六年级下册数学试题小升初数学第18讲浓度与经济问题含答案解析.docx
- 文档编号:9250584
- 上传时间:2023-05-17
- 格式:DOCX
- 页数:19
- 大小:45.30KB
六年级下册数学试题小升初数学第18讲浓度与经济问题含答案解析.docx
《六年级下册数学试题小升初数学第18讲浓度与经济问题含答案解析.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《六年级下册数学试题小升初数学第18讲浓度与经济问题含答案解析.docx(19页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
六年级下册数学试题小升初数学第18讲浓度与经济问题含答案解析
小升初数学第18讲浓度与经济问题
一、知识地图
1)浓度问题
a)浓度,溶液配比问题(溶质不变)
b)类浓度问题(溶剂不变)
c)两种不同浓度溶液混合
2)经济问题
a)经济问题的典型利用
i.求利润
ii.求成本
iii.求售价
b)经济问题的实际应用
i.利息问题
ii.税收问题
iii.保险问题
iv.折扣问题
v.水电费峰谷价问题
二、基础知识
(一)浓度问题
浓度问题是一种常见的百分数应用题。
在日常生活中,“水甜不甜?
”等这些问题都是有关浓度的问题。
糖水甜的程度是由糖与水两者量的比值所决定的。
若水的量一定,则含糖量越多,糖水就越甜。
这里的糖就是溶质,水就是溶剂,糖和水和在一起就是溶液,我们把糖与糖水的重量的比值称为糖水的浓度。
这三者的关系如下:
溶液的重量=溶质的重量+溶剂的重量
浓度=
溶质重量=溶液重量×浓度
溶液重量=溶质重量÷浓度
溶剂质量=溶液质量-溶质质量=溶液质量×(1-浓度)
浓度问题考察的比较多的是溶液的配比,解题时注意要抓住不变量,常用的一些解题方法有:
1.计算法:
一般为溶质不变,浓度不变等,进行计算;
2.列方程;抓住不变量,找出等量关系,列方程计算;
3.十字交叉:
适合两种不同浓度的溶液配比问题。
(二)经济问题
经济问题也是一种常见的百分数应用题。
商店出售商品,总是期望获得利润。
一般情况下,商品从厂家购进的价格称为成本(也叫进价),商家在定价的基础上提高价格出售,就会获得收入,收入比成本高的那部分就是利润,利润与收入之比称之为利润率,利润与成本之比为利润的百分数。
利润率通常用百分数来表示。
利润=售价-成本
售价=成本×(1+利润率)
商店有时为了尽快将商品出售,将商品打折出售来增加销量。
打八折就是原价的80%。
售价=原价×折扣
对于利息问题,是人们将钱存入银行,也就是本金,要按照国家规定的利率获得利息。
本金:
储蓄的金额。
利率:
利息和本金的比。
利息=本金×利率×期数
其它经济问题只要掌握数量关系,如:
上交税收=应纳税收入×税率;保险费=保险金额×保险费率×保险期限。
方法正确,计算认真准确就行了。
三、经典透析
【例1】(☆☆☆)现有浓度为16%的糖水40千克,要得到含盐20%的糖水,可采用什么方法?
审题要点:
原来糖水的浓度为16%,现在要将浓度变为20%,是将浓度变大,通常首先会想到往溶液中再加一下溶质。
其实,反过来可用“蒸发”的方法减少水的质量来达到目的。
若用加糖的方法,水的质量不变;若用蒸发的方法,糖的质量不变。
详解过程:
方法一:
采用加糖法,水的质量保持不变
原糖水中含水:
40×(1-16%)=33.6(克)也就是现在糖水中也是含水33.6克,
现在水的浓度就是(1-20%),
现在糖水的质量为:
33.6÷(1-20%)=42(克)
糖水增加的质量就是要加的糖的质量,所以要加糖:
42-40=2(克)
方法二:
采用蒸发法,糖的质量保持不变
原糖水中含糖:
40×16%=6.4(克),即为现在糖水中糖的质量
现在糖水中含糖20%,可求出现在糖水的质量:
6.4÷20%=32(克)
所以蒸发水:
40-32=8(克)
答:
可以加糖2克,或者蒸发8克水。
专家点评:
本题为典型的溶液混合题,只要抓住不变量,将混合前后各个量之间的关系联系起来。
有时候利用不同的不变量,会有不同的解法。
注意:
大家可以来思考一下如果想降低浓度是否也有两种方法呢?
