高中数学必修一教材分析.docx
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高中数学必修一教材分析
高中数学必修一教材分析
作为新课程高中数学的起始模块—必修一,它是由“第一章集合、第二章函数、第三章指数函数和对数函数、第四章函数应用”四部分内容组成.尽管“集合、函数、指数函数和对数函数”这三部分内容属于我国高中数学课程的传统内容,但和《全日制普通高级中学数学教学大纲(2002年颁布)》版教材(下称《大纲》版教材)相比,《高中数学课程标准》版教材(由于我省各地市使用的数学教材均为北师大版,所以,下边的讨论均以北师大版教材为基础,并简称其为《标准》版教材)以《高中数学课程标准》为基础对其所涉及的相当一部分内容作了新的处理,在要求上也有了一定程度的变化.“第四章函数应用”内容包括“函数与方程、实际问题的函数建模”两部分,这是新课程中增加的新内容,旨在突出“函数与方程”的数学思想、强调数学的实际应用.下边为了便于讨论,我们分章对于教材作一分析.
1集合
集合是近代数学中的一个重要概念,集合概念及其基本理论又是近代数学的一个重要的基础,它不仅与高中数学的许多内容有着联系,而且已经渗透到自然科学的众多领域,应用十分广泛。
中学数学所研究的各种对象都可以看作集合或集合中的元素,用集合语言可以简明地表述数学概念,准确、简捷地进行数学推理.
本章内容以集合的含义与表示、集合的基本关系、集合的基本运算为逻辑链条统领全章,这种安排与以往的教材的处理有很大的区别.例如,§2集合的基本关系,是将集合的包含和相等关系放在一起,并给出自集的概念;§3集合的基本运算,是将集合的交、并、补放在这一节,并给出全集的概念,这样安排给学生展现出知识间的联系,便于学生学习.
1.1课程标准要求
(1)集合的含义与表示
①通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系.
②能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用.
(2)集合间的基本关系
①理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.
②在具体情境中,了解全集与空集的含义.
(3)集合的基本运算
①理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.
②理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.
③能使用Venn图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用.
1.2教学目标
集合语言是现代数学的基本语言.使用集合语言,可以简洁、准确地表达数学的一些内容(集合的初步知识与其他内容有着密切的联系,是学习、掌握和使用数学语言的基础),因此高中数学课程中只是将集合作为一种语言来学习.
1.2.1知识与技能
⑴了解集合的含义,明确元素与集合的“属于”关系.掌握描写某些数集的专用符号.
⑵理解集合的表示法,能用集合语言对事物进行准确,能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.
⑶理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.培养分析、比较、归纳的逻辑思维能力.
⑷了解全集与空集的含义.
⑸理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的交集与并集.
⑹理解在给定集合中,一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.
⑺能使用Venn图表达集合的关系及运算.
1.2.2过程与方法
⑴从学生比较熟悉的实例入手,通过列举丰富的实例,了解集合的含义,理解并掌握集合间的基本关系及集合的基本运算.
⑵创设使学生运用集合语言进行表达和交流的情景和机会,以便学生在实际应用中逐渐熟悉自然语言、图形语言、集合语言各自的特点,进行相互转换并掌握集合语言.
⑶借助几何直观,运用Venn图和数轴表示集合的关系及集合的基本运算,从直观上帮助学生理解并运用集合语言处理问题,体现数形结合的思想.
1.2.3情感、态度、价值观
⑴在运用集合语言解决问题的过程中,逐步养成事实求是,扎实严谨的科学态度,学会用数学思维方法解决问题.
⑵通过直观感知,类比联想和抽象概括,让学生体会数学上的规定要讲逻辑顺序,培养学生有条理地思考的习惯和积极探索创新的意识.
1.3知识结构与教学安排
1.3.1知识结构
1.3.2教学顺序
1.3.2课时安排
§1集合的含义与表示 约1课时
§2集合的基本关系 约1课时
§3.1交集与并集 约1课时
§3.2全集与补集约1课时
复习小结 约1课时
1.4教学重点和难点
1.4.1教学重点
(1)集合的概念与表示.
(2)集合间的包含与相等关系,子集与真子集的概念.
(3)交集与并集、全集与补集的概念.
1.4.2教学难点
(1)运用集合的两种常用表示法—列举法与描述法正确表示一些简单的集合.
(2)属于关系与包含关系的区别.
(3)交集与并集的概念的理解,交集与并集的符号之间的区别与联系.
