立体图形和组合图形.docx
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立体图形和组合图形
人人教育辅导讲义――立体图形和组合图形
学员姓名:
年级:
辅导科目:
数学
课时数:
3学科教师:
刘鹏班主任:
授课日期
授课时段
组长签字
授课类型
T
C
T
星级
★★
★★★
★★★★
教学目的
1.必须以基本概念和方法为基础,同时把构成几何图形的诸多条件沟通起来
2.仔细观察,认真思考,看清所求图形是由哪几个基本图形组合而成的;
3.适当采用增加辅助线等方法帮助解题;
重点难点
1通过变形的方法求不规则图形面积
2采用割、补、分解、代换等方法,解决复杂问题
教学内容
长方体和正方体
二、精讲精练
【例题1】一个零件形状大小如下图:
算一算,它的体积是多少立方厘米?
表面积是多少平方厘米?
(单位:
厘米)
【思路导航】
(1)可以把零件沿虚线分成两部分来求它的体积,左边的长方体体积是10×4×2=80(立方厘米),右边的长方体的体积是10×(6-2)×2=80(立方厘米),整个零件的体积是80×2=160(立方厘米);
(2)求这个零件的表面积,看起来比较复杂,其实,朝上的两个面的面积和正好与朝下的一个面的面积相等;朝右的两个面的面积和正好与朝左的一个面的面积相等。
因此,此零件的表面积就是(10×6+10×4+2×2)×2=232(平方厘米)。
想一想:
你还能用别的方法来计算它的体积吗?
练习1:
1.一个长5厘米,宽1厘米,高3厘米的长方体,被切去一块后(如图),剩下部分的表面积和体积各是多少?
2.有一个长8厘米,宽1厘米,高3厘米的长方体木块,在它的左右两角各切掉一个正方体(如图),求切掉正方体后的表面积和体积各是多少?
3.把一根长2米的长方体木料锯成1米长的两段,表面积增加了2平方分米,求这根木料原来的体积。
【例题2】有一个长方体形状的零件,中间挖去一个正方体的孔(如图),你能算出它的体积和表面积吗?
(单位:
厘米)
【思路导航】
(1)先求出长方体的体积,8×5×6=240(立方厘米),由于挖去了一个孔,所以体积减少了2×2×2=8(立方厘米),这个零件的体积是240-8=232(立方厘米);
(2)长方体完整的表面积是(8×5+8×6+6×5)×2=236(平方厘米),但由于挖去了一个孔,它的表面积减少了一个(2×2)平方厘米的面,同时又增加了凹进去的5个(2×2)平方厘米的面,因此,这个零件的表面积是236+2×2×4=252(平方厘米)。
练习2:
1.有一个形状如下图的零件,求它的体积和表面积。
(单位:
厘米)。
2.有一个棱长是4厘米的正方体,从它的一个顶点处挖去一个棱长是1厘米的正方体后,剩下物体的体积和表面积各是多少?
3.如果把上题中挖下的小正方体粘在另一个面上(如图),那么得到的物体的体积和表面积各是多少?
【例题3】一个正方体和一个长方体拼成了一个新的长方体,拼成的长方体的表面积比原来的长方体的表面积增加了50平方厘米。
原正方体的表面积是多少平方厘米?
【思路导航】一个正方体和一个长方体拼成新的长方体,其表面积比原来的长方体增加了4块正方形的面积,每块正方形的面积是50÷4=12.5(平方厘米)。
正方体有6个这样的面,所以,原来正方体的表面积是12.5×6=75(平方厘米)。
练习3:
1.把两个完全一样的长方体木块粘成一个大长方体,这个大长方体的表面积比原来两个长方体的表面积的和减少了46平方厘米,而长是原来长方体的2倍。
如果拼成的长方体的长是24厘米,那么它的体积是多少立方厘米?
2.一根长80厘米,宽和高都是12厘米的长方体钢材,从钢材的一端锯下一个最大的正方体后,它的表面积减少了多少平方厘米?
3.把4块棱长都是2分米的正方体粘成一个长方体,它们的表面积最多会减少多少平方分米?
