转动惯量的测定与平行轴定理验证的试验研究.docx
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转动惯量的测定与平行轴定理验证的试验研究
转动惯量的测定与平行轴定理验证的实验研究
转动惯量的测定与平行轴定理验证的实验研究
摘要:
采用三线摆,双线摆,扭摆,测量不同刚性物体的转动惯量,并进一步验证平行轴定理,同时应用扭摆的特性测量切边模量。
关键字:
转动惯量;平行轴定理;切变模量转动惯量是刚体转动惯性的量度,它与刚体的质量
分布和转轴位置有关。
根据物体的规则与否,转动惯量的获得分为理论公式法与实验法。
对于规则物体,测量其尺寸和质量,即可通过理论公式计算获得;对于不规则、质量分布不均匀的物体则要通过实验测定。
一.实验原理
(一)双线摆
本实验中,认为双线摆是纯转动的理想模型。
这样,双线摆摆锤的运动可分解为:
水平面上的转动以及竖直方向上的振动。
设均匀细杆质量m。
、长为
I、绕通过质心竖直轴转动的惯量为【0;两相同圆柱体的质量之和为2nh,之间距离为2c;双绳之间距离为d,绳长L。
由
右图几何关系分析,当°很小时,Ousin。
,得
Z31
h=L(l-cos-)=-L6>2
28
由上式可得系统的势能为
EpR%gh吕叫gL0~
(2)
O
杆的转动动能为伤冲。
(少(3)
2at
由能量守恒得轨(少+訓g"=说(4)
用(4)关于时间求导,并除以需得
(5)
d~0|mogL6>_Q乔4/0
解上面的简谐振动方程,得杆的转动惯量:
(6)
(二)三线摆和扭摆
式中,mo为下圆盘的质量;r和R分别为上下悬点离各自圆盘中心的距离;H。
为平衡时上下圆盘间的垂直距离;
T。
为下圆盘的摆动周期,g为重力加速度。
将质量为m的待测刚体放在下圆盘上,使其质心与转抽重合,测量出此时的周期T和上下圆盘的距离H,则总
转动惯量为:
(m0+mjgRi
4k2H
待测物的转动惯量为:
J=J1-Jo
(10)
②扭摆
将一金属丝上端固定,下端悬挂一刚体就构成扭摆。
如下图
M=Jo0
忽略空气阻尼力矩的作用,根据刚体转动定理有
(11)
M=-K0(12)
式中,K称为扭转模量。
它与悬线长度L,悬线直径d施绻林料的切变模量G有如下关系
(13)
扭摆的运动微分方程为
(14)弓见,圆盘作简谐振动。
其周期T。
为T。
"眉(15)
实验中K未知,将金属环放在圆盘上时复合体的转
4亍T
(18)
T2-T;1
测出T和T。
就可以求得圆盘的转动惯量J。
与切边模量Go
(三)验证平行轴定理
若质量为耳的物体绕过其质心轴的转动L惯量为人,当转轴平行移动距离'时(如LJ右图所示),则此物体对新轴。
。
的转动惯
量为/’=/<+曲
(19)
平行轴定理
这一结论称为转动惯量的平行轴定理。
①用双线摆验证平行轴定理:
将质量均为m2,形状和质量分布完全相同的两个圆柱体对称地放置在均匀细杆上。
按同样的方法,测出两小
柱体和细杆的转动周期Tx,则可求出每个柱体对中心转
比较匚与你的大小,相差5%以内则平行轴定理得证。
②用三线摆验证平行轴定理
将二个同样大小的圆柱体放置在对称分布于半径为Ri的圆周上的二个孔上。
测出二个圆柱体对中心轴o(r的转动惯量人。
如果测得的人值与由(19)式右边计算得的结果比较时的相对误差在测量误差允许的范围(W5%),则平行轴定理得到验证。
二.实验装置与实验方法
本实验使用的设备有:
双线摆、扭摆及三线摆、水
准仪、米尺、游标卡尺及待测物体等。
实验方法如下:
(一)
测量前,根据水准泡得指示,调平底座平台。
双线摆实验开始前先调节摆线长等于两线间的距离,即d=Lo.
