高考数学中的内切球和外接球问题.docx
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高考数学中的内切球和外接球问题
高考数学中的内切球和外接球问题
一、有关外接球的问题一、直接法(公式法)
1、求正方体的外接球的有关问题
例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为.
例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上,若该正方体的表面积为24,则该球的体积为.
2、求长方体的外接球的有关问题
例3一个长方体的各顶点均在同一球面上,且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3,则此球的表面积为.
例4已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积为().
A.16B.20C.24D.32
3.求多面体的外接球的有关问题
例5一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为9,底面
8
周长为3,则这个球的体积为.
解设正六棱柱的底面边长为x,高为h,则有
⎧6x=3
⎪
⎧h=3
⎪
⎨9=6⨯3x2h⎨x=1
⎪⎩84⎩⎪2
∴正六棱柱的底面圆的半径r=1,球心到底面的距离d=
2
3.∴
2
外接球的半径R=
.体积:
V=4R3.
r2+d2
3
小结本题是运用公式R2=r2+d2求球的半径的,该公式是求球
的半径的常用公式.
二、构造法(补形法)
1、构造正方体
例5若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长均为3,则其外
接球的表面积是.
例3若三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为3,则其
外接球的表面积是.
故其外接球的表面积S=4r2=9.
小结:
一般地,若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直,且其长度分别为a,b,c,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体,于是长方体
的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为
a2+b2+c2
R,则有2R=
长方体。
.出现“墙角”结构利用补形知识,联系
【原理】:
长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为a,b,c,
a2+b2+c2
则体对角线长为l=,几何体的外接球直径为2R体对角线
a2+b2+c2
长
l即R=
2
练习:
在四面体ABCD中,共顶点的三条棱两两垂直,其长度分别为
1,6,3,若该四面体的四个顶点在一个球面上,求这个球的表
面积。
球的表面积为S=4R2=16
例6一个四面体的所有棱长都为2,四个顶点在同一球面上,则此
球的表面积为()
A.3
B.
4
C.33
D.6
例7已知球O的面上四点A、B、C、D,DA⊥平面ABC,AB⊥BC,
DA=AB=BC=3,则球O的体积等于.
解析:
本题同样用一般方法时,需要找出球心,求出球的半径.而利用长方体模型很快便可找到球的直径,由于DA⊥平面ABC,AB⊥BC
,联想长方体中的相应线段关系,构造如图4所示的长方体,又因
为DA=AB=BC=3,则此长方体为正方体,所以CD长即为外接球
的直径,利用直角三角形解出CD=3.故球O的体积等于9.(如图
2
A
B
O
4)
D
A
O
C
D
BC图5
2、例8已知点A、B、C、D在同一个球面上,AB⊥平面BCD,
DC⊥BC,若AB=6,AC=213,AD=8,则球的体积是
解析:
首先可联想到例7,构造下面的长方体,于是AD为球的直径,O为球心,OB=OC=4为半径,要求B、C两点间的球面距
离,只要求出∠BOC即可,在Rt∆ABC中,求出BC=4,所以
∠BOC=60,故B、C两点间的球面距离是4.(如图5)
3
本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。
三.多面体几何性质法
例.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是
A.16
B.20
C.24
D.32.
小结:
本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.
四.寻求轴截面圆半径法
例正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为2,点
S,A,B,C,D都在同一球面上,则此球的体积为
S
解:
设正四棱锥的底面中心为O1,外接球的球心为O
,如图1所示.∴由球的截面的性质,可得DC
OO1⊥平面ABCD.
又SO1⊥平面ABCD,∴球心O必在SO1所在的直线上.
O1
A图3B
∴∆ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆,外接圆的半径就
是外接球的半径.
在∆ASC中,由SA=SC=2,AC=2,得SA2+SC2=AC2,
∴∆ASC是以AC为斜边的直角三角形.
∴AC=1是外接圆的半径,也是外接球的半径.故V=4.
2球3
五.确定球心位置法
例5在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿AC将矩形
A
O
C
D
ABCD折成一个直二面角B-AC-D,则四面体ABCD的外接
球的体积为
A.512
B.
59
C.
56
D.
53
图4B
解:
设矩形对角线的交点为O,则由矩形对角线互相平
分,可知OA=OB=OC=OD.∴点O到四面体的四个顶点A,B,C,D的距
离相等,即点O为四面体的外接球的球心,如图2所示.∴外接球的
半径R=OA=5.故V=4R3=125.
2球36
出现两个垂直关系,利用直角三角形结论。
【原理】:
直角三角形斜边中线等于斜边一半。
球心为直角三角形斜边中点。
【例题】:
已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上,AB⊥BC且
PA=7,PB=5,PC=51,AC=10求球O的体积。
解:
AB⊥BC且PA=7,PB=5,PC=51,AC=10
因为72+(
51)2=102
所以知:
AC2+PA2=PC2
所以AP⊥PC所以可得图形为:
在Rt∆ABC中斜边为AC
在Rt∆APC中斜边为AC
取斜边的中点,
在Rt∆ABC中OA=OB=OC
在Rt∆APC中OP=OB=OC
所以在几何体中OP=OB=OC=OA,即为该四面体的外接球的球心
R=AC=5所以该外接球的体积为V=4R3=500
2球33
【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。
1.(陕西理•6)一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上,则该正三棱锥的体积是
()
A.33
4
3
12
B.3C.
3
3D.
4
答案B
2.直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都在同一球面上,若
AB=AC=AA1=2,∠BAC=120︒,则此球的表面积等于。
解:
在∆ABC中AB=AC=2,∠BAC=120︒,可得BC=23,由正弦定理,可得∆ABC
外接圆半径r=2,设此圆圆心为O',球心为O,在RT∆OBO'中,易得
球半径R=5,故此球的表面积为4R2=20.
3.正三棱柱ABC-A1B1C1内接于半径为2的球,若A,B两点的球面距离为,则正三棱柱的体积为.
答案8
4.
表面积为23的正八面体的各个顶点都在同一个球面上,则此球的体积为
A.2B.1C.2D.
333
22
3
答案A
3a2
【解析】此正八面体是每个面的边长均为a的正三角形,所以由
8⨯=23知,
4
a=1,则此球的直径为2,故选A。
5.已知正方体外接球的体积是32,那么正方体的棱长等于()
23
3
3
A.22B.
答案D
C.42D.
43
3
3
6.(山东卷)正方体的内切球与其外接球的体积之比为()
A.1∶3B.1∶3C.1∶33
D.1∶9
答案C
7.(海南、宁夏理科)一个六棱柱的底面是正六边
形,其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为9,底面周长为3,则这个球的体积为
8
.
答案43
8.(天津理•12)一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱
的长分别为1,2,3,则此球的表面积为.答案14π9.(全国Ⅱ理•15)一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。
如果正四棱柱的底面边长为1cm,那么该棱柱的表面积
为cm2.
答案2+42
10.(辽宁)如图,半径为2的半球内有一内接正六棱锥P-ABCDEF
,则此正六棱锥的侧面积是.
P
B
答案67CD
F
AE
11.棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个
球面上,若过该球球心的一个截面如图,则图中三角形(正四面体的截面)的面积是.
答案2
12.(枣庄一模)一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体外接球的表面积为()
A.3B.2
C.16D.以上都不对
3
答案C
3
2
13.设正方体的棱长为,则它的外接球的表面积为()
3
A.8
3
答案C
B.
2πC.4πD.43
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- 高考 数学 中的 内切球 外接 问题