九年级数学上册知识点归纳.docx
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九年级数学上册知识点归纳
22.1一元二次方程
知识点一一元二次方程定义
等号两边都是整式,只具有一种未知数(一元),并且未知数最高次数是2(二次)方程,叫做一元二次方程。
注意一下几点:
①只具有一种未知数;②未知数最高次数是2;③是整式方程。
知识点二一元二次方程普通形式
普通形式:
ax²+bx+c=0(a≠0).其中,ax²是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项。
知识点三一元二次方程根
使一元二次方程左右两边相等未知数值叫做一元二次方程解,也叫做一元二次方程根。
方程解定义是解方程过程中验根根据。
22.2降次——解一元二次方程
22.2.1配办法
知识点一直接开平办法解一元二次方程
(1)如果方程一边可以化成含未知数代数式平方,另一边是非负数,可以直接开平方。
普通地,对于形如x²=a(a≥0)方程,依照平方根定义可解得x1=,x2=.
(2)直接开平办法合用于解形如x²=p或(mx+a)²=p(m≠0)形式方程,如果p≥0,就可以运用直接开平办法。
(3)用直接开平办法求一元二次方程根,要对的运用平方根性质,即正数平方根有两个,它们互为相反数;零平方根是零;负数没有平方根。
(4)直接开平办法解一元二次方程环节是:
①移项;②使二次项系数或具有未知数式子平方项系数为1;③两边直接开平方,使原方程变为两个一元二次方程;④解一元一次方程,求出原方程根。
知识点二配办法解一元二次方程
通过配成完全平方形式来解一元二次方程办法,叫做配办法,配方目是降次,把一种一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。
配办法普通环节可以总结为:
一移、二除、三配、四开。
(1)把常数项移到等号右边;⑵方程两边都除以二次项系数;⑶方程两边都加上一次项系数一半平方,把左边配成完全平方式;⑷若等号右边为非负数,直接开平方求出方程解。
22.2.2公式法
知识点一公式法解一元二次方程
(1)普通地,对于一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0),如果b²-4ac≥0,那么方程两个根为x=
,这个公式叫做一元二次方程求根公式,运用求根公式,咱们可以由一元二方程系数a,b,c值直接求得方程解,这种解方程办法叫做公式法。
(2)一元二次方程求根公式推导过程,就是用配办法解普通形式一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)过程。
(3)公式法解一元二次方程详细环节:
①方程化为普通形式:
ax²+bx+c=0(a≠0),普通a化为正值②拟定公式中a,b,c值,注意符号;③求出b²-4ac值;④若b²-4ac≥0,则把a,b,c和b-4ac值代入公式即可求解,若b²-4ac<0,则方程无实数根。
知识点二一元二次方程根鉴别式
式子b²-4ac叫做方程ax²+bx+c=0(a≠0)根鉴别式,通惯用希腊字母△表达它,即△=b²-4ac.
△>0,方程ax²+bx+c=0(a≠0)有两个不相等实数根
一元二次方程△=0,方程ax²+bx+c=0(a≠0)有两个相等实数根
根鉴别式
△<0,方程ax²+bx+c=0(a≠0)无实数根
22.2.3因式分解法
知识点一因式分解法解一元二次方程
(1)把一元二次方程一边化为0,而另一边分解成两个一次因式积,进而转化为求两个求一元一次方程解,这种解方程办法叫做因式分解法。
(2)因式分解法详细环节:
①移项,将所有项都移到左边,右边化为0;②把方程左边分解成两个因式积,可用办法有提公因式、平方差公式和完全平方公式;③令每一种因式分别为零,得到一元一次方程;④解一元一次方程即可得到原方程解。
知识点二用适当办法解一元一次方程
办法名称理论根据合用范畴
直接开平办法平方根意义形如x²=p或(mx+n)²=p(p≥0)
配办法完全平方公式所有一元二次方程
公式法配办法所有一元二次方程
因式分解法当ab=0,则a=0或b=0一边为0,另一边易于分解成两个一次因式积一元二次方程。
22.2.4一元二次方程根与系数关系
若一元二次方程x²+px+q=0两个根为x1,x2,则有x1+x2=-p,x1x2=q.
若一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,则有x1+x2=-b/a,,x1x2=c/a
22.3实际问题与一元二次方程
知识点一列一元二次方程解应用题普通环节:
(1)审:
是指读懂题目,弄清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量以及它们之间等量关系。
(2)设:
是指设元,也就是设出未知数。
(3)列:
就是列方程,这是核心环节,普通先找出可以表达应用题所有含义一种相等含义,然后列代数式表达这个相等关系中各个量,就得到具有未知数等式,即方程。
(4)解:
就是解方程,求出未知数值。
(5)验:
是指检查方程解与否保证明际问题故意义,符合题意。
(6)答:
写出答案。
知识点二列一元二次方程解应用题几种常用类型
(1)数字问题三个持续整数:
若设中间一种数为x,则另两个数分别为x-1,x+1。
三个持续偶数(奇数):
若中间一种数为x,则另两个数分别为x-2,x+2。
三位数表达办法:
设百位、十位、个位上数字分别为a,b,c,则这个三位数是100a+10b+c.
