中考复习最短路径问题之胡不归与阿氏圆问题探究.docx
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中考复习最短路径问题之胡不归与阿氏圆问题探究
“PA+k·PB”型的最值问题(胡不归+阿氏圆)
【问题背景】“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。
当k值为1时,即可转化为“PA+PB”之和最短问题,就可用我们常见的“将军饮马问题”模型来处理,即可以转化为轴对称问题来处理。
而当k取任意不为1的正数时,若再以常规的轴对称思想来解决问题,则无法进行,因此必须转换思路。
此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类,一般分为2类研究。
即点P在直线上运动和点P在圆上运动。
其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题;
点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
本文将分别从这两类入手与大家共同探究线段最值问题的解决方案。
【知识储备】线段最值问题常用原理:
①三角形的三边关系:
两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;
②两点间线段最短;
③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中,垂线段最短;
【模型初探】
(一)点P在直线上运动——“胡不归”问题
如图1-1-1所示,已知sin∠MBN=k,点P为角∠MBN其中一边BM上的一个动点,点A在射线BM、BN的同侧,连接AP,则当“PA+k·PB”的值最小时,P点的位置如何确定?
分析:
本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小,过点P作PQ⊥BN垂足为Q,则k·PB=PB·sin∠MBN=PQ,
∴本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PQ”的最小值(如图1-1-2),即A、P、Q三点共线时最小(如图1-1-3),本题得解。
图1-1-1图1-1-2图1-1-3
思考:
当k值大于1时,“PA+k·PB”线段求和问题该如何转化呢?
提取系数k即可哦!
!
!
【数学故事】从前,有一个小伙子在外地学徒,当他获悉在家的老父亲病危的消息后,便立即启程赶路。
由于思乡心切,他只考虑了两点之间线段最短的原理,所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B(如图所示),而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况,当他气喘吁吁地赶到家时,老人刚刚咽了气,小伙子失声痛哭。
邻居劝慰小伙子时告诉说,老人弥留之际不断念叨着“胡不归?
胡不归?
…何以归”。
这个古老的传说,引起了人们的思索,小伙子能否提前到家?
倘若可以,他应该选择一条怎样的路线呢?
这就是风靡千百年的“胡不归问题”。
(二)点P在圆上运动——“阿氏圆”问题
如图所示2-1-1,⊙O的半径为r,点A、B都在⊙O外,P为⊙O上的动点,已知r=k·OB.连接PA、PB,则当“PA+k·PB”的值最小时,P点的位置如何确定?
AA
BB
图2-1-1图2-1-2图2-1-3
分析:
本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小,(如图2-1-2)在线段OB上截取OC使OC=k·r,则可说明△BPO与△PCO相似,即k·PB=PC。
∴本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PC”的最小值,即A、P、C三点共线时最小(如图2-1-3),本题得解。
【问题背景】阿氏圆又称阿波罗尼斯圆,已知平面上两点A、B,则所有满足PA=kPB(k≠1)的点P的轨迹是一个圆,这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,故称“阿氏圆”。
“阿氏圆”一般解题步骤:
第一步:
连接动点至圆心O(将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心相连接),则连接OP、OB;
第二步:
计算出所连接的这两条线段OP、OB长度;
第三步:
计算这两条线段长度的比
;
第四步:
在OB上取点C,使得
;
第五步:
连接AC,与圆O交点即为点P.
【模型类比】
①“胡不归”构造某角正弦值等于小于1系数
起点构造所需角(k=sin∠CAE)——过终点作所构角边的垂线——利用垂线段最短解决问题
②“阿氏圆”构造共边共角型相似
构造△PAB∽△CAP推出
即:
半径的平方=原有线段⨯构造线段
【典型例题】
1.(胡不归问题)如图,四边形ABCD是菱形,AB=4,且∠ABC=60°,M为对角线
BD(不含B点)上任意一点,则
的最小值为.
分析:
如何将
转化为其他线段呢?
即本题k值为
必须转化为某一角的正弦值,即转化为30°角的正弦值。
思考到这里,不难发现,只要作MN垂直于BC,
则
即
最小转化为AM+MN最小,本题得解。
变式思考:
(1)本题如要求“2AM+BM”的最小值你会求吗?
(2)本题如要求“AM+BM+CM”的最小值你会求吗?
2.(阿氏圆问题)如图,点A、B在☉O上,且OA=OB=6,且OA⊥OB,点C是OA的中点,点D在OB上,且OD=4,动点P在☉O上,则2PC+PD的最小值为.
分析:
如何将2PC转化为其他线段呢?
不难发现本题出现了中点,即2倍关系就出现了。
套用“阿氏圆”模型:
构造共边共角相似
半径的平方=原有线段⨯构造线段
【中考真题】(胡不归问题)
(阿氏圆问题)
写在最后:
“胡不归”和“阿氏圆”问题都是一类解决最短距离问题,即“PA+k·PB”(k≠1的常数)型的最值问题。
两类问题所蕴含的都是数学的转化思想,即将k·PB这条线段的长度转化为某条具体线段PC的长度,进而根据“垂线段最短或两点之间线段最短”的原理构造最短距离。
不过两类问题的难点都在于如何对k值进行转化,“胡不归”需要构造某角的正弦值等于k(如果k>1则要先提取k去构造某角的正弦值等于
或等于
)将k倍线段转化,再利用“垂线段最短”解决问题;
“阿氏圆”问题则需构造共边共角型相似问题,始终抓住点在圆上这个重要信息,构造以半径为公共边的一组相似三角形,k值如果大于1则将线段扩大相同的倍数取点,k值如果小于1则将线段缩小相同的倍数取点利用,再“两点之间线段最短”解决问题。
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