【例2】(☆☆☆)甲种酒精纯酒精含量为72%,乙种酒精纯酒精含量为58%,混合后纯酒精含量为62%,如果每种酒精取的数量比原来多15升,混合后纯酒精含量为63.25%,问第一次混合时,甲、乙两种酒精各取了多少升?
审题要点:
这道题,我们可以把他看成一道分数百分数问题,首先选取单位“1”,但是注意,两次混合就要选取两次单位“1”,要对应联系起来,我们每次都选取乙为单位“1”
详解过程:
第一次混合时甲种酒精用量是乙种酒精用量的分率为:
(62%-58%)÷(72%-62%)=
;
第二次混合时甲种酒精用量是乙种酒精用量的分率(63.25%-58%)÷(72%-63.25%)=
根据量率对应的关系:
乙可取15÷[3÷(5-3)–2÷(5-2)]÷(1-
)=30(升)
甲可取30×
=12(升)。
我们在这里再向大家传授一种求浓度混合配比的妙招,可以采用“十字交叉相减”法,这个方法和杠杆原理很类似,大家想一下,两种浓度不同的溶液混合在一起,混合后的浓度一定在混合前两种溶液的浓度之间,比大的小,比小的大,并且接近质量多的溶液。
就好比大家小时候玩的“跷跷板”,如果跷跷板平衡的话,支点一定在两个人中间,并且支点与体重大的那个小朋友接近,我们就以这道题为例,具体解体方法如下:
混合前甲,乙溶液浓度:
甲乙
交叉相减求差:
62%-58%=4%72%-62%=10%
差的比值:
4%:
10%
甲,乙溶液质量的比值:
2:
5
第二次配比也是相同的方法
混合前甲,乙溶液浓度:
甲乙
交叉相减求差:
63.25%-58%=5.25%72%-63.25%=8.75%
差的比值:
5.25%:
8.75%
甲、乙溶液质量的比值:
3:
5
这样我们可以轻松的得到配比前两种溶液质量的比值,而不用经过烦琐的计算,既节约了时间,又减少了计算错误。
剩下的步骤就跟上题一样了。
专家点评:
溶液的配比问题可以抓住不变量,溶质不变,利用方程来解决,也可以利用“十字交叉”法来解决。
注意:
除了两种溶液配比外,稀释和加溶质也可以用“十字交叉相减”法,如果溶液加水,那么溶液就和0%的溶液来配比,如果单加溶质,就是溶液和100%的溶液来配比。
【例3】(☆☆☆)有甲、乙、丙三个容器,容量为1000毫升,甲容器的浓度为40%的糖水400毫升;乙容器有清水400毫升,丙容器中有浓度为20%的糖水400毫升,先把甲,丙两容器中的糖水各一半倒入乙容器搅匀后,再把乙容器中的糖水200毫升倒入甲容器,200毫升倒入丙容器,这时候甲、乙、丙容器中糖水的浓度各是多少?
审题要点:
对于涉及到多个变量反复操作的问题,我们采用列表处理的方法
详解过程:
列表如下
甲
浓度
溶液
开始
40%
400
第一次
40%
400-200=200
第二次
200+200=400
乙
浓度
溶液
开始
0
400
第一次
400+200+200=800
第二次
15%
800-200-200=400
丙
浓度
溶液
开始
20%
400
第一次
40%
400-200=200
第二次
200+200=400
答:
这时甲容器中糖水的浓度是27.5%,乙容器中糖水的浓度是15%,丙容器中糖水的浓度是17.5%。
专家点评:
在做有关浓度的应用题时,为了搞清楚溶质质量,溶液质量的变化,尤其是多次变化的,常用列表的方法,使它们之间的关系一目了然。
【例4】(☆☆☆)A、B、C三个试管中各盛有10g、20g、30g水,把某种浓度的糖水10g倒入A中,混合后取出10g倒入B中,再混合后又从B中取出10g倒入C中,现在C中糖水的浓度是0.5%,最早倒入A中的糖水浓度是多少?
