专题34 中考几何旋转类问题 学生版备战中考数学专题复习精讲精练.docx
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专题34中考几何旋转类问题学生版备战中考数学专题复习精讲精练
专题34中考几何旋转类问题
1.旋转的定义:
在平面内,将一个图形绕某一点按某个方向转动一个角度,这样的运动叫做图形的旋转。
这个定点叫做旋转中心,转动的角度叫做旋转角。
2.旋转的性质:
(1)对应点到旋转中心的距离相等,对应线段相等,对应角相等;
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
3.旋转对称中心:
把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后,与初始图形重合,这种图形叫做旋转对称图形,这个定点叫做旋转对称中心,旋转的角度叫做旋转角(旋转角小于0°,大于360°)。
4.中心对称:
如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合,那么我们就说,这两个图形成中心对称。
这个点就是它的对称中心。
5.中心对称的性质
(1)关于中心对称的两个图形是全等形。
(2)关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分。
(3)关于中心对称的两个图形,对应线段平行(或在同一直线上)且相等。
【例题1】(2020•青岛)如图,将△ABC先向上平移1个单位,再绕点P按逆时针方向旋转90°,得到△A′B′C′,则点A的对应点A′的坐标是( )
A.(0,4)B.(2,﹣2)C.(3,﹣2)D.(﹣1,4)
【对点练习】(2019•河南)如图,在△OAB中,顶点O(0,0),A(﹣3,4),B(3,4),将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转,每次旋转90°,则第70次旋转结束时,点D的坐标为( )
A.(10,3)B.(﹣3,10)C.(10,﹣3)D.(3,﹣10)
【例题2】(2020•孝感)如图,点E在正方形ABCD的边CD上,将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置,连接EF,过点A作EF的垂线,垂足为点H,与BC交于点G.若BG=3,CG=2,则CE的长为( )
A.
B.
C.4D.
【对点练习】(2019广西贺州)如图,正方形ABCD的边长为4,点E是CD的中点,AF平分∠BAE交BC于点F,将△ADE绕点A顺时针旋转90°得△ABG,则CF的长为 .
【例题3】(2020•南京)将一次函数y=﹣2x+4的图象绕原点O逆时针旋转90°,所得到的图象对应的函数表达式是 .
【对点练习】(2019•海南省)如图,将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转á(0°<á<90°)得到AE,直角边AC绕点A逆时针旋转â(0°<â<90°)得到AF,连结EF.若AB=3,AC=2,且á+â=∠B,则
EF= .
【例题4】(2020贵州黔西南)规定:
在平面内,如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α(0°<α≤180°)后能与自身重合,那么就称这个图形是旋转对称图形,转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角.例如:
正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后,能与自身重合(如图1),所以正方形是旋转对称图形,且有两个旋转角.根据以上规定,回答问题:
(1)下列图形是旋转对称图形,但不是中心对称图形的是________;
A.矩形B.正五边形C.菱形D.正六边形
(2)下列图形中,是旋转对称图形,且有一个旋转角是60度的有:
________(填序号);
(3)下列三个命题:
①中心对称图形是旋转对称图形;②等腰三角形是旋转对称图形;③圆是旋转对称图形,其中真命题的个数有()个;
A.0B.1C.2D.3
(4)如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成,旋转角有45°,90°,135°,180°,将图形补充完整.
【对点练习】(2019•广西贵港)已知:
△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,将△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△A′B′C,记旋转角为á,当90°<á<180°时,作A′D⊥AC,垂足为D,A′D与B′C交于点E.
(1)如图1,当∠CA′D=15°时,作∠A′EC的平分线EF交BC于点F.
①写出旋转角á的度数;
②求证:
EA′+EC=EF;
(2)如图2,在
(1)的条件下,设P是直线A′D上的一个动点,连接PA,PF,若AB=
,求线段PA+PF的最小值.(结果保留根号)
一、选择题
1.(2020•天津)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC,使点B的对应点E恰好落在边AC上,点A的对应点为D,延长DE交AB于点F,则下列结论一定正确的是( )
A.AC=DEB.BC=EFC.∠AEF=∠DD.AB⊥DF
2.(2020•菏泽)如图,将△ABC绕点A顺时针旋转角α,得到△ADE,若点E恰好在CB的延长线上,则∠BED等于( )
A.
B.
αC.αD.180°﹣α
3.(2019山东枣庄)如图,点E是正方形ABCD的边DC上一点,把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置.若四边形AECF的面积为20,DE=2,则AE的长为( )
A.4B.2
C.6D.2
4.(2019•南京)如图,△A'B'C'是由△ABC经过平移得到的,△A'B'C还可以看作是△ABC经过怎样的图形变化得到?
