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概率论与数理统计公式
第1章随机事件及其概率
(1)排列组合公式
Pm-m!
从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。
(m-n)!
Cm=m!
从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。
n!
(m_n)!
(2)加法和乘法原理
加法原理(两种方法均能完成此事):
m+n
某件事由两种方法来完成,第一种方法可由m种方法完成,第二种方法可由n
种方法来元成,则这件事可由m+n种方法来元成。
乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事):
mxn
某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由m种方法完成,第二个步骤可由n
种方法来元成,则这件事可由mxn种方法来元成。
(3)一些常见排列
重复排列和非重复排列(有序)对立事件(至少有一个)
顺序问题
(4)随机试验和随机事件
如果一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个,但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,则称这种试验为随机试验。
试验的可能结果称为随机事件。
(5)基本事件、样本空间和事件
在一个试验下,不管事件有多少个,总可以从其中找出这样一组事件,它具有
如下性质:
1每进行一次试验,必须发生且只能发生这一组中的一个事件;
2任何事件,都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件,用©来表示。
基本事件的全体,称为试验的样本空间,用0表示。
一个事件就是由0中的部分点(基本事件国)组成的集合。
通常用大写字母A,B,C,,表示事件,它们是0的子集。
。
为必然事件,?
为不可能事件。
不可能事件(?
)的概率为零,而概率为零的事件不一定是不可能事件;同理,
必然事件(Q)的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然事件。
(6)事件的关系与运算
①关系:
如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分,(A发生必有事件B发生):
AuB
如果冋时有A匚B,A,则称事件A与事件B等价,或称A等于B:
A=B
A、B中至少有一个发生的事件:
AUB,或者A+B。
属于A而不属于B的部分所构成的事件,称为A与B的差,记为A-B,也可
表示为A-AB或者AB,匕表示A发生而B不发生的事件。
A、B冋时发生:
a"1B,或者ABa"1B=?
,则表示A与B不可能冋时发生,
称事件A与事件B互不相容或者互斥。
基本事件是互不相容的。
Q-A称为事件A的逆事件,或称A的对立事件,记为A。
它表示A不发生的事件。
互斥未必对立。
②运算:
结合率:
A(BC)=(AB)CAU(BUC)=(AUB)UC
分配率:
(AB)UC=(AUC)A(BUC)(AUB)nC=(AC)U(BC)
□0QO_
nAi=UAi
德摩根率:
yAUB=AClB,疋TB=AUB
(7)概率的公理化定义
设。
为样本空间,A为事件,对每一个事件A都有一个实数P(A),若满足下列三个条件:
1°0
2°P(Q)=1
3°对于两两互不相容的事件A1,A2,,有
/CO、oO
PUAi=XP(Ai)
(i二丿i=i
常称为可列(完全)可加性。
则称P(A)为事件A的概率。
(8)古典概型
1°Q=仏1化…叫2°P(®1)=P(们2)=…P(叫)=丄。
n
设任一事件A,它是由⑷「^2m组成的,则有
P(A)={(CO1)U(国2)U…U(国皿)}=P®1)+P(^2)+…+Pgm)
mA所包含的基本事件数
一n一基本事件总数
(9)几何概型
若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀,冋时样本空
间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述,则称此随机试验为几何
概型。
对任一事件A,
P(A)—()。
其中L为几何度量(长度、面积、体积)。
Lg)
(10)加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当P(AB)=0时,P(A+B)=P(A)+P(B)
(11)减法公式
P(A-B)=P(A)-P(AB)
当BUA时,P(A-B)=P(A)-P(B)
当A=Q时,P(B)=1-P(B)
(12)条件概率
定义设A、B是两个事件,且P(A)>0,则称P(AB)为事件A发生条件下,事
P(A)
件B发生的条件概率,记为P(B/A)=P(AB)。
P(A)
条件概率是概率的一种,所有概率的性质都适合于条件概率。
例如P(Q/B)=1二P(B/A)=1-P(B/A)
(13)乘法
公式
乘法公式:
P(AB)=P(A)P(B/A)
更一般地,对事件A,A2,,A,若P(A1A2,An-1)>0,则有
P(A1A2,An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2),,P(An|A1A2,
An_1)
f0
(14)独立性
1两个事件的独立性
设事件A、B满足P(AB)=P(A)P(B),则称事件a、B是相互独立的。
若事件A、B相互独立,且P(A):
>0,则有
P(B|A)=P(AB)=P(A)P(B)=P(B)
P(A)P(A)
若事件A、B相互独立,则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。
必然事件0和不可能事件?
与任何事件都相互独立。
?