审题要点:
可用倒推法的思想,先求出现在C管中糖的质量,又因为C中原来只有30g
水,所以它的糖是从B管取出的10g糖水中来的,由此可求出此前B管中糖的质量。
而B
管中的糖又是从A管中取出的10g糖水中来的,由此可求出A管里20g糖水中糖的质量,即所求糖水中的糖。
详解过程:
方法1:
现在C管中的糖的质量为(30+10)×0.5%=40×0.5%=0.2(g)
则此前B管中糖的质量为:
0.2÷10×(20+10)=0.6(g)
则此前A管中糖的质量为0.6÷10×(10+10)=1.2(g),
最早到入A中的糖水浓度是12%。
方法2:
设最早倒入A中糖水浓度为x,则A中糖水的浓度为10x÷(10+10)=0.5x,
B中糖水的浓度为
=
x
C中糖水的浓度为
=
x
所以
x=0.5%
x=12%。
答:
最早倒入A中糖水的浓度为12%。
专家点评:
要想在解题过程中分清变化前后谁变了,谁没变,紧紧抓住不变量是突破口。
用倒推法能让思路清晰,避免纠缠于中间的变化过程。
【例5】(☆☆☆)某商店到水果产地去收购橘子,收购价为每千克1.20元。
从产地到商店的距离是400千米,运费为每吨货物每运1千米收1.50元。
如果在运输及销售过程中的损耗是10%,商店要想实现25%的利润率,零售价应是每千克多少元?
审题要点:
本题是一道基本的利润问题,其成本包括收购价、运费、损耗三部分。
详解过程:
每千克的收购价为1.20元,每千克的运费是1.50×400÷1000=0.60(元)。
因为有10%的损耗,所以每千克的成本为(1.20+0.60)÷(1-10%)=2.00(元)。
商店想每千克实现25%的利润率。
因为:
售价=成本×(1+利润率)
所以:
售出价=成本×(利润率+1)
=2.00×(25%+1)
=2.50(元),
即零售价应是每千克2.50元。
专家点评:
本题的关键是搞清楚成本、利润、售价、利润率这几个量的概念以及它们之间的关系。
【例6】(☆☆☆)某商场在迎奥运展销期间,将一批电视机降价出售。
如果打九折出售,可盈利215元;如果打八折出售,亏损125元。
此电视机的购入价是多少元?
审题要点:
第二种方法比第一种多降了定价的20%-10%=10%,而导致第二种方法比第一种少卖了215+125=340元。
说明定价的10%就是340元。
可以求出定价,也可以求出成本。
详解过程:
电视机的定价为:
(215+125)÷(20%-10%)=3400(元)
那么该电视机的购入价为:
3400×(1-10%)-215=2845(元)
答:
此电视机的购入价是2845元。
专家点评:
本题为折扣问题,是百分数的典型应用。
注意折扣的单位“1”和利润率的单位“1”不同,折扣的单位“1”为原价(定价),利润率的单位“1”为成本,注意区分和转化。
【例7】(☆☆☆☆)甲、乙二人原有钱数相同,存入银行,第一年的利息为4%,存入一年后利息降至2%,甲将本钱和利息继续存入银行,而乙将一半本钱投资股市及房地产,获利20%,一年后,甲比乙赚到的钱的一半还少144元,则甲原来有多少元?
审题要点:
本题为利息问题,本金×(1+利息×期数)=本息
详解过程:
设甲和乙原有钱数都是x。
甲在银行存了两年,第一年利息为4%,钱变成了x(1+4%),接着再存了一年,第二年利息是2%,本息和为x(1+4%)(1+2%),两年赚的钱为:
x(1+4%)(1+2%)-x=0.0608x;
乙先将所有的钱在银行存了一年,本息和为x(1+4%),第二年将一半本息接着存入银行,一半本钱投入股市,存入银行的一年后本息和为
x(1+4%)(1+2%),投入股市的钱一年后收入为
x(1+20%),乙两年赚的钱为:
x(1+4%)+
x(1+4%)(1+2%)+
x(1+20%)-x=0.1504x。
已知甲赚的比乙的一半还少144元,于是得到(144+0.0608x)×2=0.1504x,
容易解得x=10000元。
答:
甲原来有10000元。
专家点评:
本题考察的是利息问题和利润问题的综合求解。
此题中一般同学在计算本息和时喜欢写成x+x×4%,这种写法不好,最好写成x(1+4%),这样后面的也可以直接写为x(1+4%)(1+2%)了,若写成第一种情况化简起来就会很麻烦。
在计算所有增加或者减少分率时都应该这样处理,一般公式为单位“1”×(1±增加或减少分率)
【例8】(☆☆☆)国家规定个人发表文章,出版图书获得稿费的计算方法是:
①稿费不高于800元的不纳税;②稿费高于800元又不高于4000元的应缴纳超过800元的那一部分的14%的税;③稿费高于4000元的应缴纳全部稿费的11%的税。
今得知丁老师获得一笔稿费,并且依法缴纳个人所得税420元,问丁老师这笔稿费是多少元?