1.5教学建议
1.5.1把握课标、教材的定位,明确教学目标
●集合作为一种数学语言来学习,尽管集合是数学的一个重要概念,但教材中给出的集合的概念只是一个描述性的说明,在教学中注意通过实例使学生对集合的概念有一个初步认识
●不抠概念,只要求能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具
体问题
1.5.2充分利用几何直观
●注重图形(Venn图和数轴)的直观作用。
利用图形帮助学生理解集合的有关概念,并能够用图形直观地认识集合的运算性质(这些性质不予证明)。
1.5.3集合教学中要注意的问题
●用学生熟悉的例子学习集合,不引入陌生问题
●熟练准确地运用集合语言,是要靠长期积累的,这里只是初步掌握,将在后面学习中提高,切忌“一步到位”
●不强调细枝末节,如集合的“三性”(确定性,无序性,互异性)
2函数
20世纪初,在英国数学家贝利和德国数学家克莱因等人的大力倡导和推动下,函数进入了中学数学。
克莱因提出了一个重要的思想——以函数概念和思想统一数学教育的内容,他认为:
“函数概念,应该成为数学教育的灵魂。
以函数概念为中心,将全部数学教材集中在它周围,进行充分地综合。
”在高中课程中,函数与方程、数列、不等式、线性规划、算法、导数及其应用,包括概率统计中的随机变量等,以及选修系列3、4中的大部分专题内容,都与函数有着密切的联系。
用函数(映射)的思想去理解这些内容,是非常重要的一个出发点。
反过来,通过这些内容的学习,可以加深对于函数思想的认识。
实际上,在整个高中数学课程中,都需要不断地体会、理解“函数思想”给我们带来的“好处”。
函数各章除三角函数外,基本集中在必修1中,分为第二章、第三章、第四章。
本章是第二章,不仅把函数看成变量之间的依赖关系,同时还用集合与对应的语言刻画函数,将函数的思想方法贯串于初中学的几种基本函数的再认识过程;而在第三章将学习指数函数、对数函数等具体的基本初等函数,具体体会两种函数模型的知识和研究规律;第四章结合实际问题,感受运用函数概念建立模型的过程和方法,体会函数在数学和其他学科中的重要性,初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题。
学生还将学习利用函数的性质求方程的近似解,体会函数与方程的有机联系。
显然,本章是整个函数体系的根部,其函数概念是高中数学的核心概念,是函数体系生成的种子;其三要素问题,会成为把握各种函数(如指数函数、对数函数)内涵的基点;其表示法为各种函数(如指数函数、对数函数)的运用示范了三种常见形态,且引出的分段函数是进一步理解函数概念、进而提高各种函数(如指数函数、对数函数)运用能力的绝好材料;而映射的学习,强调了函数概念的动态性和在两个集合间进行信息沟通的功能,有利于函数的理论研究,从而推动各种函数(如指数函数、对数函数)的理论学习和研究,这显然弥补了变量观点下函数概念的不足;函数单调性在各种函数研究中有着特殊的地位,本章在初中函数值变化的基础上,进行了数式刻画,就严格的概念、判断、证明等进行专门学习和训练,随后还学习了奇偶性及其判断,为各种函数(如指数函数、对数函数)的运用做好准备;本章还专门设置了“二次函数再认识”一节,既是为各种函数(如指数函数、对数函数)走向综合运用作进一步的知识准备,也是由函数新的理论层面(概念、表示、性质)来重新理解和描述已学函数模型的一个较为完整的过程,为下一章指数函数、对数函数的研究提供方法上的示范,随后还渗透了幂函数,使下一章集中更多精力研究指数函数和对数函数。
本章第一节着重联系函数与生活的关系,并展现生活中变量关系的丰富性,把函数作为变量关系的特殊化;函数概念的展开过程把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来处理,强调结合实际问题,使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法.这些处理,实际上在有效地发展着学生对实际问题的抽象意识和对变量数学的认识,从而为发展学生的函数意识和函数建模能力作必要的分解和铺垫;这种意识层的铺垫,加上本章以一次函数、二次函数、反比例函数、分段函数为模的建模渗透,以及下一章以指数函数、对数函数为模的建模渗透,即可促成第四章中通性意义上的函数建模训练及三个分解步骤的展开。
总之,本章是函数的核心部位,也是必修1的核心部位。
前面学习的集合为本章“函数的再认识”提供了背景;而本章着重研究了函数的一般性知识,为后面进行的具体函数理论研究作了基础性和工具性的准备,同时,也为后面进行实际应用作了理论和意识层的准备,也为建模训练作了感性积累。
2.1课程标准要求
①通过丰富实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用;了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念。
②在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数。
③通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用。
④通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义;结合具体函数,了解奇偶性的含义。
⑤学会运用函数图象理解和研究函数的性质。
⑥通过实例,了解幂函数的概念;结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=1/x,y=x1/2的图象,了解它们的变化情况。
2.2教学目标
2.2.1知识与技能
⑴了解函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型.