与任何事件都互斥。
2多个事件的独立性
设ABC是三个事件,如果满足两两独立的条件,
P(AB)=P(A)P(B);P(BC)=P(B)P(C);P(CA)=P(C)P(A)
并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么AB、C相互独立。
对于n个事件类似。
(15)全概率公式
设事件B1,B2,…,Bn满足
1°B1>B2>-Bn两两互不相容,P(Bi)A0(i—1,2,,n),
n
A匚UBi
2°i二,
则有
P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+…+P(Bn)P(A|Bn)。
(16)贝叶斯公式
设事件B1,B2,,,Bn及A满足
1°B1,B2,,,Bn两两互不相容,P(Bi)>0,1=1,2,,,n,
n
AuUBi
2°i=1,P(A)A0,
则
P(Bi)P(A/Bi)
P(B〃A)=n'八",i=1,2,,n。
无P(Bj)P(A/Bj)
j#
此公式即为贝叶斯公式。
P(Bi),(i二1,2,,,n),通常叫先验概率。
P(Bi/A),(i",2,,,n),通常称为后验概率。
贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律,并作出了
“由果朔因”的推断。
(17)伯努
利概型
我们作了n次试验,且满足
每次试验只有两种可能结果,A发生或A不发生;
n次试验是重复进行的,即A发生的概率每次均一样;
每次试验是独立的,即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与
否是互不影响的。
这种试验称为伯努利概型,或称为n重伯努利试验。
用p表示每次试验A发生的概率,则A发生的概率为1-P=q,用Pn(k)表
示n重伯努利试验中A出现k(°乞k兰n)次的概率,
_....kknk
Pn(k)=CnPq一,k=0,1,2,…,n。
第二章随机变量及其分布
(1)离散型随机变量的分布律
设离散型随机变量X的可能取值为X<(k=1,2,,)且取各个值的概率,即事件(X=Xk)的概率为
P(X=Xk)=pk,k=1,2,,,
则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。
有时也用分布列的形
式给出:
X|X1,X2,…,Xk,…
P(X=xk)1php2,…,pk,…。
显然分布律应满足下列条件:
□0
Xpk=1
(1)pk王0,k彳2,…,
(2)心。
(2)连续型随机变量的分布密度
设F(x)是随机变量X的分布函数,若存在非负函数f(X),对任意实数x,有
X
F(x)=Jf(x)dx
q,
则称X为连续型随机变量。
f(X)称为X的概率密度函数或密度函数,简称概
率密度。
密度函数具有下面4个性质:
1°f(x)^°。
2°Jf(x)dx=1。
(3)离散与连续型随机变量的关系
P(X=x)吒P(xvX兰x+dx)趾f(x)dx
积分元f(x)dx在连续型随机变量理论中所起的作用与P(XXk)pk在离
散型随机变量理论中所起的作用相类似。
(4)分布函数
设X为随机变量,X是任意实数,则函数
F(x)=P(X兰x)
称为随机变量X的分布函数,本质上是一个累积函数。
P(acXEb)=F(b)—F(a)可以得到X落入区间(a,b]的概率。
分布
函数F(x)表示随机变量落入区间(-a,x]内的概率。
分布函数具有如下性质:
1°0兰F(X)兰1,—O0£X£畑;
2°F(x)是单调不减的函数,即X1CX2时,有F(X1)EF(X2);
3°F(亠)=limF(x)=0,F(畑)=limF(x)=1;
4°F(x+0)=F(x),即F(x)是右连续的;
5°P(X=x)=F(x)-F(x-0)。
对于离散型随机变量,F(x)=:
Zpk;
X
对于连续型随机变量,F(x)=Jf(x)dx。
(5)八大分布
0-1分布
P(X=1)=p,P(X=0)=q
二项分布
在n重贝努里试验中,设事件A发生的概率为p。
事件A发生
的次数是随机变量,设为X,则X可能取值为0,1,2,…,n。
kkn_k
P(X=k)=Pn(k)=CnPq,其中
q=1—p,0vpv1,k=0,1,2,…,n,
则称随机变量X服从参数为n,p的二项分布。
记为
X~B(n,p)。
当n=1时,P(X=k)=pkqJ,k=0.1,这就是(0-1)分
布,所以(0-1)分布是二项分布的特例。
泊松分布
设随机变量X的分布律为
k
P(x=k+
丄,丸>0,k=0,1,2八,
则称随机变量X服从参数为人的泊松分布,记为
X~兀(九)或
者P(丸)。
泊松分布为二项分布的极限分布(np=入,nis)
。
超几何分布
cMM^cN%k=0,1,2…,i
P(X=k)=n-
l=min(M,n)
Cn
随机变量X服从参数为
n,N,M的超几何分布,记为
H(n,N,M)。
:
几何分布
k1
p(x=k)=qp,k
=1,2,3,…,其中P》0,q=1-p。
随机变量X服从参数为
p的几何分布,记为G(p)
。
均匀分布
设随机变量X的值只落在[a,b]内,其密度函数
f(x)在[a,b]
1
上为常数,即
b-a
1a f(x)= 其他, 则称随机变量X在[a, b]上服从均匀分布,记为 X~U(a,b)。 分布函数为
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