领先课程第4讲 相交线与平行线教案.docx
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领先课程第4讲相交线与平行线教案
第4讲相交线与平行线教案
适用学科
初中数学
适用年级
初中二年级
适用区域
通用
课时时长(分钟)
120
知识点
1.相交线
2.对顶角、邻补角
3.垂线段最短
4.点到直线的距离
5.同位角、内错角、同旁内角
6.平行公理及推论
7.平行线之间的距离
8.两直线平行的判定与性质
教学目标
1.了解补角、余角、对顶角,知道等角(同角)的余角相等、等角(同角)的补角相等、对顶角相等;
2.了解垂线、垂线段等概念,了解垂线段最短的性质,理解点到直线的距离的意义;
3.知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线;知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线;理解两条平行线之间距离的意义,会度量两条平行线之间的距离;
4.会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线;会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线;掌握平行线的性质与判定
教学重点
1.利用垂直公理、平行公理及推论、平行线的性质及判定进行简单的推理
2.平行线的性质和判定
3.平行线之间的距离处处相等的应用
教学难点
1.识别同位角、内错角、同旁内角
2.平行线的性质与判定
3.利用垂线段最短的性质作图
教学过程
一、课堂导入
同学们都看过奥运会吧,你能看出下面的图片中蕴含着哪些我们学过的知识么?
容易看出第一行的图片让人想到垂直,而第二行的图片让人想到平行。
即使我们不懂这些体育运动评分的标准,我们也能从运动员身体的形态、位置获得美感。
在生活中,若我们能多用数学眼光去观察,会发现数学无处不在,它处处给人带来美的享受。
二、复习预习
1.邻补角与对顶角
两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角,它们的概念及性质如下表:
图形
顶点
边的关系
大小关系
对顶角
∠1与∠2
有公共顶点
∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线
对顶角相等
即∠1=∠2
邻补角
∠3与∠4
有公共顶点
∠3与∠4有一条边公共,另一边互为反向延长线。
∠3+∠4=180°
2.“三线八角”的识别:
平面内,两条直线被第三条直线所截,将平面分成了六个部分,形成八个角,其中有:
4对同位角,2对内错角和2对同旁内角。
正确认识这八个角要抓住:
同位角位置相同要抓住位于截线同旁,被截两线的同方向(“同旁”和“同向”)——F型;内错角位于截线两侧,被截两线之间要抓住(“内部”和“两旁”)——Z型;同旁内角要抓住位于截线同旁,被截两线之间(“内部”和“同旁”)——U型.
3.垂线及其性质:
(1)定义:
两条直线相交,夹角为90°时,这两条直线的位置关系称为垂直,这两条线互为对方的“垂线”,它们的交点称为“垂足”;根据定义判断两直线是否垂直时,只需要判断其夹角是不是90°。
(2)垂线的性质:
✓过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;
✓连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短(其它的线段称为“斜线段”)。
(3)距离
✓点到直线的距离:
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度,称为点到直线的距离;
✓平行线之间的距离:
作平行线的垂线,垂线段的长度,称为平行线之间的距离。
4.平行线及平行线的判定、性质:
(1)平行公理及其推论:
✓经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行;
✓平行于同一条直线的两条直线互相平行。
(2)平行线的判定及性质:
平行线的判定
平行线的性质
1、同位角相等,两直线平行
2、内错角相等,两直线平行
3、同旁内角互补,两直线平行
4、平行于同一条直线的两直线平行
5、垂直于同一条直线的两直线平行
1、两直线平行,同位角相等
2、两直线平行,内错角相等
3、两直线平行,同旁内角互补