⑵能用集合与对应的语言刻画函数概念.
⑶了解构成函数的三要素,会求一些简单函数的定义域和值域.
⑷能根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
⑸了解简单的分段函数,并能简单应用.
⑹了解映射的概念.
⑺了解增函数、减函数的概念,理解函数的单调性,能利用单调性的定义判断函数的单调性.
⑻理解二次函数的图象变换,掌握二次函数的性质,并会利用二次函数的图象和性质求最值.
⑼了解幂函数的概念,结合函数
的图象,了解幂函数的图象的变化情况.
⑽了解函数奇偶性的含义,会判断函数的奇偶性,能根据函数的奇偶性解决有关问题.
⑾能运用函数的图象理解和研究函数的性质.
2.2.2过程与方法
⑴在复习初中函数定义的基础上,从贴近学生实际出发,结合具体的实例理解函数的定义,会求简单函数的定义域和值域,并会用集合、区间、不等式表示它们.
⑵通过学习函数常用的三种表示方法及相关实例进一步理解函数的概念.同时在学习映射概念的基础上明确两者之间的区别与联系——函数是特殊的映射,映射是函数的推广.
⑶在作二次函数图象的过程中,学会体会图象之间的变换规律,理解二次函数图象与
的关系.
⑷先给出几个特殊函数的图象,通过图象直观获得函数奇偶性的认识,然后利用表格探究数量变化特征,通过代数运算,验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立.在此基础上建立奇偶函数的概念.
2.2.3情感、态度、价值观
⑴引导学生从集合、对应出发来理解抽象的函数概念,学会函数的表示方法.从众多现实问题中抽象出本质属性,培养学生的严谨意识及分析问题、处理问题的能力.
⑵通过实例,感受函数概念在客观实际中的重要意义,进一步体会数形结合的重要性.
⑶从图象的变化过程,学会认识事物由简单到复杂,由具体到抽象的变化规律.
⑷通过研究奇偶函数的性质体会函数图象的对称性与函数解析式的关系.函数的奇偶性将这两者紧紧联系起来,体现了数学上的对称美及数与形的完美结合,并从中提高分析问题、解决问题的能力.
2.3知识结构与教学安排
2.3.1知识结构与教学顺序
2.3.2课时安排
本章教学时间约9课时。
§1生活中的变量关系1课时
§2对函数的进一步认识
§2.1函数概念1课时
§2.2函数的表示法1课时
§2.3映射1课时
§3函数的单调性1课时
§4二次函数性质的再研究2课时
§5简单的幂函数1课时
小结与复习1课时
2.4教学重点和难点
2.4.1教学重点
(1)理解函数的模型化思想,用集合与对应的语言来刻画函数.
(2)函数的概念,函数的表示法.
(3)函数单调性的概念,判断和证明函数的单调性.
(4)二次函数图象的平移变换规律及应用;二次函数解析式的配方以及二次函数在给定区间上的值域问题;含参数的二次函数在给定区间上的值域问题.
(5)幂函数的概念、奇偶函数的概念.
2.4.2教学难点
(1)对抽象符号
的理解,分段函数的表示及图像.
(2)应用定义证明单调性的代数推理论证能力的培养与提高.
(3)含参数的二次函数在给定区间上的值域问题.
(4)利用数学本质正确判断函数的奇偶性.
2.5教学建议
2.5.1紧扣教材特点
“亲和力”:
以生动活泼的呈现方式,激发兴趣和美感,引发学习激情;
“问题性”:
以恰时恰点的问题引导数学活动,培养问题意识,孕育创新精神;
“科学性”与“思想性”:
通过不同数学内容的联系与启发,强调类比,推广,特殊化,化归等思想方法的运用,学习数学地思考问题的方式,提高数学思维能力,培育理性精神;
“时代性”与“应用性”:
以具有时代性和现实感的素材创设情境,加强数学活动,发展应用意识.
2.5.2教材的整体把握与分点处理建议
本章是函数的起始和核心单元,重点、难点密集.许多知识点运用广泛,且稍加变化就衍生出灵活的题型,如果不加拓展,学生解题实践中往往对常见的问题也很困难。
也许正因为如此,过去和现在的所有教材,对概念部分都只涉及函数的皮毛,对最内核的理解和运用慎之又慎,特别是三要素的求解。
因此本章内容的处理要特别的瑾慎.