下列结论:
①1次旋转;②1次旋转和1次轴对称;③2次旋转;④2次轴对称.其中所有正确结论的序号是( )
A.①④B.②③C.②④D.③④
5.(2019•湖北孝感)如图,在平面直角坐标系中,将点P(2,3)绕原点O顺时针旋转90°得到点P',则P'的坐标为( )
A.(3,2)B.(3,﹣1)C.(2,﹣3)D.(3,﹣2)
二、填空题
6.(2020•泰安)如图,将正方形网格放置在平面直角坐标系中,其中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C的坐标分别为A(0,3),B(﹣1,1),C(3,1).△A'B'C′是△ABC关于x轴的对称图形,将△A'B'C'绕点B'逆时针旋转180°,点A'的对应点为M,则点M的坐标为 .
7.(2020•衡阳)如图,在平面直角坐标系中,点P1的坐标为(
,
),将线段OP1绕点O按顺时针方向旋转45°,再将其长度伸长为OP1的2倍,得到线段OP2;又将线段OP2绕点O按顺时针方向旋转45°,长度伸长为OP2的2倍,得到线段OP3;如此下去,得到线段OP4,OP5,…,OPn(n为正整数),则点P2020的坐标是 .
8.(2019•湖南邵阳)如图,将等边△AOB放在平面直角坐标系中,点A的坐标为(4,0),点B在第一象限,将等边△AOB绕点O顺时针旋转180°得到△A′OB′,则点B′的坐标是 .
9.(2019山西)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=10cm,点D为△ABC内一点,∠BAD=15°,AD=6cm,连接BD,将△ABD绕点A逆时针方向旋转,使AB与AC重合,点D的对应点E,连接DE,DE交AC于点F,则CF的长为______cm.
10.(2019▪黑龙江哈尔滨)如图,将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C,其中点A′与A是对应点,点B′与B是对应点,点B′落在边AC上,连接A′B,若∠ACB=45°,AC=3,BC=2,则A′B的长为 .
11.(2019新疆)如图,在△ABC中,AB=AC=4,将△ABC绕点A顺时针旋转30°,得到△ACD,延长AD交BC的延长线于点E,则DE的长为 .
12.(2019齐齐哈尔)如图,矩形ABOC的顶点B、C分别在x轴,y轴上,顶点A在第二象限,点B的坐标为(﹣2,0).将线段OC绕点O逆时针旋转60°至线段OD,若反比例函数y=
(k≠0)的图象经过A、D两点,则k值为 .
13.(2019广西梧州)如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转,对应得到菱形AEFG,点E在AC上,EF与CD交于点P,则DP的长是 .
三、解答题
14.(2020•绥化)如图,在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点A,点B,点O均为格点(每个小正方形的顶点叫做格点).
(1)作点A关于点O的对称点A1;
(2)连接A1B,将线段A1B绕点A1顺时针旋转90°得点B对应点B1,画出旋转后的线段A1B1;
(3)连接AB1,求出四边形ABA1B1的面积.
15.(2020•甘孜州)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC,点D落在线段AB上,连接BE.
(1)求证:
DC平分∠ADE;
(2)试判断BE与AB的位置关系,并说明理由;
(3)若BE=BD,求tan∠ABC的值.
16.(2020•江西)如图1是一种手机平板支架,由托板、支撑板和底座构成,手机放置在托板上,图2是其侧面结构示意图.量得托板长AB=120mm,支撑板长CD=80mm,底座长DE=90mm.托板AB固定在支撑板顶端点C处,且CB=40mm,托板AB可绕点C转动,支撑板CD可绕点D转动.(结果保留小数点后一位)
(1)若∠DCB=80°,∠CDE=60°,求点A到直线DE的距离;
(2)为了观看舒适,在
(1)的情况下,把AB绕点C逆时针旋转10°后,再将CD绕点D顺时针旋转,使点B落在直线DE上即可,求CD旋转的角度.(参考数据:
sin40°≈0.643,cos40°≈0.766,tan40°≈0.839,sin26.6°≈0.448,cos26.6°≈0.894,tan26.6°≈0.500,
1.732)
17.(2020•新疆)如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A(1,3),将OA绕点O顺时针旋转90°后得到OB,点B恰好在抛物线上,OB与抛物线的对称轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)P是线段AC上一动点,且不与点A,C重合,过点P作平行于x轴的直线,与△OAB的边分别交于M,N两点,将△AMN以直线MN为对称轴翻折,得到△A′MN,设点P的纵坐标为m.
①当△A′MN在△OAB内部时,求m的取值范围;
②是否存在点P,使S△A′MN
S△OA′B,若存在,求出满足条件m的值;若不存在,请说明理由.
18.(2019内蒙古通辽)如图,点P是正方形ABCD内的一点,连接CP,将线段CP绕点C顺时旋转90°,得到线段CQ,连接BP,DQ.
(1)如图1,求证:
△BCP≌△DCQ;
(2)如图,延长BP交直线DQ于点E.
①如图2,求证:
BE⊥DQ;
②如图3,若△BCP为等边三角形,判断△DEP的形状,并说明理由.
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