【例题4】把11块相同的长方体砖拼成一个大长方体。
已知每块砖的体积是288立方厘米,求大长方体的表面积。
【思路导航】要求大长方体的表面积,必须知道它的长、宽和高。
我们用a、b、h分别表示小长方体的长、宽、高,显然,a=4h,即h=1/4a,2a=3b即b=2/3a,砖的体积是a*2/3a*1/4a=1/6a3。
由1/6a3=288可知,a=12.b=2/3*12=8,h=1/4*12=3。
大长方体的长是12×2=24厘米,宽12厘米,高是8+3=11厘米,表面积就不难求了。
练习4:
1.一块小正方体的表面积是6平方厘米,那么,由1000个这样的小正方体所组成的大正方体的表面积是多少平方厘米?
2.一个长方体的体积是385立方厘米,且长、宽、高都是质数,求这个长方体的表面积。
3.有24个正方体,每个正方体的体积都是1立方厘米,用这些正方体可以拼成几种不同的长方体?
用图画出来。
【例题5】一个长方体,前面和上面的面积之和是209平方厘米,这个长方体的长、宽、高以厘为为单位的数都是质数。
这个长方体的体积和表面积各是多少?
【思路导航】长方体的前面和上面的面积是长×宽+长×高=长×(宽+高),由于此长方体的长、宽、高用厘米为单位的数都是质数,所以有209=11×19=11×(17+2),即长、宽、高分别为11、17、2厘米。
知道了长、宽、高求体积和表面积就容易了。
练习5:
1.有一个长方体,它的前面和上面的面积和是88平方厘米,且长、宽、高都是质数,那么这个长方体的体积是多少?
2.一个长方体的长、宽、高是三个连续偶数,体积是96立方厘米,求它的表面积。
3.一个长方体和一个正方体的棱长之长相等,已知长方体长、宽、高分别是6分米、4分米、25分米,求正方体体积。
长方体和正方体二
一、知识要点
解答有关长方体和正方体的拼、切问题,除了要切实掌握长方体、正方体的特征,熟悉计算方法,仔细分析每一步操作后表面几何体积的等比情况外,还必须知道:
把一个长方体或正方体沿水平方向或垂直方向切割成两部分,新增加的表面积等于切面面积的两倍。
二、精讲精练
【例题1】一个棱长为6厘米的正方体木块,如果把它锯成棱长为2厘米的正方体若干块,表面积增加多少厘米?
【思路导航】把棱长为6厘米的正方体锯成棱长为2厘米的正方体,可以按下图中的线共锯6次,每锯一次就增加两个6×6=36平方厘米的面,锯6次共增加36×2×6=432平方厘米的面积。
因此,锯好后表面积增加432平方厘米。
练习1:
1.把27块棱长是1厘米的小正方体堆成一个大正方体,这个大正方体的表面积比原来所有的小正方体的表面积之和少多少平方厘米?
2.有一个棱长是1米的正方体木块,如果把它锯成体积相等的8个小正方体,表面积增加多少平方米?
3.把一个正方体的六个面都涂上红色,然后把它锯两次锯成4个同样的小长方体,没有涂颜色的面积是60平方厘米。
求涂上红色的面积一共是多少平方厘米?
【例题2】有一个正方体木块,把它分成两个长方体后,表面积增加了24平方厘米,这个正方体木块原来的表面积是多少平方厘米?
【思路导航】把正方体分成两个长方体后,增加了两个面,每个面的面积是24÷2=12平方厘米,而正方体有6个这样的面。
所以原正方体的表面积是12×6=72平方厘米。
练习2:
1.把三个棱长都是2厘米的正方体拼成一个长方体,这个长方体的表面积是多少平方厘米?
2.有一个正方体木块,长4分米、宽3分米、高6分米,现在把它锯成两个长方体,表面积最多增加多少平方分米?
3.有三块完全一样的长方体积木,它们的长是8厘米、宽4厘米、高2厘米,现把三块积木拱成一个大的长方体,怎样搭表面积最大?
最大是多少平方厘米?
【例题3】有一个正方体,棱长是3分米。
如果按下图把它切成棱长是1分米的小正方体,这些小正方体的表面积的和是多少?
想一想:
在切的过程中,每切一切,就会增加两个3×3平方分米的面,你能用这种思路来计算所求问题吗?