又得知马老师获得一笔稿费,并且依法缴纳个人所得税550元,问马老师这笔稿费是多少元?
审题要点:
先估计这笔稿费大致有多少元?
属于哪个档次?
再进行计算
详解过程:
第一档的不纳税,第二档的要纳税(4000-800)×14%=448(元)
说明丁老师稿费低于4000元。
丁老师的稿费为:
420÷14%+800=3800(元)。
马老师的所得税高于440元,应该用第三档的来计算。
马老师的稿费为:
550÷11%=5000(元)。
答:
丁老师的稿费为3800元,马老师的稿费为5000元。
专家点评:
先估算看属于哪一档的,再进行计算。
注意:
这种问题还有类似的,除了个人所得税问题,还有水电费问题等。
【例9】(☆☆☆☆)小刚家去年参加了家庭财产保险,保险金额是20000元,每年的保险费是保险金额的0.3%。
其家中被盗,丢失了一台彩色电视机和一辆自行车,保险公司赔偿了2940元。
已知电视机的价格正好是自行车价格的7倍。
如果要购买与原价相同的电视机和自行车,那么加上已交的保险费,小刚家需比原来多花费400元。
电视机和自行车原价各多少元?
审题要点:
保险问题,计算方法类似于利润问题,但要注意保险费是属于成本。
保险费=保险金额×保险费率
详解过程:
小刚家的保险金额是20000元,保险费是保险金额的0.3%,那么要交纳的保险费就是20000×0.3%=60(元)。
由于家中被盗,保险公司赔偿了2940元,相当于从保险公司那里得到:
2940-60=2880(元)。
而自行车和电视机的价格是:
2880+400=3280(元),电视机的价格是自行车的7倍,根据和倍的原理,可以得到自行车的原价是:
3280÷(7+1)=410(元)。
电视机的原价是:
410×7=2870(元)。
专家点评:
保险问题其实和利润问题与利息问题实质相同。
四、拓展训练
1.甲容器有纯酒精11升,乙容器有水15升。
第一次将甲容器中一部分纯酒精倒入乙容器,使酒精和水混合。
第二次将乙容器中的一部分混合液倒入甲容器中,这样甲容器中的纯酒精含量为62.5%,乙容器中纯酒精含量是25%。
那么,第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是多少升?
初级点拨:
本题涉及到两次混合,只要抓住混合后,谁变了谁没变,紧紧抓住不变量。
深度提示:
由题意可知,第一次混合后,乙容器中的溶剂没有变,而第二次混合,就是将甲容器里的纯酒精,由100%的浓度稀释到62.5%,而稀释液就是第一次混合后的乙溶液。
全解过程:
第一次甲容器倒入一部分酒精到乙容器后,乙容器中的纯酒精含量就是25%。
这样第一次从甲容器倒入乙容器的纯酒精是:
15÷(1-25%)-15=5(升);
甲容器中还剩下6升,乙容器中有20升含量为25%的酒精混合液。
可以列方程来解,设第二次从乙容器中倒入甲容器x升。
(6+x×25%)=62.5%×(6+x)
x=6。
也可以用“十字交叉相减”法来做:
混合前甲、乙溶液浓度甲乙
交叉相减求差:
62.5%-25%=37.5%100%-62.5%=37.5%
差的比值37.5%:
37.5%
甲、乙溶液质量的比值1:
1
答:
第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是6升。
2.有甲、乙两个同样的杯子,甲杯中有半杯清水,乙杯中盛满了含50%酒精的液体。
先将乙杯的一半倒入甲杯,搅匀后,再将甲杯中酒精溶液的一半倒入乙杯。
问这时乙杯中酒精溶液的浓度是多少?