4、经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行
5.平移及其性质:
(1)平移的条件:
①平移的方向;②移动的距离
(2)平移的性质:
✓平移变换只改变图形的位置,不改变图形的形状和大小;
✓平移变换中,连结各组对应点的线段平行(或共线)且相等。
三、知识讲解
考点/易错点1
1.对顶角是成对出现的,对顶角是具有特殊位置关系的两个角;如果∠α与∠β是对顶角,那么一定有∠α=∠β;反之如果∠α=∠β,那么∠α与∠β不一定是对顶角。
易错点:
①对顶角都是成对出现的,单独的角不能构成对顶角;②两条直线相交构成两对对顶角;③对顶角只有公共顶点、没有公共边,它们的两边互为反向延长线。
2.如果∠α与∠β互为邻补角,则一定有∠α+∠β=180°;反之如果∠α+∠β=180°,则∠α与∠β不一定是邻补角。
易错点:
①邻补角有一条公共边,另一边互为反向延长线;②邻补角≠补角;③两相交直线可以形成四对邻补角。
考点/易错点2
1.同位角相等、内错角相等、同旁内角互补,都是平行线特有的性质,切不可忽略前提条件:
“两直线平行”。
当两直线不平行时,同位角、内错角就不相等,同旁内角不互补。
2.只要两条直线被第三条直线所截,都存在同位角、内错角,但不一定相等,同旁内角不一定互补。
3.证明两直线平行时,必须弄清所用条件中的同位角、内错角、同旁内角是哪两条直线被哪一条直线所截而成的,因为推出的结论是除截线外的另两条直线平行.
考点/易错点3
“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”的联系与区别:
1.线与垂线段
✓区别:
垂线是一条直线,不可度量长度;垂线段是一条线段,可以度量长度。
✓联系:
具有垂直于已知直线的共同特征,且都是图形。
(垂直的性质)
2.点间距离与点到直线的距离
✓区别:
两点间的距离是点与点之间,点到直线的距离是点与直线之间。
✓联系:
都是线段的长度,是数量;点到直线的距离是已知点与垂足间距离。
3.线段与距离:
距离是线段的长度,是一个量;线段是一种图形,它们之间不能等同。
四、例题精析
【例题1】有下列命题:
①两条直线被第三条直线所截,同位角相等;②两点之间,线段最短;③相等的角是对顶角;④两个锐角的和是锐角;⑤同角或等角的补角相等.正确命题的个数是( )
A.
2个
B.
3个
C.
4个
D.
5个
【答案】A.①忽略了两条直线必须是平行线;③不应忽略相等的两个角的两条边必须互为反向延长线,才是对顶角;④举一反例即可证明是错的:
80°+60°=170°,170°显然不是锐角,故①③④是错的.②是公理故正确;⑤根据补角定义如果两个角的和是一个平角,那么这两个角叫互为补角,其中一个角叫做另一个角的补角,同角的补角相等.比如:
∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°,则∠C=∠B.等角的补角相等.比如:
∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D,则∠C=∠B.∴②⑤是正确的.
【解析】此题考查的知识点多,用平行线的性质,对顶角性质,补角的定义等来一一验证.
【变式1】如图所示,指出下列各组角是由哪两条直线被哪一条直线所截得的,并说出它们是什么角?
∠1和∠2;∠2和∠6;∠6和∠A;∠3和∠5;∠3和∠4;∠4和∠7.
.
【变式2】已知直线AB、CD相交于O,OE⊥AB,垂足为O,OF平分∠AOC,∠AOF:
∠AOD=5:
26,求∠EOC.
【例题2】点A到直线l的距离为7cm,点B到直线l的距离为3cm,线段AB的长度为( )
A.
10cm
B.
4cm
C.
10cm或4cm
D.
至少4cm
【答案】D.从点A作直线l的垂线,垂足为C点,当A、B、C三点共线时,线段AB的长为7﹣3=4cm,其它情况下大于4cm。
【解析】此题主要考查了从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中,垂线段最短.
【变式1】下列四个说法:
①两点之间,直线最短;②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短;③连接两点的线段,叫做两点的距离;④从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离.其中正确的是( )
A.
①②
B.
①③
C.
②③
D.
