极坐标与参数方程取值范围问题.docx
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极坐标与参数方程取值范围问题
极坐标与参数方程取值范围问题
.解答题(共12小题)
1.已知曲线Ci的极坐标方程为P
COS20=8曲线Q的极坐标方程为9占,曲
6
线Ci、C2相交于A、B两点.(p€R)
(I)求A、B两点的极坐标;
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,并指出曲线是什么曲线;
(2)若直线l与曲线C交于A、B两点,求|AB|.
(I)求曲线C普通方程;
(I)求圆锥曲线C和直线的直角坐标方程;
(n)若直线与圆锥曲线C交于M,N两点,求|FiM||FiN|.
与曲线C2交于点
(I)求曲线C1,C2的方程;
(n)若点A(pi,B),B(P2,
9』)在曲线C1上,求fy的值.
6.在直角坐标系xOy中,以原点系,已知圆C的圆心的极坐标为(血,
2P1PI
O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标
—),半径r迈,点P的极坐标为(2,4
n,过P作直线I交圆C于A,B两点.
(1)求圆C的直角坐标方程;
(2)求|PAllPB|的值.
y=sinQ
以O为原点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2的极坐标方程为P=6cos,0射线为0=a与C1的交点为A,与C2除极点外的一个交点为B.当a=0寸,|AB|=4.
(1)求G,C2的直角坐标方程;
点为E,求|BD|+|BE|.
&极坐标系中,圆C方程P2sin0A({5,2n),以极点作为直角坐
标系的原点,极轴作为x轴的正半轴,建立直角坐标系,并在两种坐标系中取相同的长度单位.
(I)求圆C在直角坐标系中的标准方程;
(n)设P为圆C上的任意一点,圆心C为线段AB中点,求|PAllPB|的最大值.
9.(选修4-4:
极坐标系与参数方程)
极坐标系中,求圆p=上的点到直线Pcos(0+^)=1的距离的取值范围.
J
(1)求直线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程;
(2)求直线G被曲线C2所截的弦长.
11.已知直线I是过点P(-1,2),方向向量为n=(-1,听)的直线,圆方程
TT
p=2co()
(1)求直线I的参数方程
的直线I交曲线C与M、N两点,求|PM|+|PN|的最大值.
极坐标与参数方程取值范围问题
参考答案与试题解析
.解答题(共12小题)1.已知曲线C1的极坐标方程为pcos20=8曲线Q的极坐标方程为白占,曲
6
MN的长度.
p=16,
即p=4.
p2cos20=化为P(cos20-sin20)=8,得到普通方程为x2-y2=8.
将直线
代入x2-y2=8,
整理得14=0.
•••|mN|=壯佃Jr聖2苗.
I二!
?
+4
2.【坐标系与参数方程】设直线I的参数方程为:
(t为参数),若以直角坐
Ly=2t
标系xOy的0点为极点,Ox轴为极轴,选择相同的长度单位建立极坐标系,得
曲线C的极坐标方程为P环*.
sin^e
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,并指出曲线是什么曲线;
(2)若直线I与曲线C交于A、B两点,求|AB|.
【解答】解:
(1)由pNugQ得PsiftB=8cos,0psin20=8pcos鼻y2=8x,
sin^e
•••曲线C表示顶点在原点,焦点在x上的抛物线.
即y=2x—4,代入y2=8x得x2-6x+4=0,.・.xi+x2=6,xix2=4,
(2)严+土
ly=2t
二山+以"1-
•••|AB|=—
3.(选修4-4:
坐标系与参数方程)已知曲线C的参数方程是
lf=acose
为参数,a>0),直线I的参数方程是r吒+t(t为参数),曲线C与直线I有一
个公共点在x轴上,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立坐标系.
(I)求曲线C普通方程;
(n)若点A(P[I。
),E(pL'G耳匕在曲线C上,求
1◎A一+——的值.
|oa|2IobI^IocF
【解答】解:
(I)•••直线I的参数方程是吒+十(t为参数),消去参数t得y=-l-1
x+y=2,令y=0,得x=2.
把点(2,0)代入上述方程得a=2.
22
•••曲线C普通方程为务+豊二1.
弓J
2'
A(pcos0,psin0),
4兀、
CCP339(0—XP3日「门(B
。
普),匚(卩3,G晋)在曲线C上,即5(P2心口£(日扌-hP2^in(9+-^+¥))在曲线C上,
)),
•••要求的直线方程为:
y出(x+1).
代入椭圆方程可得:
5t2-4t-12=0,
•••"普•••|FiM||FiN|=|tit2|=単.
5
与曲线C2交于点Dfl,冷-).
(I)求曲线Ci,C2的方程;
(n)若点A(pi,0),B(P"9碍)在曲线Ci上,求七卄丄可的值.
22PfPI
"JT
l=acos-:
^
J
_TL,
解得
121
2c
•••曲线Ci的直角坐标方程为:
宁+/=1.
0=与曲线C交于点
4
•••曲线C2是圆心在极轴上,且经过极点的圆,射线
•••圆的直径2R=1兀=2,.・.曲线C2的方程为(X-1)2+y2=1.
(II)把
迁:
代入曲线Ci的直角坐标方程:
V+y.
y=PsinS4
可得p2叟下一.
l+3sin0
〔=1任"2「1任i子)=2住i“26+3□□异5=2+3=5P「P彳4Q
6•在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知圆C的圆心的极坐标为(血,匹),半径r迈,点P的极坐标为(2,
4
n,过P作直线l交圆C于A,B两点.