初级点拨:
多次混合,用列表法可以使思路比较清晰。
深度提示:
紧紧抓住浓度的变化,搞清楚溶质质量、溶液质量的变化,将整个过程联系起来。
全解过程:
,所以要搞清楚溶质质量、溶液质量的变化,列表使思路比较清晰。
甲
乙
溶质
溶液
溶质
溶液
开始
0
1×50%=
1
第一次
×
=
1
×
=
第二次
1
所以这时乙杯中的浓度为:
。
答:
这是乙杯中酒精溶液的浓度是37.5%。
3.将25g白糖放入空杯中,倒入100g白开水充分搅拌后,喝去一半糖水,又加入36g白开水,如果要使杯中的糖水和原来一样甜,需要加入多少白糖?
初级点拨:
抓住主线,从简单入手,切忌复杂化。
深度提示:
要想杯中糖水一样甜,那就说明浓度相同,也就是说明糖和水的比例相同,可以利用浓度相同这个等量关系来列方程,也可以用比例相同这个等量关系来求解。
全解过程:
法1)设需要加入xg白糖,则
,解得x=9。
法2)设需要加入糖x克,则
,解得x=9。
抓住主线,只看结果,明显比法一要简单的多。
答:
需要9克白糖。
4。
A、B、C三瓶糖水的浓度分别为20%,18%,16%,它们混合后得到100g浓度为18.8%的糖水,如果B瓶糖水比C瓶糖水多30g,那么A瓶糖水有多少克?
初级点拨:
三种溶液混合在一起,混合前溶质的质量和还是等于混合后溶质的质量和。
深度提示:
三瓶糖水的浓度都是已知的,并且知道B瓶比C瓶多30克,可以假设C瓶为x克,那么B瓶为(x+30)克,A瓶糖水为:
100-(x+x+30)=70-2x克,利用混合前后溶质相等这个等量关系来解题。
全解过程:
设C瓶糖水有x克,则B瓶糖水为x+30克,A瓶糖水为100-(x+x+30)=70-2x,
(70-2x)×20%+(x+30)×18%+x×16%=100×18.8%,整理得0.06x=0.6,解得x=10,所以A瓶糖水为:
70-2×10=50(g)
答:
A瓶糖水有50克。
5.某容器中装有糖水。
老师让小强再倒入5%的糖水800克,以配成20%的糖水。
但小强却错误地倒入了800克水,老师发现后说,不要紧,你再将第三种糖水400克倒入容器,就可得到20%的糖水了。
那么第三种糖水的浓度是百分之几?
初级点拨:
抓住主线,多次混合,抓住不变量,找好等量关系,那就是最后浓度不变。
深度提示:
老师让小强往容器中倒入5%的糖水800克配成20%的糖水,这800克糖水中应该含糖800×5%=40克,而小强倒入容器里的却是水,没有溶质,这样就少了40克糖,而多了40克水,这样将第三种糖水倒入容器的时候就应该多倒40克糖,少倒40克水。
全解过程:
第一次少倒糖800×5%=40(克)
第二次为了补上第一次少倒的糖,应该倒入糖400×20%+40=120(克)
所以,第二次倒入糖水浓度为120÷400=30%。
答:
第三种糖水的浓度是30%。
6.某家商店决定将一批橘子的价格降到原价的70%卖出,这样所得利润就只有原计划的
,已知这批橘子的进价是每千克6元6角,原计划可获利润2700元,那么这批橘子共有多少千克?
