随机多边形化为椭圆的数学证明.docx
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随机多边形化为椭圆的数学证明
随机多边形化为椭圆的数学证明
好吧我知道大多数人翻了一下这篇日志之后就放弃阅读了。
在人人网上仔细看这样的文章简直就是虐待自己。
。
。
我只好先声明一下,尽管文章的后半段所用的表述看上去很复杂,但其中用到的最高深的数学知识仅仅是矩阵乘法和矩阵对角化而已,根本不涉及其他复杂的数学技巧。
总之感兴趣的同学可以稍微看一下~
图1
本文给出图1的一个数学证明。
本文表述的严格性未必能达到数学专业同学的标准,但证明的思想应该是没有太大的问题的。
如果大家发现了这个证明中的错误,请在留言中指出。
首先,图1具有一定的欺骗性。
不断连接中点的多边形只可能缩成一个点,而不是变成一个椭圆。
读者可以自己画一个三角形做几次中点的连接。
很容易看出,画不了几次,三角形就缩成了一个点。
对于N个点的多边形,这种情况也会发生。
请看图2。
其中的红叉是所有顶点坐标的平均位置。
红叉的位置是不变的(很容易证明)。
图2
那么图1究竟是怎么回事呢?
事实上,图1并没有告诉你一个隐藏条件:
最初的多边形中,所有点的平均坐标为0。
就算没有这个条件,我们也可以通过平移坐标系来满足这个条件。
这意味着在接下来的过程中,所有点的平均坐标始终为0。
有了这个条件,就得到了图3:
图3
可以看到,这个椭圆一直在缩小。
为了保持椭圆的大小,我们就需要第二个隐藏条件:
每次连接中点后,将整个图形的所有点的坐标做线性放大。
如果我们有了这两个条件,我们得到的图4就是以下这个样子的了。
图4
那么,我们终于还原了图1。
下面就给出图1产生的数学证明。
请注意,以上两个隐藏条件,在以下证明中发挥了重要作用。
为使该证明更易理解,该证明仅针对5个顶点的多边形的x坐标。
y坐标的证明和x坐标完全相同。
而且,这个证明可以轻易推广到任意多边形的情况。
我们将5个顶点的x坐标写成列向量:
经过取中点的操作,我们得到这样的列向量:
上标1代表我们做了1次的取中点操作。
这个取中点的操作,就是把最初的向量乘以一个矩阵:
其中M是一个5*5的矩阵:
那么经过k次取中点的操作,我们得到的列向量是:
只要求出矩阵M的特征向量和特征值,这个乘积就是很容易计算的了。
下面来研究矩阵M。
这个矩阵有一个非常有趣的特点。
该矩阵的第一列向下平移一位,就得到了第二列。
第二列向下平移一位,就得到了第三列。
在周期性边条件下,第四列向下平移得到第五列。
具有这样特点的矩阵,在数学上被称为“循环矩阵”。
循环矩阵有一个非常有趣的性质:
它的特征值刚好就是它第一列的离散傅立叶变换;而它的全部特征向量构成的矩阵,则正好是离散傅立叶变换矩阵的逆矩阵。
读者可以自行google“离散傅立叶变换”和“离散傅立叶变换矩阵”。
利用循环矩阵的这个性质,可以轻易写出其对角化的结果:
其中Q为离散傅立叶变换矩阵,而Λ为M的特征值构成的对角矩阵:
以上各矩阵中:
下面的工作就是计算
了。
为了使得表述简洁,我们将Q写成5个行向量的形式。
那么
则写成5个列向量的形式:
那么有:
请注意,符号'包含了复共轭。
进一步写成向量外积的形式:
好的,那么我们就将
写成了5项之和。
(对于N个点的多边形,
可以写成N项之和。
)
利用
读者可以验证,
的第2项和第5项互为复共轭,第3项和第4项互为复共轭。
因此我们就可以将
进一步简化为:
我们将以上表达式称为(X)式。
读者可以验证:
因此,当k趋于无穷大时,(X)式中的后一项的系数相对于前一项的系数可以忽略。
但是请注意:
如果我们武断地只保留(X)式的第一项的话,那么就前功尽弃。
事实上,第二项而不是第一项,在椭圆型形成的过程中发挥了决定性的作用。
原因如下:
(X)式中中的第一项为:
请回忆我们的隐藏条件:
在最初的一张图中,所有点的平均坐标为0。
因此:
也就是说,在(X)式的求和中,尽管第一项的系数远远大于第二项,但它后面乘了个0。
因此结果只能是0。
因此,第二项才是决定最终结果的关键。
接下来,我们研究(X)式的第二项,来证明为何形成了椭圆。
请注意我们的第二个隐藏条件:
每次连接中点后,将整个图形的所有点的坐标做线性放大。
因此,趋于无穷小的第二项的系数
将被这个线性放大抵消掉。
我们只需研究
的规律即可。
由于
是实向量,我们有:
其中
,是一个复标量。
也就是说,不论
的分布如何,经过这个内积,结果只能是一个纯粹简单的标量。
的随机性也就是多边形最初那种杂乱无章的交错,就这样被解决了。
结果我们得到了一个非常整齐而简洁的向量:
这个向量的全部分量,正是复平面中一个以固定角度旋转的复数在实轴上的形成的连续的投影。
的顺序与这个旋转投影的顺序完全一致。
不论最初的
的分布如何杂乱,
在整个周期中,只能有一个单调上升和一个单调下降的过程。
至此,我们关于x坐标的证明告一段落。
关于y坐标的证明完全相同。
由于对于x和y,C的模和幅角都不相同,因此得到的应当是一个椭圆,而且椭圆的长短轴也未必与x,y方向平行。
此外需要指出,如果
也等于0,那么我们在(X)式中就要关注第三项了,结果仍然是一个椭圆。
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