千米,已知单位是厘米,注意结果中单位的处理
③21÷
=147000000(厘米)=1470(千米)
答:
北京到井冈山的距离是1470千米。
(五)正比例、反比例的意义
1.正比例的意义
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定,这两种量就叫做成正比例的量,他们的关系叫做正比例关系。
如果用字母x、y表示两种相关联的量,用k表示比值(一定),数量关系可以概括成
=k(一定)y和x叫做成正比例的量,他们的关系叫做正比例关系。
例如,总价随着数量的变化而变化,总价和数量的比的比值(单价)是一定的,我们就说,总价和数量是成正比例的量。
=工效(一定)工总和工时是成正比例的量
=速度(一定)所以路程与时间成正比例。
2.反比例的意义
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定,这两种量就叫做成反比例的量,他们的关系叫做反比例关系。
如果用字母x、y表示两种相关联的量,用k表示比值(一定),数量关系可以概括成
x·y=k(一定)y和x叫做成反比例的量,他们的关系叫做反比例关系。
例如,长×宽=面积(一定)长和宽是成反比例的量
每本的页数×装订的本数=纸的总页数(一定)每本的页数和装订的本数是成反比例的量
3.判断成正比例还是反比例的方法:
(1)判断两种量是否是相关联的量,
(2)如果是,再看这两种量对应的数的比值或积是否一定,
(3)如果比值一定,这两种量成正比例;如果积一定,这两种量成反比例。
例题9:
判断下列各题的两种量是否成比例?
如果成,成什么比例?
(1)工作效率一定,工作时间和工作总量。
(正比例)
(2)货物总数一定,每次运货吨数和运货次数。
(反比例)
(3)路程一定,已走路程和剩下路程。
(不成比例)
(4)圆的半径和面积。
(不成比例)
(5)平行四边形的底和面积。
(不成比例)
(6)在太阳照射下,同时同地的竿高和影长。
(正比例)
(7)煤的总量一定,每天烧煤量和可烧的天数。
(反比例)
(8)a·b=c,c一定,a和b。
(反比例)
(9)分数值一定,分子和分母。
(正比例)
(10)路程一定,车轮的直径和转动的周数。
(正比例)
(六)正比例、反比例应用题
例题10:
(1)用一批纸装订练习本,如果每本30页,可以装订600本。
如果每本少用5页,可以装订多少本?
分析:
这批纸的总页数不变,也就是积不变,每本页数和装订本数成反比例,列成乘积式
解:
设:
可以装订x本?
30-5=25(页)
25x=30×600
25x=18000
x=720
答:
可以装订720本。
(2)用同样砖铺地,如果铺15平方米要用165块,如果铺50平方米要多用多少块砖?
分析:
同样砖铺地,每平方米用块数一定,商一定,平方米数和块数成正比例,列成比例式
解:
设:
如果铺50平方米要用x块砖。
15:
165=50:
x
15x=50×165
x=550
550-165=385(块)
答:
如果铺50平方米要多用385块砖。
(3)一项工程,10人做24天可以完成。
如果每人的工作效率不变,现在要提前4天完成,需要多少人?
分析:
一项工程不变,每人的工作效率不变,前后的总工时数是相等的,所以
解:
设:
需要x人。
(24-4)x=10×24
20x=240
x=12
答:
现在要提前4天完成,需要12人。
【模拟试题】
一、填空:
1、有三种量,ABC,它们之间的关系可以用A×B=C表示。
(1)如果A一定,BC成()比例;
(2)如果B一定,AC成()比例;
(3)如果C一定,AB成()比例。
2、有三种量,ABC,它们之间的关系可以用A÷B=C表示。
(1)如果A一定,BC成()比例;
(2)如果B一定,AC成()比例;
(3)如果C一定,AB成()比例。
3、在一个比例式中,两个比的比值都是5,这个比例式的内项分别是3.5和2,这个比例式为或。
二、判断下面各题中两种量成不成比例,成什么比例?
