初中九年级数学几何定理符号语言.docx
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初中九年级数学几何定理符号语言
初中九年级数学几何定理符号语言
初中数学“图形与几何”内容
九年级上册
51、旋转:
(1)定义:
把一个图形绕着平面内某一点O转动一个角度,叫图形的旋转。
(2)性质:
对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前后的图形全等。
52、中心对称:
(1)定义:
把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。
(2)性质:
中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心,而且被对称中心所平分;中心对称的两个图形是全等图形。
53、中心对称图形:
(1)定义:
把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形。
(2)中心对称图形的举例。
54、关于原点对称的点的坐标:
点P(x,y)关于原点的对称点为P´(-x,-y)。
55、垂径定理:
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。
56、推论:
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。
注:
(1)上述定理中,共有五个条件,即:
①过圆心②垂直于弦③平分弦④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧,这五个条件中知其中二个可得另外三个。
(2)相关计算:
垂径定理的基本图形中,若半径OC、弦心距OE、弦CD(或弦的一半)、弓形高BE这四个量,知其中二个可求得另外二个。
所以在相关题目中,可根据具体情况作出相应的辅助线。
具体公式为:
BE+OE=OB,OC2+CE2=OC2。
57、弧、弦、圆心角定理:
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等(或所对弦的弦心距相等)。
在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦(或两弦的弦心距)中有一组量相等,它们所对应的其余各组量也相等。
58、圆周角定理:
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半。
59、圆周角定理的推论:
(1)①半圆(或直径)所对的圆周角是直角;②90°的圆周角所对的弦是直径。
(2)在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧一定相等。
60、圆内接四边形的性质:
圆内接四边形的对角互补。
61、不在同一直线上的三个点确定一个圆。
62、切线的判定定理:
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
(常用辅助线:
连半径,证垂直;作垂直,等半径。
)
63、切线的性质:
圆的切线垂直于过切点的半径。
(辅助线:
作过切点的半径)
64、切线长定理:
从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
附几个特殊图形:
65、点和圆、直线和圆、圆和圆各种位置关系的数量关系及判断方法:
位置关系名称
公共点个数
数量关系
说明
点和圆
点在圆外
无
d>r
d:
点到圆心的距离
r:
圆的半径
点在圆上
d=r
点在圆内
d 直线和圆 相离 0个 d>r d: 直线到圆心的距离 r: 圆的半径 相切 只有1个 d=r 相交 2个 d 圆和圆 外离 0个 d>r1+r2 d: 圆心距 r1、r2: 圆的半径 (r1 外切 只有1个 d=r1+r2 相交 2个 r2-r1 内切 只有1个 d=r2-r1 内含 0个 d 66、三角形的外心和内心: (1)锐角三角形的外心在三角形内,直角三角形的外心在斜边的中点处,钝角三 角形的外心在三角形外。 (2)三角形的外心是三边的垂直平分线的交点,到三角形三个顶点的距离相等; (3)三角形的内心是三个内角角平分线的交点,到三角形三边的距离相等。 67、正多边形: 68、弧长公式: L=nπR/180(n: 圆心角度数;R: 半径) 69、扇形面积: S扇形=nπR/360=LR/2(n: 圆心角度数;R: 半径;L: 弧长) 70、求阴影部分的面积: 认真观察图形,注意图形特征。 71、圆锥与扇形的关系: (1)圆锥的母线(PB)是其侧面展开图扇形的半径; 圆锥的底面圆周长是其侧面展开图扇形的弧长。 (2)圆锥的母线(PB)、圆锥的高(PO)、底面圆半 径(OB)构成一个直角三角形。 72、圆的两条平行弦所夹的弧相等。 73、与半径相等的弦所对的圆心角是60°。 九年级下册 74、相似多边形的性质: 相似多边形的对应角相等,对应边的比相等。 (以相似三角形为例) 几何语言: 如左图所示: ∵△ABC∽△DEF ∴∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F,== 75、相似比为1时,相似的两个图形全等。 76、平行线分线段成比例定理: ①三条平行线截两条直线,所得的对应线段的比相等。 应用于三角形中,会出现以下两种情况: ②平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段的比相等。 77、三角形相似的判定方法: (1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似。 几何语言: 如图所示: ∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC (2)如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似。 (3)如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似。 几何语言: 如图所示: (2)∵==∴△ABC∽△DEF (3)∵=,∠B=∠E∴△ABC∽△DEF (4)∵∠A=∠D,∠B=∠E∴△ABC∽△DEF 第(3)(4)还有其它情况,也成立。 (4)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。 78、相似直角三角形的判定方法: ①一般三角形相似的判定方法也适用。 ②满足斜边的比等于一组直角边的比的两个直角三角形相似。 几何语言: 如图所示: ②∵=(或=) ∴△ABC∽△DEF 79、相似多边形(三角形)的相关量的比: ①相似多边形(三角形)周长的比等于相似比;相似三角形对应高线的比、对应边上的中线的比、对应角的角平分线的比都等于相似比。 ②相似多边形(三角形)面积的比等于相似比的平方。 78、在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或—k。 80、锐角三角函数: (1)定义: 如右图,sinA=cosB= ,sinB=cosA= ,tanA= ,tanB= 。 (2)特殊角的三角函数值: 30° 45° 60° (正弦)sin (余弦)cos (正切)tan 1 81、解直角三角形: (1)定义: 在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程。 (元素指三边和两个锐角) (2)求解过程中,用到的关系: ①三边关系: a2+b2=c2(勾股定理);②两锐角之间的关系: ∠A+∠B=90°;③边角之间的关系: sinA=cosB= ,sinB=cosA= ,tanA= ,tanB= 。 (3)用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是: 将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角三角形问题); →根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形; →得到数学问题的答案; →得到实际问题的答案。 82、投影与视图: (1)平行投影、中心投影、正投影: ①定义: 由平行光线形成的投影是平行投影;由同一点(点光源)发出的光线形成的投影是中心投影;投影线垂直于投影面产生的投影是正投影。 ②当物体的某个面平行于投影面时,这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同。 (2)三视图: ①三视图分别为主视图、左视图、俯视图;(在正面内得到的由前向后观察物体的视图是主视图;在水平面内得到的由上向下观察物体的视图是俯视图;在侧面内得到的由左向右观察物体的视图是左视图。 ) ②三种视图的位置如右图: ③画几何体的三视图时,要注意“长对正、高平齐、宽相等”(主视图与俯视图的长对正,主视图与左视图的高平齐,左视图与俯视图的宽相等),还要注意看得见部分的轮廓线画成实线,因被其他部分遮挡而看不见部分的轮廓画成虚线。 ④根据三视图说出立体图形的名称: 要先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的前面、上面和左侧面,然后再综合起来考虑整体图形。 常用辅助线: 1、连接AB。 3、延长AB到C,使BC=AB。
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