(2)增长率问题设初始量为a,终结量为b,平均增长率或平均减少率为x,则通过两次增长或减少后等量关系为a(1
)²=b。
(3)利润问题利润问题惯用相等关系式有:
①总利润=总销售价-总成本;②总利润=单位利润×总销售量;③利润=成本×利润率
(4)图形面积问题依照图形面积与图形边、高等有关元素关系,将图形面积用具有未知数代数式表达出来,建立一元二次方程。
二次函数
1.定义:
普通地,如果y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,
),那么y叫做x二次函数.
2.二次函数y=ax²性质
(1)抛物线y=ax²顶点是坐标原点,对称轴是y轴.
(2)函数y=ax²图像与符号关系.
①当时抛物线开口向上顶点为其最低点;②当时抛物线开口向下顶点为其最高点
3.二次函数y=ax²+bx+c图像是对称轴平行于(涉及重叠)y轴抛物线.
4.二次函数y=ax²+bx+c用配办法可化成:
y=a(x-h)²+k形式,其中h=-b/2a,k=4ac-b²/4a.
5.二次函数由特殊到普通,可分为如下几种形式:
①y=ax²;②y=ax²+k;③y=a(x-h)²;④y=a(x-h)²+k;⑤y=ax²+bx+c.
6.抛物线三要素:
开口方向、对称轴、顶点.
①a决定抛物线开口方向:
当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向下;
相等,抛物线开口大小、形状相似.
②平行于y轴(或重叠)直线记作x=h.特别地,y轴记作直线x=0.
7.顶点决定抛物线位置.几种不同二次函数,如果二次项系数a相似,那么抛物线开口方向、开口大小完全相似,只是顶点位置不同.
8.求抛物线顶点、对称轴办法
(1)公式法:
,∴顶点是
,对称轴是直线
.
(2)配办法:
运用配办法将抛物线解析式化为
形式,得到顶点为(h,k),对称轴是
.
(3)运用抛物线对称性:
由于抛物线是以对称轴为轴轴对称图形,因此对称轴连线垂直平分线是抛物线对称轴,对称轴与抛物线交点是顶点.
★用配办法求得顶点,再用公式法或对称性进行验证,才干做到万无一失★
9.抛物线
中,a,b,c作用
(1)a决定开口方向及开口大小,这与
中a完全同样.
(2)b和a共同决定抛物线对称轴位置.由于抛物线
对称轴是直线
故:
①b=0时,对称轴为y轴;
②
(即a、b同号)时,对称轴在y轴左侧;③
(即a、b异号)时,对称轴在y轴右侧.
(3)c大小决定抛物线
与y轴交点位置.
当x=0时,y=c,∴抛物线
与y轴有且只有一种交点(0,c):
1c=0,抛物线通过原点;②c>0,与轴交于正半轴;③,与轴交于负半轴.
以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线对称轴在y轴右侧,则
.10.几种特殊二次函数图像特性如下:
函数解析式开口方向对称轴顶点坐标
x=0(y轴)(0,0)
当a>0时x=0(y轴)(0,k)
开口向上x=h(h,0)
当a<0时x=h(h,k)
开口向下
11.用待定系数法求二次函数解析式
(1)普通式:
.已知图像上三点或三对x、y值,普通选取普通式.
(2)顶点式:
.已知图像顶点或对称轴,普通选取顶点式.
(3)交点式:
已知图像与x轴交点坐标x1、x2,普通选用交点式:
.
12.直线与抛物线交点
(1)y轴与抛物线
得交点为(0,c)
(2)与y轴平行直线x=h与抛物线
有且只有一种交点(h,
).
(3)抛物线与x轴交点
二次函数
图像与x轴两个交点横坐标x1、x2,是相应一元二次方程
两个实数根.抛物线与x轴交点状况可以由相应一元二次方程根鉴别式鉴定:
①两个交点
抛物线与x轴相交;
2一种交点(顶点在x轴上)
抛物线与x轴相切;
③没有交点
抛物线与x轴相离.
(4)平行于x轴直线与抛物线交点
同(3)同样也许有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点纵坐标相等,设纵坐标为k,则横坐标
是两个实数根.
(5)一次函数
图像l与二次函数
图像G交点,由方程组
解数目来拟定:
①方程组有两组不同解时
l与G有两个交点;
3程组只有一组解时
l与G只有一种交点;
4程组无解时
l与G没有交点.