(二)
打开计数器,调节适当的
周
期
Ti
T2
T3
T4
T5
T
B盘
25
32.8
32.7
32.7
32.6
32.6
32.68
单
柱
25
30.7
30.8
30.8
30.8
30.6
30.74
周期次数。
分别使摆进行小角度摆动,并记录周期,
带入操作原理中得转动惯量计算式,求得待测物体的
转动惯量,并验证平行轴定理。
数据记录及结果讨论
双线摆:
L=12.00
L«=30.00
D内二2・260cm
mo=O.266kg小圆柱参数:
1=2.970cm
D外=2.760cmX=13.75mS=0.1kg
双线摆各组实验项目平均周期的计算:
周期
Ti
T2
Ta
T4
Ts
T
细杆
25
23.6
23.8
23.7
23.7
23.7
23.7
单■柱
25
20.7
20.6
20.6
20.6
20.6
20.62
双Bl柱
25
31.2
31.0
31.1
31.0
31.1
31.08
周期单位:
s,下同
r=4.574
三线摆:
R=9.430cm
H=38.35cmm圆盘二匚013血
三线摆各组实验项目平均周期的计算:
m圆柱=0.137kg三线摆双圆柱实验平均周期的计算:
距离
d
周
期
Ti
T2
T3
T4
T5
T
&430
25
32.7
32.6
32.6
32.6
32.6
32.62
扭摆
mi=0.539kg
D2=11.990cmd=0.050cm
Di=10.030
L=42.50
扭摆平均周期的计算:
周期
Ti
T2
T3
T4
Ts
T
盘
25
52.7
52.7
52.7
52.8
52.7
52.72
盘环
25
89.7
89.7
89.7
89.7
89.7
89.7
由以上数据计算得:
双线摆转动惯量的计算:
由式(6)(8)带入实验数据:
細杆
单■柱
双Ifl柱
双岡柱理论
相对误差
I
0.00178
0.0000742
0.00179
0.00189
0.052
三线摆转动惯量级相对误差的计算:
由式(9)(10)带入数据计算得
D8盘
单B8柱
I
0.004832
0.000021
d/c
m
双■柱
理论值
相对溟差
I
8.430
0.00105
0.000995
0.053
I
6.430
0.00064
0.000588
0.083
I
£443
0.00030
0.00029
0.042
扭摆转动惯量及切变模量的计算:
由式(13)(17)(18)带入数据得
J1
Jo
K
G
0.00165
0.000871
0.00773
5.5*10^11
切变模量单位:
GPa
由以上结果我们给出以下讨论:
(一)・通过双线摆的测量和通过三线摆的测量,o精
度能达到要求,能用于转动惯量的测量和平行轴定理得
(二)•对于三线摆,在测量过程中我们发现在距离转
轴中心较远和较近的测量数据都与实际符合的很好,但在之间却有很大的偏差(超过允差0.033),经过分析认
为带来这种误差增大的原因在于以下几点:
1•实验过程中,使三线摆摆动时,转轴OCT发生偏移:
2.圆柱在处于较远和较近的位置时,超出了上圆盘的投
影范围(或者处于其中时),用于力矩作用,使I
的摆动更趋于水平的小角度摆动。
四.结论
转动惯量的平行轴定理成立;转动惯量的测定符合实际情况。
参考文献:
[11《大学物理》2011年第06期作者:
王永超;朱
[2]《长春理工大学学报(自然科学版)》2007年03
[3]《辽宁科技大学学报》2011年04期
Determinationofmomentofinertiaandverificationofthe
parallelaxistheoremexperimental
Abstrat:
Usingthree-wirependulum,doublependulum,torsion,tomeasuredifferentrigidbodymomentofinertia,andfurthervalidatingparallelaxistheorem,andapplicationcharacteristicsoftorsionmodulustomeasuretrimming
Keyword:
Momentofinertia;Parallelaxistheorem;
Shearmodulus
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- 关 键 词:
- 转动惯量 测定 平行 定理 验证 试验 研究