初级点拨:
本题关键是搞清楚利润、成本和售价之间的关系,以及各个量之间的关系。
深度提示:
原定价格的(1-70%),也就是少卖的那部分,就相当于少得的那部分利润,也就是原计划利润的(1-
),然后找出原定价格、利润、成本之间的关系就可以了。
全解过程:
所以原计划的利润相当于原定价格的(1-70%)÷(1-
)=45%,所以这批橘子的进价相当于原定价格的1-45%=55%,那么原定的价格就是每千克6.6÷55%=12元,原计划利润就是每千克12-6.6=5.4元,这样就可以求出这批橘子共有2700÷5.4=500千克。
7.某银行定期储蓄的种类和利率如下图所示,假如你有1000元钱,想存4年,那么你最多可以得到多少元利息。
(注意:
存款到期后取出后可连本带息一起再存,不考虑利息税。
)
存期(年)
年利率
到期利率
1
0.1098
0.1098
2
0.1170
0.2340
3
0.1224
0.3672
初级点拨:
本题考察的是利息问题,只要搞清楚本金,利率和利息之间的关系即可。
深度提示:
根据乘法交换律可知,存期排列顺序与利息无关。
故只有4种存法:
①四次一年期②两次一年期③一次一年期,一次三年期④两次两年期,然后计算看哪种存法所得利息最多。
注意到(1+0.1098)×(1+0.1098)≈1.2317<1+0.2340,即连续存两次一年期的收益小于存一次两年期的收益,而存法1和存法2都有连续存两次1年期,因此1,2两种存法不如4合算。
全解过程:
存法3能获利1.1098×1.3672-1=0.517319,
存法4能获利1.234×1.234-1=0.522756。
故存法4获得最大利,将得到利息1000×0.522756=522.76元。
注意:
上面两题关于利息的题还没计算利息税,根据国家法律规定,利息必须缴纳5%的利息率,由银行代扣,实际只能从银行取得95%的利息。
考虑纳税的话计算更加复杂些。
8.商品甲的成本是定价的80%;商品乙的定价是275元,成本是220元。
现在商店把1件商品甲,与2件商品乙配套出售,并且按它们的定价之和的90%作价出售。
这样每套可获得利润80元。
商品甲的成本是多少元?
初级点拨:
最终的售价是打折后的价格。
深度提示:
甲的成本是定价的80%,那定价就是成本的1÷80%=125%,1件商品甲与2件商品乙配套捆绑出售,并且都以90%出售,每套所获得的80元利润里包括一件甲的利润和2件乙的利润,然后根据利润关系就可求得甲的成本。
全解过程:
甲的利润率为1÷80%×90%-1=12.5%;
每件商品乙获得的利润为:
275×90%-220=27.5(元);
每件商品甲获得的利润为:
80-27.5×2=25(元);
商品甲的成本为:
25÷12.5%=200(元)。
答:
商品甲的成本为200元。
9.《中华人民共和国个人所得税法》规定,公民全月工资、薪金所得不超过1600元的部分不必纳税,超过1600元的部分为全月应纳税所得额,此项税款按下表分段累进计算。
全月应纳税所得额
税率
不超过500元部分
5%
超过500元至2000元部分
10%
超过2000元至5000元部分
15%
……
……
某人一月份应交纳税款150元,则他的当月工资薪金所得为多少元?
初级点拨:
本题为典型的税收问题,要根据题意确定计算方法和过程。
深度提示:
先看所交税款属于哪一挡?
第一档最多交:
500×5%=25元,第二档最多交(2000-500)×10%+25=175元;第三档……此人所交税款明显属于第二档,可以按第二档税率进行计算。
全解过程:
因为25<150<175,所以此人工资属于第二档,500-2000元之内部分应该交税款:
150-500×5%=125(元),500元以上工资数额为:
125÷10%=1250(元),所以工资总数为:
1600+500+1250=3350(元)。
答:
他当月工资薪金为3350元。
10.某衬衫专卖店经销的男士衬衫,按价格从低到高分为A、B、C、D、E、F、G、H共8个档次,A档次的衬衫每天可卖出120件,每件可获利润50元。
每高一个档次,卖出一件可增加利润10元,但是每高一个档次,这种档次的衬衫每天比低一档的衬衫少卖出8件。
(1)在这8个档次的衬衫当中,卖哪个档次的所获得的利润最大?
(2)卖出这种档次的衬衫一天所获得的最大利润是多少?
初级点拨:
本题可列表解答。
或者运用求最大值的一个结论解答
深度提示:
卖第一档的可获得最高利润为:
50×120=(40+10×1)×(128-8×1);
卖第二档可得利润为:
(40+10×2)×(128-8×2
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 六年级下册数学试题小升初数学第18讲 浓度与经济问题含答案解析 六年级 下册 数学试题 小升初 数学 18 浓度 经济问题 答案 解析
![提示](https://static.bingdoc.com/images/bang_tan.gif)