(1)圆柱的侧面积一定,底面周长与高。
()
(2)三角形面积一定,它的底和高。
()
(3)天数一定,总产量和每天的产量。
()
(4)圆柱体积一定,底面半径和高。
()
(5)比的前项一定,后项和比值。
()
(6)出粉率一定,原料和面粉。
()
(7)一幅设计图,图上距离和实际距离。
()
(8)每页书的字数一定,书的页数和这本书的总字数。
()
(9)长方形长一定,周长和宽。
( )
(10)和一定,两个加数。
()
(11)平形四边形面积一定,底和高。
()
(12)装配一批电视机,每天装配台数和所需的天数。
()
(13)正方形的周长和边长。
()
(14)水池的容积一定,水管每小时注水量和所用时间。
()
(15)房间面积一定,每块砖的面积和砖的块数。
()
(16)每块砖的面积一定,砖的块数和铺地面积。
()
(17)在一定时间里,加工每个零件所用时间和加工零件数。
()
三、判断,对的打√,错的打×。
1、比的后项不能是0。
()
2、一个圆的半径和它周长的比为1:
2л()
3、A与B的比是5:
3,A比B多40%()
4、圆锥体体积一定,底面积和高成反比例()
四、求比值
6.3:
1.8=
五、化简比
=
:
=
:
0.75=
六、用1.4、10、7和2这四个数组成比例。
你组成了多少个比例?
七、选择
长方形周长14米,长和宽的比是6:
1。
长与宽各多少米?
()
(1)6+1=7
(2)6+1=7
14×
=12(米)7×
=6(米)
14×
=2(米)7×
=1(米)
八、应用题
1、人的血液与体重的比是1:
13。
小明体重52千克,他的血液有多少千克?
2、配制黑色火药的原料是火硝、硫磺和木炭,这三种原料的重量比是15:
2:
3,水利专业队要配制黑色火药80千克,需要这三种原料各多少千克?
3、一种药水中药和水的比是1:
300,现要配制药水1204千克,需要水多少千克?
加药多少千克?
4、长方形周长是56厘米,如果长方形长与宽的比是4:
3,这个长方形的面积是多少平方厘米?
5、甲、乙两地相距360千米,客车和货车同时从两地相对开出,4小时后相遇,客车和货车的速度比是5:
4,求客车和货车的速度?
6、甲、乙、丙三个修路队,合修一条长200千米的公路,已知甲队修路的千米数是50,乙、丙两队修路的千米数的比是2:
3,丙队修了多少千米?
7、甲与乙生产零件个数的比是5:
3,乙比甲少生产40个,甲、乙各生产多少?
8、装订练习本,装订200本要用6000张纸。
有15000张纸可以装订同样练习本多少本?
9、安装一条下水管道,计划每天安装120米,15天完成,实际只用了10天就完成了。
实际每天安装多少米?
10、运一堆煤,计划每天运150吨,20天运完。
实际2天就运了400吨,照这样计算,实际几天运完?
【试题答案】
一、填空:
1、有三种量,ABC,它们之间的关系可以用A×B=C表示。
(1)如果A一定,BC成(正)比例;
(2)如果B一定,AC成(正)比例;
(3)如果C一定,AB成(反)比例。
2、有三种量,ABC,它们之间的关系可以用A÷B=C表示。
(1)如果A一定,BC成(反)比例;
(2)如果B一定,AC成(正)比例;
(3)如果C一定,AB成(正)比例。
3、在一个比例式中,两个比的比值都是5,这个比例式的内项分别是3.5和2,这个比例式为17.5:
3.5=2:
0.4或10:
2=3.5:
0.7。
二、判断下面各题中两种量成不成比例,成什么比例?