1.函数“对应”本质的把握,应该成为本章教学的重要原则
“§1生活中的变量关系”给出了变量间的多种对应关系,“2.1函数概念”中的定义却淘汰了其它对应,把关注点抽象到函数对应的特定内涵上;至“2.2函数的表示法”,函数的外形(即对应法则
)发生很大的变化(生活、表格、图示、分段、绝对值等),但统领它的仍是不变的函数对应特征;接下来的“映射”、“生活中的映射(阅读材料)”,是在非空数集
和
泛化为“非空集合”后,函数的对应特征在应用层面的一种扩张;到“§3函数的单调性”将显示函数具有一一对应特征时的巨大应用优势,到“§4二次函数的再研究”将显示非一一对应的函数复杂之一斑,此时图示函数将成为化难为易的法宝;这两种对应特殊化就出现了“§5简单的幂函数”,图示后,成为奇偶性概念产生的契机;而最后,“函数概念的发展(阅读材料)”的副标题“从解析式到对应关系”则对全章作了总结,将“函数”本质定格在“对应”层面.
由此可见,如果我们在处理本章知识时,能从“对应”的层面着眼,手中就有了一根主线,它时时切中各点的本质,使我们考虑问题时易于把握相互的轻重关系,作出合理的安排.
2.理论研究的必要性与应用意识的结合
“§1生活中的变量关系”,及“2.1函数概念”中的概念例释和例题都是实际或物理学背景,构成最大胆也是最独特的设计方案,这种从实际到实际、再到实际的极端处理,对于彰显函数意识和应用意识这一新课标理念,效果是显著的。
但从实现这一理念的操作环节来看,是否可以来得缓一点呢?
因为函数概念的理性认识过浅,可能会严重妨碍后续具体函数的理论研究。
因此,我们的建议是,仍然遵循从实际到理论、再由理论回到实际的程序,即:
在函数各种概念建立之前,可提供充分的精典实例,让学生感知概念的实际意义,但概念建立后,主要还是从函数自身的理论体系上加以梳理和研究,训练巩固以后,再作为工具回到实际问题中展现数学的力量.
3.重视图像作用的发挥
在教学中,要重视图形在数学学习中的作用,挖掘函数图形对函数概念和性质的理解,对数学理解、数学思考的功能。
我们可以经常提出这样一些问题:
从函数图象中你“看到了”什么?
发现了什么?
有什么联想?
等等。
当然,我们也要注意几何直观的局限性,以及用几何直观代替逻辑证明的错误做法.
4.难点部位避免搞一次到位,采用立足初中、分步提高的办法
本章许多点需要螺旋式上升,不能一次到位,如函数三要素的求解等。
这样的知识点一定要遵从课标,但是否要遵从教材就要视学生的情况而定。
对基础较好的学校或班级,建议补充课时若干,突破这些重难点,教学的原则是分散难点,突出重点,削枝强干.
2.5.3关于信息技术整合的建议
必要性:
信息技术应为数学的学与教服务,教学中不应为用信息技术而用,尤其是上公开课、研究课等,绝大部分都用信息技术,但是否每节课都需要呢?
是不是计算机用得越多就越好呢?
答案都应是否定,是否真的需要,要看信息技术能否在课堂上为教学目标服务,起到传统方法达不到的效果.
整体性:
一节课要用信息技术,到底什么地方用,用多少,如何用,要从这节课的整体考虑,计算机作为有效的辅助认知工具是为教学服务的,要把它用得恰到好处。
传统教学的优势应该保留,如教师示范作用、教师与学生之间富于人情味的及时交流,教师组织起来的探讨问题的活跃氛围等等。
理想的教学应该是把教师与计算机的优势同时充分发挥出来,把计算机辅助教学与传统教学完美地结合在一起。
为此就需要教师全新的教学设计。
教学设计应遵循的原则,我们认为应该是“优势互补”的原则,既发挥计算机的优势,又发挥教师的主导作用。
一句话能说明白的,一个教具能演示清楚的,不一定非用计算机演示。
全新的教学设计并不是和传统的教学对立起来,而是把几方面的优势更好地结合起来.
2.5.4关于必修内容与选修内容衔接问题的建议
函数是贯穿于高中数学课程的主线之一,也是高中数学最基本的研究内容之一.在本章,学生将在义务教育阶段函数学习的基础上对函数概念有进一步的认识,并研究函数的性质。
在必修1和必修4中学生还将继续学习一些常用的函数模型,如指数函数、对数函数、幂函数和三角函数等,而选修2-1和选修2-2中学生还将学习导数及其应用。
导数及其应用这部分内容将在必修数学的基础上,提供一种函数研究的新工具.