②④
【变式2】如图,AD⊥BD,BC⊥CD,AB=5cm,BC=3cm,则BD的长度的取值范围是( )
A.
大于3cm
B.
小于5cm
C.
大于3cm或小于5cm
D.
大于3cm且小于5cm
【例题3】如图,AB∥CD,P为AB、CD之间的一点,已知∠1=32°,∠2=25°,求∠BPC的度数.
【答案】解法1:
过P作射线PN∥AB.
∵AB∥CD,∴PN∥CD,∴∠4=∠2=25°.
∵PN∥AB,∴∠3=∠1=32°.
∴∠BPC=∠3+∠4=32°+25°=57°.
解法2:
过P作射线PM∥AB.∵AB∥CD,∴PM∥CD.
∴∠6=180°-∠2=180°-25°=155°.
∵AB∥PM,
∴∠5=180°-∠1=180°-32°=148°,
∴∠BPC=360°-∠5-∠6=360°-148°-155°
=57°.
解法3:
过C作CE∥BP交AB的延长线于点E.∴∠1=∠E,∠BPC=180°-∠7.
∵AB∥CD,∴∠E+∠2+∠7=180°,
∴∠7=180°-∠1-∠2=180°-32°-25°=123°,
∴∠BPC=180°-∠7=180°-123°=57°.
解法4:
可过B作PC的平行线(请同学们自己写出证明过程,方法同解法3).
【解析】此图不是我们所学过的“三线八角”基本图,需适当添加辅助线,构造成我们所熟知的基本图形解题。
【变式1】如图,已知∠B=25°,∠BCD=45°,∠CDE=30°,∠E=10°,试说明AB∥EF的理由.
【变式2】如图,已知AB∥CD,探讨下面四个图形中,∠APC,∠PAB与∠PCD的关系.
【例题4】学习平行线后,小敏想出了过己知直线外一点画这条直线的平行线的新方法,她是通过折一张半透明的纸得到的(如图
(1)~(4)),从图中可知,小敏画平行线的依据有( )
①两直线平行,同位角相等;②两直线平行,内错角相等;
③同位角相等,两直线平行;④内错角相等,两直线平行.
A.
①②
B.
②③
C.
③④
D.
①④
【答案】C.由作图过程可知,∠1=∠2,为内错角相等;∠1=∠4,为同位角相等;可知小敏画平行线的依据有:
③同位角相等,两直线平行;④内错角相等,两直线平行.
【解析】理解折叠的过程,图中的虚线与已知的直线垂直,故过点P所折折痕与虚线垂直.
【变式1】将一张长方形纸片如图所示折叠后,再展开,如果∠1=56°,那么∠2等于( )
A.
56°
B.
68°
C.
62°
D.
66°
【变式2】将△ABC沿着平行于BC的直线折叠,点A落到点A′,若∠C=120°,∠A=26°,则∠A′DB的度数为.
【例题5】(2013•钦州)定义:
直线l1与l2相交于点O,对于平面内任意一点M,点M到直线l1、l2的距离分别为p、q,则称有序实数对(p,q)是点M的“距离坐标”,根据上述定义,“距离坐标”是(1,2)的点的个数是( )
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5
【答案】C.∵到直线l1的距离是1的点在与直线l1平行且与l1的距离是1的两条平行线a1、a2上,到直线l2的距离是2的点在与直线l2平行且与l2的距离是2的两条平行线b1、b2上,∴“距离坐标”是(1,2)的点是M1、M2、M3、M4,一共4个.
【解析】理解新定义,掌握到一条直线的距离等于定长k的点在与已知直线相距k的两条平行线上是解题的关键.
【变式1】直线a、b、c是三条平行直线.已知a与b的距离为5cm,b与c的距离为2cm,则a与c的距离为( )
A.
2cm
B.
3cm
C.
7cm
D.
3cm或7cm
【变式2】如图,△ABC,△EFG,四边形ACEG的面积相等,并有AE∥GD,BC:
EC=3:
1.由此可知DE:
CE:
BE=.