(1)圆柱的侧面积一定,底面周长与高。
(反)
(2)三角形面积一定,它的底和高。
(反)
(3)天数一定,总产量和每天的产量。
(正)
(4)圆柱体积一定,底面半径和高。
(不成)
(5)比的前项一定,后项和比值。
(反)
(6)出粉率一定,原料和面粉。
(正)
(7)一幅设计图,图上距离和实际距离。
(正)
(8)每页书的字数一定,书的页数和这本书的总字数。
(正)
(9)长方形长一定,周长和宽。
(不成)
(10)和一定,两个加数。
(不成)
(11)平形四边形面积一定,底和高。
(反)
(12)装配一批电视机,每天装配台数和所需的天数。
(反)
(13)正方形的周长和边长。
(正)
(14)水池的容积一定,水管每小时注水量和所用时间。
(反)
(15)房间面积一定,每块砖的面积和砖的块数。
(反)
(16)每块砖的面积一定,砖的块数和铺地面积。
(正)
(17)在一定时间里,加工每个零件所用时间和加工零件数。
(反)
三、判断,对的打√,错的打×。
1、比的后项不能是0。
(√)
2、一个圆的半径和它周长的比为1:
2л(√)
3、A与B的比是5:
3,A比B多40%(×)
4、圆锥体体积一定,底面积和高成反比例(√)
四、求比值
6.3:
1.8=
=3.5
÷0.25=5
五、化简比
=
:
=(
×24):
(
×24)=15:
7
:
0.75=125:
75=
=
六、用1.4、10、7和2这四个数组成比例。
你组成了多少个比例?
(1)1.4:
2=7:
10
(2)1.4:
7=2:
10
(3)2:
1.4=10:
7(4)7:
1.4=10:
2
(5)2:
10=1.4:
7(6)10:
2=7:
1.4
(7)7:
10=1.4:
2(8)10:
7=2:
1.4
七、选择
长方形周长14米,长和宽的比是6:
1。
长与宽各多少米?
(2)
(1)6+1=7
(2)6+1=7
14×
=12(米)7×
=6(米)
14×
=2(米)7×
=1(米)
八、应用题
1、人的血液与体重的比是1:
13。
小明体重52千克,他的血液有多少千克?
52×
=4(千克)
答:
他的血液有4千克。
2、配制黑色火药的原料是火硝、硫磺和木炭,这三种原料的重量比是15:
2:
3,水利专业队要配制黑色火药80千克,需要这三种原料各多少千克?
15+2+3=20
火硝:
80×
=60(千克)
硫磺:
80×
=8(千克)
木炭:
80×
=12(千克)
验算:
①60+8+12=80(千克)
②60:
8:
12=15:
2:
3
答:
需要火硝60千克,硫磺8千克,木炭12千克。
3、一种药水中药和水的比是1:
300,现要配制药水1204千克,需要水多少千克?
加药多少千克?
300+1=301
水:
1204×
=4(千克)
药:
1204×
=1200(千克)
答:
需要水4千克。
加药1200千克。
4、长方形周长是56厘米,如果长方形长与宽的比是4:
3,这个长方形的面积是多少平方厘米?
56÷2=28(厘米)
4+3=7
长:
28×
=16(厘米)
宽:
28×
=12(厘米)
面积:
16×12=192(平方厘米)
答:
这个长方形的面积是192平方厘米。
5、甲、乙两地相距360千米,客车和货车同时从两地相对开出,4小时后相遇,客车和货车的速度比是5:
4,求客车和货车的速度?
360÷4=90(千米)
5+4=9
客车:
90×
=50(千米)
货车:
90×
=40(千米)
答:
客车和货车的速度分别是50千米,40千米。
6、甲、乙、丙三个修路队,合修一条长200千米的公路,已知甲队修路的千米数是50,乙、丙两队修路的千米数的比是2:
3,丙队修了多少千米?
(200-50)×
=150×
=90(千米)
答:
丙队修了90千米。
7、甲与乙生产零件个数的比是5:
3,乙比甲少生产40个,甲、乙各生产多少?
5+3=8
40÷(
-
)=40÷
=160(个)
160×
=100(个)
160×
=60(个)
答:
甲、乙各生产100个,60个。
8、装订练习本,装订200本要用6000张纸。
有15000张纸可以装订同样练习本多少本?
15000÷(6000÷200)
=15000÷30
=500(本)
答:
有15000张纸可以装订同样练习本500本。
9、安装一条下水管道,计划每天安装120米,15天完成,实际只用了10天就完成了。
实际每天安装多少米?
120×15÷10
=1800÷10
=180(米)
答:
实际每天安装180米。
10、运一堆煤,计划每天运150吨,20天运完。
实际2天就运了400吨,照这样计算,实际几天运完?
解:
设:
实际x天运完。
150×20=400÷2×x
3000=200x
x=15
答:
实际15天运完。
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- 北师大 小学 六年级 比例 复习