13 简单的逻辑联结词全称量词与存在量词.docx
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13简单的逻辑联结词全称量词与存在量词
§1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
1.命题p∧q,p∨q,綈p的真假关系表
p
q
p∧q
p∨q
綈p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
2.全称量词和存在量词
量词名称
常见量词
表示符号
全称量词
所有、一切、任意、全部、每一个、任给等
∀
存在量词
存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等
∃
3.全称命题和特称命题
命题名称
命题结构
命题简记
全称命题
对M中任意一个x,有p(x)成立
∀x∈M,p(x)
特称命题
存在M中的一个x0,使p(x0)成立
∃x0∈M,p(x0)
4.含有一个量词的命题的否定
命题
命题的否定
∀x∈M,p(x)
∃x0∈M,綈p(x0)
∃x0∈M,p(x0)
∀x∈M,綈p(x)
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)命题p∧q为假命题,则命题p、q都是假命题.( × )
(2)已知命题p:
∃n0∈N,
>1000,则綈p:
∃n∈N,
≤1000.( × )
(3)命题p和綈p不可能都是真命题.( √ )
(4)命题“∀x∈R,x2≥0”的否定是“∀x∈R,x2<0”.( × )
(5)“有些偶数能被3整除”的否定是“所有的偶数都不能被3整除”.( √ )
(6)命题“∃x0∈R,
≤0”是假命题.( √ )
1.命题p:
∀x∈R,sinx<1;命题q:
∃x∈R,cosx≤-1,则下列结论是真命题的是( )
A.p∧qB.綈p∧q
C.p∨綈qD.綈p∧綈q
答案 B
解析 ∵p是假命题,q是真命题,
∴綈p∧q是真命题.
2.(2013·重庆)命题“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为( )
A.对任意x∈R,都有x2<0
B.不存在x∈R,使得x2<0
C.存在x0∈R,使得x
≥0
D.存在x0∈R,使得x
<0
答案 D
解析 因为“∀x∈M,p(x)”的否定是“∃x0∈M,綈p(x0)”,故“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定是“存在x0∈R,使得x
<0”.
3.(2014·重庆)已知命题
p:
对任意x∈R,总有2x>0;
q:
“x>1”是“x>2”的充分不必要条件.
则下列命题为真命题的是( )
A.p∧qB.綈p∧綈q
C.綈p∧qD.p∧綈q
答案 D
解析 因为指数函数的值域为(0,+∞),所以对任意x∈R,y=2x>0恒成立,故p为真命题;因为当x>1时,x>2不一定成立,反之当x>2时,一定有x>1成立,故“x>1”是“x>2”的必要不充分条件,故q为假命题,则p∧q、綈p为假命题,綈q为真命题,綈p∧綈q、綈p∧q为假命题,p∧綈q为真命题,故选D.
4.若命题“∃x∈R,x2-mx-m<0”是假命题,则实数m的取值范围是________.
答案 [-4,0]
解析 “∃x∈R,x2-mx-m<0”是假命题,则“∀x∈R,x2-mx-m≥0”是真命题.即Δ=m2+4m≤0,
∴-4≤m≤0.
题型一 含有逻辑联结词命题的真假判断
例1
(1)命题p:
将函数y=sin2x的图象向右平移
个单位得到函数y=sin
的图象;命题q:
函数y=sin
cos
的最小正周期为π,则命题“p∨q”“p∧q”“綈p”中真命题的个数是( )
A.1B.2C.3D.0
(2)已知命题p:
若a>1,则ax>logax恒成立;命题q:
在等差数列{an}中,m+n=p+q是an+am=ap+aq的充分不必要条件(m,n,p,q∈N*).则下面选项中真命题是( )
A.(綈p)∧(綈q)B.(綈p)∨(綈q)
C.p∨(綈q)D.p∧q
答案
(1)B
(2)B
解析
(1)函数y=sin2x的图象向右平移
个单位后,
所得函数为y=sin
=sin
,
∴命题p是假命题.
又y=sin
cos
=sin
cos
=sin2
=
-
cos
,
∴其最小正周期为T=
=π,
∴命题q真.
由此,可判断命题“p∨q”真,“p∧q”假,“綈p”为真.
所以真命题的个数是2.