练习3:
1.用棱长是1厘米的小正方体摆成一个稍大一些的正方体,至少需要多少个小正方体?
如果要摆一个棱长是6厘米的正方体,需要多少个小正方体?
2.有一个长方体,长10厘米、宽6厘米、高4厘米,如果把它锯成棱长是1厘米的小正方体,一共能锯多少个?
这些小正方体的表面积和是多少?
3.把24个棱长是1厘米的小正方体摆成一个长方体,这个长方体的表面积至少是多少平方厘米?
【例题4】一个正方体的表面涂满了红色,然后如下图切开,切开的小正方体中:
(1)三个面涂有红色的有几个?
(2)二个面涂有红色的有几个?
(3)一个面涂有红色的有几个?
(4)六个面都没有涂色的有几个?
【思路导航】按题中的要求切,切成的小正方体一共有3×3×3=27个。
(1)三个面涂有红色的小正方体在大正方体的顶点处,共有8个;
(2)二个面涂有红色的小正方体在大正方体的棱上,共有1×12=12个;
(3)一个面涂有红色的小正方体在大正方体的六个面上,共有1×6=6个;
(4)六个面都没有涂色的在大正方体的中间,有27-(8+12+6)=1个。
练习4:
1.把一个棱长是5厘米的正方体的六个面涂满红色,然后切成1立方厘米的小正方体,这些小正方体中,一面涂红色的、二面涂红色的、三面涂红色的以及六个面都没有涂色的各有多少个?
2.把若干个体积相同的小正方体堆成一个大的正方体,然后在大正方体的表面涂上颜色,已知两面被涂上红色的小正方体共有24个,那么,这些小正方体一共有多少个?
3.把1立方米的正方体木块的表面涂上颜色,然后切成1立方分米的小正方体,在这些小正方体中,六个面都没有涂色的有多少个?
【例题5】一个长方体的长、宽、高分别是6厘米、5厘米和4厘米,若把它切割成三个体积相等的小长方体,这三个小长方体表面积的和最大是多少平方厘米?
【思路导航】这个长方体原来的表面积是(6×5+6×4+5×4)×2=148平方厘米,每切割一刀,增加2个面。
切成三个体积相等的小长方体要切2刀,一共增加2×2=4个面。
要求表面积和最大,应该增加4个6×5=30平方厘米的面。
所以,三个小长方体表面积和最大是148+6×5×4=268平方厘米。
练习5:
1.有三块完全一样的长方体木块,每块长8厘米、宽5厘米、高3厘米。
要把它们粘成一个大的长方体,这个长方体的表面积最大是多少平方厘米?
最小是多少平方厘米?
2.把8个同样大小的小正方体拼成一个大正方体,已知每个小正方体的表面积是72平方厘米,拼成的大正方体的表面积是多少平方厘米?
3.把一个长、宽、高分别为7厘米、6厘米、5厘米的长方体,截成两个长方体,使这两个长方体的表面积的和最大,求它们的表面积和是多少平方厘米?
组合图形面积
(一)
一、知识要点
组合图形是由两个或两个以上的简单的几何图形组合而成的。
组合的形式分为两种:
一是拼合组合,二是重叠组合。
由于组合图形具有条件相等的特点,往往使得问题的解决无从下手。
要正确解答组合图形的面积,应该注意以下几点:
1.切实掌握有关简单图形的概念、公式,牢固建立空间观念;
2.仔细观察,认真思考,看清所求图形是由哪几个基本图形组合而成的;
3.适当采用增加辅助线等方法帮助解题;
4,采用割、补、分解、代换等方法,可将复杂问题变得简单。
二、精讲精练
【例题1】一个等腰直角三角形,最长的边是12厘米,这个三角形的面积是多少平方厘米?