在必修内容教学中,如何处理好与选修内容的衔接呢?
1.重视概念教学,突出形数结合,为选学内容中概念理解作好准备
函数选学中的核心概念是导数的概念,掌握它的关键是理解函数的导数是函数单调性的更高级别的抽象。
这里面的逻辑演变可以是:
的单调性,即
增加与
增加的方向间关系
增量与
增量的比值,即
的平均变化率
增量趋于零时,
平均变化率有极限,即瞬时变化率,即
的导数.
这里的“极限”并不作严格的概念处理,但须突出其实际背景和几何意义.因此,如果不能将y=f(x)的单调性及其几何意义理解到位,显然不能理解好导数概念的.事实上,由此点可对其它概念的教学作一迁移思考.
2.重视基本初等函数的技能训练和思维训练,为导数求法作好准备
选学中有若干函数的求导公式,常用的原函数涉及到三次函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等,他们的导函数将集中在二次函数等初等函数模型上。
因此要解好相关导函数的运用问题,关键在必修课中要解决好这些初等函数相关基本技能的训练。
3.注意把握好研究单调性或最值时的初等方法和导数方法的度及分工。
当导数方法纳入高中数学主体结构后,用单调性定义讨论和证明函数单调性(即初等方法)的要求就大为降低,新课标更明确了这一点。
由于导函数一般会较之原函数(特别是整式函数)简单,因而导数方法往往显得更为简捷。
但这仅限于可导函数而已。
因此,必修内容中函数单调性的研究仍要重视,但一般函数(大多可导)的单调性讨论不必讨论过深,一次函数、二次函数或反比例函数即可,主要掌握原理和步骤以及单调性的理解和判断,而同时应关注一些常见的不可导函数的单调性的问题,如离散函数的单调性.
对于函数的值域(最值)的研究也有类似的问题,它与单调性问题构成两类最重要的基本问题。
3指数函数和对数函数
函数是贯穿中学数学的核心内容,本章继第二章学习完函数概念和基本性质后,较为系统地研究最重要的两个基本初等函数:
指数函数和对数函数.通过这些函数的研究,使学生进一步认识到函数是刻画现实世界变化规律的重要模型,是一种通过某一事物的变化信息可推知另一事物信息的对应关系的数学模型.并要求结合实际问题,感受运用函数概念建立模型的过程与方法.
3.1课程标准要求
(1)指数函数
①通过具体实例(如细胞的分裂,考古中所用的14C的衰减,药物在人体内残留量的变化等),了解指数函数模型的实际背景。
②理解有理指数幂的含义,通过具体实例了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算。
③理解指数函数的概念和意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点。
④在解决简单实际问题的过程中,体会指数函数是一类重要的函数模型(参见例2)。
(2)对数函数
①理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;通过阅读材料,了解对数的发现历史以及对简化运算的作用.
②通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,体会对数函数是一类重要的函数模型;能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点.
③知道指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数(a>0,a≠1).
1.2教学目标
1.2.1知识与技能
⑴理解有理指数幂的含义,了解无理指数幂及实数指数幂的意义,掌握幂的运算.
⑵了解指数函数模型的实际背景.
⑶理解指数函数的概念和意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性和特殊点.
⑷在解决实际问题的过程中,体会指数函数是一类重要的函数模型.
⑸理解对数的概念及其性质,知道能用换底公式将一般对数转化为自然对数或常用对数.
⑹了解对数的发展历史以及简化运算的作用.
⑺了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,体会对数函数是一类重要的函数模型.
⑻能够画出具体的对数函数的图象,了解对数函数的单调性与特殊点.
⑼了解反函数的定义,知道指数函数
与对数函数
互为反函数.
⑽掌握幂函数、指数函数和对数函数的变化特点,会区别它们变化的速度的不同.
1.2.2过程与方法
⑴在回顾整数指数幂的概念及其运算性质的基础上,结合具体实例,引入有理指数幂及其运算性质,进一步体会用“有理数逼近有理数”的思想,并且可以让学生利用计算器或计算机进行实际操作,感受“逼近”过程.
⑵通过具体的指数函数图象,由特殊到一般地研究指数函数的性质.
⑶通过对数与指数之间的关系,理解对数概念,并根据指数与对数的关系及指数的运算性质推出对数的运算性质.
⑷通过具体实例引入一类新的基本函数——对数函数,并由对数函数的图象研究对数函数的性质,并通过类比指数函数,加深对对数函数的理解.
⑸借助函数图象,研究直线上升、指数增长以及对数增长与实际生活的联系.
1.2.3情感、态度、价值观
⑴在从整数指数幂到有理数指
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