(2)当a=1.1,x=2时,
ax=1.12=1.21,logax=log1.12>log1.11.21=2,
此时,ax 命题q,由等差数列的性质, 当m+n=p+q时,an+am=ap+aq成立, 当公差d=0时,由am+an=ap+aq不能推出m+n=p+q成立,故q是真命题. 故綈p是真命题,綈q是假命题, 所以p∧q为假命题,p∨(綈q)为假命题,(綈p)∧(綈q)为假命题,(綈p)∨(綈q)为真命题. 思维升华 “p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤: (1)确定命题的构成形式; (2)判断其中命题p、q的真假; (3)确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假. (1)(2014·湖南)已知命题p: 若x>y,则-x<-y;命题q: 若x>y,则x2>y2.在命题①p∧q;②p∨q;③p∧(綈q);④(綈p)∨q中,真命题是( ) A.①③B.①④ C.②③D.②④ (2)“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的________条件. 答案 (1)C (2)必要不充分 解析 (1)当x>y时,-x<-y,故命题p为真命题,从而綈p为假命题. 当x>y时,x2>y2不一定成立,故命题q为假命题,从而綈q为真命题. 由真值表知,①p∧q为假命题;②p∨q为真命题;③p∧(綈q)为真命题;④(綈p)∨q为假命题.故选C. (2)若命题“p或q”为真命题,则p、q中至少有一个为真命题. 若命题“p且q”为真命题,则p、q都为真命题, 因此“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的必要不充分条件. 题型二 含有一个量词的命题的真假判断与否定 例2 (1)下列命题中的假命题是( ) A.∃x∈R,lnx=0B.∃x∈R,tanx= C.∀x∈R,x2>0D.∀x∈R,3x>0 (2)(2013·四川)设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p: ∀x∈A,2x∈B,则( ) A.綈p: ∀x∈A,2x∉B B.綈p: ∀x∉A,2x∉B C.綈p: ∃x∉A,2x∈B D.綈p: ∃x∈A,2x∉B 思维点拨 含一个量词的命题的否定要改变量词,并对结论进行否定. 答案 (1)C (2)D 解析 (1)当x=1时,lnx=0,所以排除A;因为y=tanx∈R,所以命题“∃x∈R,tanx= ”为真命题,所以排除B;命题“∀x∈R,3x>0”为真命题,所以排除D.应选C. (2)命题p: ∀x∈A,2x∈B是一个全称命题,其命题的否定綈p应为∃x∈A,2x∉B,选D. 思维升华 (1)判定全称命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每个元素x,证明p(x)成立;要判断特称命题是真命题,只要在限定集合内至少找到一个x=x0,使p(x0)成立. (2)对全(特)称命题进行否定的方法 ①找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义先加上量词,再改变量词. ②对原命题的结论进行否定. (1)下列命题中的真命题是( ) A.∃x∈R,使得sinx+cosx= B.∀x∈(0,+∞),ex>x+1 C.∃x∈(-∞,0),2x<3x D.∀x∈(0,π),sinx>cosx (2)命题“存在实数x,使x>1”的否定是( ) A.对任意实数x,都有x>1 B.不存在实数x,使x≤1 C.对任意实数x,都有x≤1 D.存在实数x,使x≤1 答案 (1)B (2)C 解析 (1)因为sinx+cosx= sin(x+ )≤ < ,故A错误;当x<0时,y=2x的图象在y=3x的图象上方,故C错误;因为x∈(0, )时有sinx (2)利用特称命题的否定是全称命题求解. “存在实数x,使x>1”的否定是“对任意实数x,都有x≤1”.故选C. 题型三 逻辑联结词与命题真假的应用 例3 (1)设p: 关于x的不等式ax>1的解集是{x|x<0};q: 函数y= 的定义域为R.若p∨q是真命题,p∧q是假命题,则实数a的取值范围是________________. (2)已知命题p: “∀x∈[0,1],a≥ex”;命题q: “∃x∈R,使得x2+4x+a=0”.若命题“p∧q”是真命题,则实数a的取值范围是__________. 答案 (1) ∪[1,+∞) (2)[e,4] 解析 (1)根据指数函数的单调性,可知命题p为真命题时,实数a的取值集合为P={a|0 对于命题q: 函数的定义域为R的充要条件是ax2-x+a≥0恒成立. 当a=0时,不等式为-x≥0,解得x≤0,显然不成立; 当a≠0时,不等式恒成立的条件是 ,解得a≥ . 所以命题q为真命题时,a的取值集合为Q={a|a≥ }. 由“p∨q是真命题,p∧q是假命题”,可知命题p,q一真一假, 当p真q假时,a的取值范围是P∩(∁RQ)={a|0
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