【思路导航】由于此三角形中只知道最长的边是12厘米,所以,不能用三角形的面积公式来计算它的面积。
我们可以假设有4个这样的三角形,且拼成了下图正方形。
显然,这个正方形的面积是12×12.那么,一个三角形的面积就是12×12÷4=36平方厘米。
练习1:
1.求四边形ABCD的面积。
(单位:
厘米)
2.已知正方形ABCD的边长是7厘米,求正方形EFGH的面积。
3.有一个梯形,它的上底是5厘米,下底7厘米。
如果只把上底增加3厘米,那么面积就增加4.5平方厘米。
求原来梯形的面积。
【例题2】正图正方形中套着一个长方形,正方形的边长是12厘米,长方形的四个角的顶点把正方形的四条边各分成两段,其中长的一段是短的2倍。
求中间长方形的面积。
【思路导航】图中的两个小三角形平移后可拼得一个小正方形,两个大三角形平移后可拼得一个大正方形。
这两个正方形的边长分别是12÷(1+2)=4(厘米)和4×2=8(厘米)。
中间长方形的面积只要用总面积减去这两个拼起来的正方形的面积就可以得到。
即:
12×12-(4×4+8×8)=64(平方厘米)
练习2:
1.(如下图)已知大正方形的边长是12厘米,求中间最小正方形的面积。
2.正图长方形ABCD的面积是16平方厘米,E、F都是所在边的中点,求三角形AEF的面积。
3.求下图(上右图)长方形ABCD的面积(单位:
厘米)。
【例题3】四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形,已知三角形AFH的面积是7平方厘米。
三角形CDH的面积是多少平方厘米?
【思路导航】设大正方形的边长是a,小正方形的边长是b。
(1)梯形EFAD的面积是(a+b)×b÷2.三角形EFC的面积也是(a+b)×b÷2。
所以,两者的面积相等。
(2)因为三角形AFH的面积=梯形EFAD的面积-梯形EFHD的面积,而三角形CDH的面积=三角形EFC的面积-梯形EFHD的面积,所以,三角形CDH的面积与三角形AFH的面积相等,也是7平方厘米。
练习3:
1.图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米,求阴影部分的面积。
2.下图中两个完全一样的三角形重叠在一起,求阴影部分的面积。
(单位:
厘米)
3.下图中,甲三角形的面积比乙三角形的面积大多少平方厘米?
【例题4】下图中正方形的边长为8厘米,CE为20厘米,梯形BCDF的面积是多少平方厘米?
【思路导航】要求梯形的面积,关键是要求出上底FD的长度。
连接FC后就能得到一个三角形EFC,用三角形EBC的面积减去三角形FBC的面积就能得到三角形EFC的面积:
8×20÷2-8×8÷2=48平方厘米。
FD=48×2÷20=4.8厘米,所求梯形的面积就是(4.8+8)×8÷2=51.2平方厘米。
练习4:
1.如下图,正方形ABCD中,AB=4厘米,EC=10厘米,求阴影部分的面积。
2.在一个直角三角形铁皮上剪下一块正方形,并使正方形面积尽可能大,正方形的面积是多少?
(单位:
厘米)
3.图中BC=10厘米,EC=8厘米,且阴影部分面积比三角形EFG的面积大10平方厘米。
求平行四边形的面积。
【例题5】图中ABCD是长方形,三角形EFD的面积比三角形ABF的面积大6平方厘米,求ED的长。
【思路导航】因为三角形EFD的面积比三角形ABF的面积大6平方厘米,所以,三角形BCE的面积比长方形ABCD的面积大6平方厘米。
三角形BCE的面积是6×4+6=30平方厘米,EC的长则是30×2÷6=10厘米。
因此,ED的长是10-4=6厘米。
练习5:
1.如图,平行四边形BCEF中,BC=8厘米,直角三角形中,AC=10厘米,阴影部分面积比三角形ADH的面积大8平方厘米。
求AH长多少厘米?
2.图中三个正方形的边长分别是1厘米、2厘米和3厘米,求图中阴影部分的面积。
3.正方形的边长是2(a+b),已知图中阴影部分B的面积是7平方厘米,求阴影部分A和C的和是多少平方厘米?