【例题6】如图,一块边长为8米的正方形土地,在上面修了三条道路,宽都是1米,空白的部分种上各种花草.
(1)请利用平移的知识求出种花草的面积.
(2)若空白的部分种植花草共花费了4620元,则每平方米种植花草的费用是多少元?
【答案】解:
(1)(8﹣2)×(8﹣1)=6×7=42(米2),答:
种花草的面积为42米2.
(2)4620÷42=110(元),答:
每平方米种植花草的费用是110元.
【解析】解决此题关键是要利用平移的知识,把要求的所有道路平移到矩形的边上进行计算.
【变式1】如图①所示,已知,BC∥OA,∠B=∠A=100°,试回答下列问题:
(1)试说明:
OB∥AC;
(2)如图②,若点E、F在BC上,且∠FOC=∠AOC,OE平分∠BOF.求∠EOC的度数;
(3)在
(2)的条件下,若左右平行移动AC,如图③,那么∠OCB:
∠OFB的比值是否随之发生变化?
若变化,试说明理由;若不变,求出这个比值;
(4)在(3)的条件下,当∠OEB=∠OCA时,试求∠OCA的度数.
【变式2】如图①,将线段A1A2向右平移2个单位到B1B2,得到封闭图形A1A2B2B1(即阴影部分),在图②中,将折线A1A2A3向右平移2个单位到B1B2B3,得到封闭图形A1A2A3B3B2B1(即阴影部分).
(1)在图③中,请你类似地画一条有两个折点的折线,同样向右平移2个单位,从而得到一个封闭图形,并用阴影表示;
(2)请你分别写出上述三个图形中阴影部分的面积(设长方形水平方向长均为a,竖直方向长均为b):
S1=,S2=,S3=;
(3)如图④,一块长方形草地,长为20米,宽为10米,草地上有一条弯曲的小路(小路任何地方的宽度都是2米),请你写出小路部分所占的面积是米2;
(4)如图⑤,若在(3)中的草地又有一条横向的弯曲小路(小路任何地方的宽度都是1米),请你写出小路部分所占的面积是米2.
【例题7】如图,为解决A、B、C、D四个小区的缺水问题,市政府准备投资修建一个水厂,
(1)不考虑其他因素,请你画图确定水厂H的位置,使之与四个小区的距离之和最小.
(2)另外,计划把河流EF中的水引入水厂H中,使之到H的距离最短,请你画图确定铺设引水管道的位置,并说明理由.
【答案】
(1)
连接AC和BD,线段AC和BD的交点H点就是水厂的位置.
(2)理由是:
垂线段最短.
【解析】
(1)线段AC和BD的交点即是水厂的位置.
(2)过点H作直线EF的垂线段即可.
【变式1】下列各种说法( )
(1)如图①,把弯曲的河道BCA改成直道BA,可以缩短航程:
(2)如图②,把渠水引到水池C中,可以在渠岸AB边上找到一点D.使CD⊥AB,沿CD挖水沟,水沟最短;
(3)如图③,甲、乙两辆汽车分别沿道路AC,BC同时出发开往C城,若两车速度相同,那么甲车先到C城.其中,运用“垂线段最短”这个性质的是( )
A.
①②
B.
53°①③
C.
②③
D.
①②③
【变式2】(2013•嘉兴)如图1,直线a,b所成的角跑到画板外面去了,你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数?
小明的做法:
如图2,画PC∥a,量出直线b与PC的夹角度数,即直线a,b所成角的度数.写出这种做法的理由.
课程小结
1、基本几何模型:
例如,AB∥CD,∠ABE=∠DCF,求证:
BE∥CF.
(1)如图1:
拐角处巧添平行线(拐角+平行线)
(2)如图2:
寻找“中介角”,把已知角联系起来.
2、设计作图:
(1)利用垂线段最短作图;
(2)利用平行线之间距离处处相等作图(等积变换作图):
✓基本图形:
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