初中数学等腰三角形的手拉手模型.docx
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初中数学等腰三角形的手拉手模型
等腰三角形的手拉手模型
所谓手拉手模型,指由两个等顶角的等腰三角形所组成,并且顶角的顶点为公共顶点。
基本图形:
1、图
(1)中,C点为线段AB上一点,△ACM,△CBN是等边三角形,AN与BM相等吗?
说明理由;连接EF,证明△ECF是等边三角形。
图
(2)C点为线段AB上一点,等边三角形ACM和等边三角形CBN在AB的异侧,此时AN与BM相等吗?
说明理由;
如图(3)C点为线段AB外一点,△ACM,△CBN是等边三角形,AN与BM相等吗?
说明理由.
图
(1)图
(2)图(3)
2、已知:
△ABC,△EDC均为等边三角形.
求证:
(1)△ACN≌△BCM.
(2)∠APB=60°
(3)PC平分∠BPD.
变形延伸:
如图1,点C是线段AB上一点,分别以AC,BC为边在AB的同侧作等边△ACM和△CBN,连接AN,BM.分别取BM,AN的中点E,F,连接CE,CF,EF.观察并猜想△CEF的形状,并说明理由.
3、如图两个等边三角形△ABD与△BCE,连结AE与CD,
证明:
(1)AE与DC之间的夹角为60°.
(2)AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC.
4、如图两个等腰直角三角形ADC与EDG,连结AG,CE,二者相交于点H
问:
(1)AG与CE之间的夹角为多少度?
(2)HD是否平分∠AHE?
5、两个等腰三角形△ABD与△BCE,其中AB=BD,CB=EB,∠ABD=∠CBE=α连接AE与CD,
问:
(1)△ABE≌△DBC是否成立?
(2)AE是否与CD相等?
(3)AE与CD之间的夹角为多少度?
(4)HB是否平分∠AHC?
6、如图,两个正方形ABCD与DEFG,连结AG,CE,二者相交于点H.
问:
(1)AG与CE之间的夹角为多少度?
(2)HD是否平分∠AHE?
【典型习题】
1、如图,在△ABC中,∠ABC=60°,AB=2,BC=8,点A为顶点,AC为腰,作等腰△ACD,且∠DAC=120°,则BD的长为__________.
2、如图,已知A、C是半径为2的⊙O上的两动点,以AC为直角边在⊙O内作等腰Rt△ABC,∠C=90°,连接OB,则OB的最小值为__________.
3、如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,AC=2,△ABC绕点C顺时针旋转得到
,当
落在AB边上时,连接
,取
的中点D,连接
则
的长度为_________.
4、将等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE按图1方式放置,∠A=90°,AD边与AB边重合,AB=2AD=4.将△ADE绕点A逆时针方向旋转一个角度α(0°≤α≤180°),BD的延长线交直线CE于点P.
(1)如图2,BD与CE的数量关系是_______________,位置关系是______________;
(2)在旋转的过程中,当AD⊥BD时,求出CP的长;
5、如图,在平面直角坐标系中,已知A(0,2),△AOB为等边三角形,P是x轴上一个动点(不与O重合),以线段AP为边在其右侧作等边三角形APQ;
(1)求B点坐标;
(2)在点P的运动过程中,∠ABQ的大小是否发生改变?
若不变,求出其大小;若改变,请说明理由;
(3)连接OQ,当
时,求点P的坐标.
【中考链接】
1、(2016盘锦25题14分)已知:
△ABC是等边三角形,点E在直线AC上,连接BE,以BE为边作等边三角形BEF,将线段CE绕点C顺时针旋转60°,得到线段CD,连接AF,AD,ED.
(1)如图1,当点E在线段AC上时,求证:
△BCE≌△ACD;
(2)如图1,当点E在线段AC上时,求证:
四边形ADEF是平行四边形;
(3)如图2,当点E在线段AC的延长线上时,四边形ADEF还是平行四边形吗?
如果是,请证明你的结论;如果不是,请说明理由
2、(2016辽阳25题12分)已知:
在菱形ABCD中,∠ABC=60°,对角线AC,BD相交于点O,点E是线段BD上一动点(不与点B、D重合),连接AE,以AE为边在AE的右侧作菱形AEFG,且∠AEF=60°.
(1)如图1,若点F落在线段BD上,证明EF=FD;
(2)如图2,若点F不在线段BD上,
(1)中的结论是否还成立?
若成立,请证明;若不成立,请说明理由;
(3)若点C、E、G三点在同一条直线上,请直接写出线段BE和BD的数量关系.
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