组合图形的面积
(二)
一、知识要点
在组合图形中,三角形的面积出现的机会很多,解题时我们还可以记住下面三点:
1.两个三角形等底、等高,其面积相等;
2.两个三角形底相等,高成倍数关系,面积也成倍数关系;
3.两个三角形高相等,底成倍数关系,面积也成倍数关系。
二、精讲精练
【例题1】如图,ABCD是直角梯形,求阴影部分的面积和。
(单位:
厘米)
【思路导航】按照一般解法,首先要求出梯形的面积,然后减去空白部分的面积即得所求面积。
其实,只要连接AC,显然三角形AEC与三角形DEC同底等高其面积相等,这样,我们把两个阴影部分合成了一个三角形ABC。
面积是:
6×3÷2=9平方厘米。
练习1:
1.求下图中阴影部分的面积。
2.求图中阴影部分的面积。
(单位:
厘米)
3.下图的长方形是一块草坪,中间有两条宽1米的走道,求植草的面积。
【例题2】下图中,边长为10和15的两个正方体并放在一起,求三角形ABC(阴影部分)的面积。
【思路导航】三角形ADC的面积是10×15÷2=75,而三角形ABC的高是三角形BCD高的15÷10=1.5倍,它们都以BC为边为底,所以,三角形ABC的面积是三角形BCD的1.5倍。
阴影部分的面积是:
7.5÷(1+1.5)×1.5=45。
练习2:
1.下图中,三角形ABC的面积是36平方厘米,三角形ABE与三角形AEC的面积相等,如果AB=9厘米,FB=FE,求三角形AFE的面积。
2.图中两个正方形的边长分别是10厘米和6厘米,求阴影部分的面积。
3.图中三角形ABC的面积是36平方厘米,AC长8厘米,DE长3厘米,求阴影部分的面积(ADFC不是正方形)。
【例题3】两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形。
已知两个三角形的面积(如图所示),求另两个三角形的面积各是多少?
(单位:
平方厘米)
【思路导航】1.因为三角形ABD与三角形ACD等底等高,所以面积相等。
因此,三角形ABO的面积和三角形DOC的面积相等,也是6平方厘米。
2.因为三角形BOC的面积是三角形DOC面积的2倍,所以BO的长度是OD的2倍,即三角形ABO的面积也是三角形AOD的2倍。
所以,三角形AOD的面积是6÷2=3平方厘米。
练习3:
1.如下图,图中BO=2DO,阴影部分的面积是4平方厘米,求梯形ABCD的面积是多少平方厘米?
2.下图的梯形ABCD中,下底是上底的2倍,E是AB的中点。
那么梯形ABCD的面积是三角形BDE面积的多少倍?
3.下图梯形ABCD中,AD=7厘米,BC=12厘米,梯形高8厘米,求三角形BOC的面积比三角形AOD的面积大多少平方厘米?
【例题4】在三角形ABC中,DC=2BD,CE=3AE,阴影部分的面积是20平方厘米,求三角形ABC的面积。
【思路导航】
(1)因为CE=3AE,所以,三角形ADC的面积是三角形ADE面积的4倍,是20×(1+3)=80平方厘为;
(2)又因为DC=2BD,所以,三角形ABD的面积是三角形ADC面积的一半,是80÷2=40平方厘米。
因此,三角形ABC的面积是80+40=120平方厘主。
练习4:
1.把下图三角形的底边BC四等分,在下面括号里填上“>”、“<”或“=”。
甲的面积()乙的面积。
2.如图,在三角形ABC中,D是BC的中点,E、F是AC的三等分点。
已知三角形的面积是108平方厘米,求三角形CDE的面积。
3.下图中,BD=2厘米,DE=4厘米,EC=2厘米,F是AE的中点,三角形ABC的BC边上的高是4厘米,阴影面积是多少平方厘米?
【例题5】边长是9厘米的正三角形的面积是边长为3厘米的正三角形面积的多少倍?
【思路导航】题中的已知条件不能计算出两种三角形的面积,我们可以用边长是3厘米的正三角形拼一个边长是9厘米的正三角形,从而看出它们之间的倍数关系。
从下图中可以看出:
边长9厘米的正三角形是边长3厘米的正三角形面积的9倍。
练习5:
1.边长是8厘米的正三角形的面积是边长为2厘米的正三角形面积的多少倍?
2.一个梯形与一个三角形等高,梯形下底的长是上底的2倍,梯形上底的长又是三角形底长的2倍。
这个梯形的面积是三角形面积的多少倍?
3.有两种自然的放法将正方形内接于等腰直角三角形。
已知等腰直角三角形的面积是36平方厘米,两个正方形的面积分别是多少?
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