(1)求圆C的直角坐标方程;
(2)求|PA||PB|的值.
),
【解答】解:
(1)圆C的圆心的极坐标为C^,—
.兀
…X^^silTT^r1,y=\/2
•圆C的直角坐标方程为(
(2)点P的极坐标为(2,
当直线I与圆C相切于等
4
兀-"
x-1)2+(y-1)2=2.
n),化为直角坐标P(-2,0).
D时,则|PD|2=|PC|2-r2=(-2-1)2+(0-1)2(忌2=8.
•••IPA||PB|=|PD|2=8.
s=acos0
y=sinQ
以O为原点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线Q的极坐标方程为P=6cos,0
射线为0=a与C1的交点为A,与C2除极点外的一个交点为B.当a=(时,|AB|=4.
(1)求C1,C2的直角坐标方程;
IT
(2)设C1与y轴正半轴交点为D,当乩三-时,设直线BD与曲线C的另一个交点为E,求|BD|+|BE|.
【解答】解:
(1)由P=6cos,(l)得P=6Pcos,所以C2的直角坐标方程是X+y2
-6x=0由已知得G的直角坐标方程是^^*#^1,当a=C时射线与曲线G,C2交点的直角坐标为(a,0),(6,0),
•••|AB|=4,•a=2,C1的直角坐标方程是^+y^=l①
(2)联立x2+y2-6x=0与y=x得B(3,3)或B(0,0),vB不是极点,•B(3,
2
心命t
将②带入①得竺/衿「1+41丸,设D,E点的参数是ti,t2,则13V13
-533|口0|IijWll
tl+t2=——*t112二页-,|切1+1BE1=111ftj1=———.
&极坐标系中,圆C方程P=2?
cosEH2sin0A(馅,2n),以极点作为直角坐标系的原点,极轴作为x轴的正半轴,建立直角坐标系,并在两种坐标系中取相同的长度单位.
(I)求圆C在直角坐标系中的标准方程;
(n)设P为圆C上的任意一点,圆心C为线段AB中点,求|PA||PB|的最大值.
【解答】解:
(I)TP=2jcos0-2sin0
•-p=2伍Pcos-2psin则x2+y2=^3x-2y,
即圆C在直角坐标系中的标准方程为(X-J3)2+(y+1)2=4;
(n)A(Jj,2n)的直角坐标为(Gj,0),圆C的圆心坐标为(Jj,-1),
•••圆心C为线段AB中点,
•••点B的坐标为(\/^,-2),AC=BC=1设/ACP0,而PC=2则PA引貞严+卩CJacxpcxco呂9灯5-4亡m6,同理PB*5+4亡ns3,
•••|PA||PB|=U5-4亡g9\/5+4匚皿9吋£5-1s?
9=5,当且仅当cos0=0寸取等号,
•••|PA||PB|的最大值为5.
9.(选修4-4:
极坐标系与参数方程)
极坐标系中,求圆P=上的点到直线Pcos(庖-)=1的距离的取值范围.3
【解答】解:
圆P=V2化为直角坐标方程得:
x2+y2=2
Apcos令归■psin0=1
[22
丄X-逅y=1,
22即X--2=0
•••圆心(0,0)到直线的距离d7_=1
故圆上动点到直线的最大距离为应+1,最小距离为0
故圆上动点到直线的距离的取值范围为[0,血+1]
r4
H—t
5
3
(1)求直线G的普通方程与曲线C2的直角坐标方程;
(2)求直线C1被曲线C2所截的弦长.
生
S~t
5
3皆由p^=2jjsin(0^),得P=2^2(sin0Bsirr^)=2sin+2cos0
即p+1=2psin+2pcos,
•••X2-2x+y2-2y+1=0;
(2)由X2-2x+y2-2y+1=0,
得(x-1)2+(y-1)2=1.
•••曲线C2是以(1,1)为圆心,以1为半径的圆.
圆心到直线3x-4y=0的距离为#.
二直线C1被曲线C2所截的弦长为冷严一(訝二电L
11.已知直线I是过点P(-1,2),方向向量为n=(-1,巫)的直线,圆方程
p=2co(0+3)
I的参数方程
(1)求直线
(2)设直线
I与圆相交于M,N两点,求|PM||PN|
【解答】解:
(1);卞(-1,衍),二直线的倾斜角
的值.
2兀
a—
3
•••直线的参数方程为
y=2+tsin-^^
(t为参数)
(t为参数)
V3
2
p=pcos-0V3psin,0
•••X+y2-X-/^=0,将直线的参数方程代入得t2+对jt+6-励=0,•••|t1t2|=6-励.
(2)•p=2(—cos0-
sin9=cos0-^5sinQ
12.已知点P的极坐标为今),曲线C的极坐标方程为
的直线I交曲线C与M、N两点,求|PM|+|PN|的最大值.
p=4cos0过点P
【解答】解:
P的直角坐标为(0,2)…(2分)
曲线C的直角坐标方程为x2+y2+4x=0--(4分)
直线1的参数方程为{爲;:
爲
带入曲线C的方程t2+4t(sin+cos0+4=0…(8分)
…(6分)
•••t1t2=4>0,
•••|PM|+|PN|=Is|+|t2|=|t[+®|=|4Gin8+8s9)|<42(12分)
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- 坐标 参数 方程 范围 问题