(6)抛物线与轴两交点之间距离:
若抛物线
与x轴两交点为
,由于
、
是方程
两个根,故
13.二次函数与一元二次方程关系:
(1)一元二次方程
就是二次函数
当函数y值为0时状况.
(2)二次函数
图象与x轴交点有三种状况:
有两个交点、有一种交点、没有交点;当二次函数图象
与x轴有交点时,交点横坐标就是当
时自变量x值,即一元二次方程
根.
(3)当二次函数
图象与x轴有两个交点时,则一元二次方程
有两个不相等实数根;当二次函数
图象与x轴有一种交点时,则一元二次方程
有两个相等实数根;当二次函数图象与x轴没有交点时,则一元二次方程
没有实数根
14.二次函数应用:
(1)二次函数惯用来解决最优化问题,此类问题事实上就是求函数最大(小)值;
(2)二次函数应用涉及如下方面:
分析和表达不同背景下实际问题中变量之间二次函数关系;运用二次函数知识解决实际问题中最大(小)值.
15.解决实际问题时基本思路:
(1)理解问题;
(2)分析问题中变量和常量;(3)用函数表达式表达出它们之间关系;(4)运用二次函数关于性质进行求解;(5)检查成果合理性,对问题加以拓
第二十三章旋转
23.1图形旋转
知识点一旋转定义
在平面内,把一种平面图形绕着平面内某一点O转动一种角度,就叫做图形旋转,点O叫做旋转中心,转动角叫做旋转角。
咱们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转三要素。
知识点二旋转性质
旋转特性:
(1)相应点到旋转中心距离相等;
(2)相应点与旋转中心所连线段夹角等于旋转角;(3)旋转先后图形全等。
理解如下几点:
(1)图形中每一种点都绕旋转中心旋转了同样大小角度。
(2)相应点到旋转中心距离相等,相应线段相等,相应角相等。
(3)图形大小和形状都没有发生变化,只变化了图形位置。
知识点三运用旋转性质作图
旋转有两条重要性质:
(1)任意一对相应点与旋转中心所连线段夹角等于旋转角;
(2)相应点到旋转中心距离相等,它是运用旋转性质作图核心。
环节可分为:
①连:
即连接图形中每一种核心点与旋转中心;
②转:
即把直线按规定绕旋转中心转过一定角度(作旋转角)
③截:
即在角另一边上截取核心点到旋转中心距离,得到各点相应点;
④接:
即连接到所连接各点。
23.2中心对称
知识点一中心对称定义
中心对称:
把一种图形绕着某一种点旋转180°,如果它可以与另一种图形重叠,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心。
注意如下几点:
中心对称指是两个图形位置关系;只有一种对称中心;绕对称中心旋转180°两个图形可以完全重叠。
知识点二作一种图形关于某点对称图形
要作出一种图形关于某一点成中心对称图形,核心是作出该图形上核心点关于对称中心对称点。
最后将对称点按照原图形形状连接起来,即可得出成中心对称图形。
知识点三中心对称性质
有如下几点:
(1)关于中心对称两个图形上相应点连线都通过对称中心,并且都被对称中心平分;
(2)关于中心对称两个图形可以互相重叠,是全等形;
(3)关于中心对称两个图形,相应线段平行(或共线)且相等。
知识点四中心对称图形定义
把一种图形绕着某一种点旋转180°,如果旋转后图形可以与本来图形重叠,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它对称中心。
知识点五关于原点对称点坐标
在平面直角坐标系中,如果两个点关于原点对称,它们坐标符号相反,即点p(x,y)关于原点对称点为(-x,-y)。
第二十四章圆
24.1圆
24.1.1圆
知识点一圆定义
圆定义:
第一种:
在一种平面内,线段OA绕它固定一种端点O旋转一周,另一种端点A所形成图形叫作圆。
固定端点O叫作圆心,线段OA叫作半径。
第二种:
圆心为O,半径为r圆可以当作是所有到定点O距离等于定长r点集合。
比较圆两种定义可知:
第一种定义是圆形成进行描述,第二种是运用集合观点下定义,但是都阐明拟定了定点与定长,也就拟定了圆。
知识点二圆有关概念
(1)弦:
连接圆上任意两点线段叫做弦,通过圆心弦叫作直径。
(2)弧:
圆上任意两点间某些叫做圆弧,简称弧。
圆任意一条直径两个端点把圆提成两条弧,每一条弧都叫做半圆。
(3)等圆:
等够重叠两个圆叫做等圆。
(4)等弧:
在同圆或等圆中,可以互相重叠弧叫做等弧。
弦是线段,弧是曲线,判断等弧首要条件是在同圆或等圆中,只有在同圆或等圆中完全重叠弧才是等弧,而不是长度相等弧。
24.1.2垂直于弦直径
知识点一圆对称性
圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它对称轴。
知识点二垂径定理
(1)垂径定理:
垂直于弦直径平分弦,并且平分弦所对两条弧。
垂径定理推论:
平分弦(不是直径)直径垂直于弦,并且平分弦所对两条弧注意:
由于圆两条直径必要互相平分,因此垂径定理推论中,被平分弦必要不是直径,否则结论不成立。
24.1.3弧、弦、圆心角
知识点弦、弧、圆心角关系
(1)弦、弧、圆心角之间关系定理:
在同圆或等圆中,相等圆心角所对弧相等,所对弦也相等。
(2)在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦中有一组量相等,那么它们所相应别的各组量也相等。
(3)注意不能忽视同圆或等圆这个前提条件,如果丢掉这个条件,虽然圆心角相等,所对弧、弦也不一定相等,例如两个同心圆中,两个圆心角相似,但此时弧、弦不一定相等。
24.1.4圆周角
知识点一圆周角定理
(1)圆周角定理:
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对圆周角相等,都等于这条弧所对圆心角一半。
(2)圆周角定理推论:
半圆(或直径)所对圆周角是直角,90°圆周角所对弦是直径。
(3)圆周角定理揭示了同弧或等弧所对圆周角与圆心角大小关系。
“同弧或等弧”是不能改为“同弦或等弦”,否则就不成立了,由于一条弦所对圆周角有两类。
知识点二圆内接四边形及其性质
圆内接多边形:
如果一种多边形所有顶点都在同一种圆上,这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形外接圆。
圆内接四边形性质:
圆内接四边形对角互补。
24.2点、直线、圆和圆位置关系
24.2.1点和圆位置关系
知识点一点与圆位置关系
(1)点与圆位置关系有:
点在圆外,点在圆上,点在圆内三种。
(2)用数量关系表达:
若设⊙O半径是r,点P到圆距离OP=d,则有:
点P在圆外
d>r;点p在圆上
d=r;点p在圆内
d<r。
知识点二过已知点作圆
(1)通过一种点圆(如点A)以点A外任意一点(如点O)为圆心,以OA为半径作圆即可,这样圆可以作无数个。
(2)通过两点圆(如点A、B)以线段AB垂直平分线上任意一点(如点O)为圆心,以OA(或OB)为半径作圆即可,这样圆可以作无数个。
(3)通过三点圆
①通过在同一条直线上三个点不能作圆
②不在同一条直线上三个点拟定一种圆,即通过不在同一条直线上三个点可以作圆,且只能作一种圆。
如通过不在同一条直线上三个点A、B、C作圆,作法:
连接AB、BC(或AB、AC或BC、AC)并作它们垂直平分线,两条垂直平分线相交于点O,以点O为圆心,以OA(或OB、OC)长为半径作圆即可,这样圆只能作一种。
知识点三三角形外接圆与外心
(1)通过三角形三个顶点可以作一种圆,这个圆叫做三角形外接圆。
(2)外接圆圆心是三角形三条边垂直平分线交点,叫做这个三角形外心。
知识点四反证法
(1)反证法:
假设命题结论不成立,通过推理得出矛盾,由矛盾断定所作假设不对的,从而得到原命题成立,这种证明命题办法叫做反证法。
(2)反证法普通环节:
①假设命题结论不成立;②从假设出发,通过逻辑推理,推出或与定义,或与公理,或与定理,或与已知等相矛盾结论;③由矛盾鉴定假设不对的,从而得出原命题对的。
24.2.2直线和圆位置关系
知识点一直线与圆位置关系
(1)直线与圆位置关系有:
相交、相切、相离三种。
(2)直线与圆位置关系可以用数量关系表达若设⊙O半径是r,直线l与圆心0距离为d,则有:
直线l和⊙O相交
d<r;直线l和⊙O相切
d=r;直线l和⊙O相离
d>r。
知识点二切线鉴定和性质
(1)切线鉴定定理:
通过半径外端并且垂直于这条半径直线是圆切线。
(2)切线性质定理:
圆切线垂直于过切点半径。
(3)切线其她性质:
切线与圆只有一种公共点;切线到圆心距离等于半径;通过圆心且垂直于切线直线必过切点;必过切点且垂直于切线直线必通过圆心。
知识点三切线长定理
(1)切线长定义:
通过园外一点作圆切线,这点和切点之间线段长,叫做这点到圆切线长。
(2)切线长定理:
从圆外一点可以引圆两条切线,它们切线长相等,这一点和圆心连线平分两条切线夹角。
(3)注意:
切线和切线长是两个完全不同概念,必要弄清晰切线是直线,是不能度量;切线长是一条线段长,这条线段两个端点一种是在圆外一点,另一种是切点。
知识点四三角形内切圆和内心
(1)三角形内切圆定义:
与三角形各边都相切圆叫做三角形内切圆。
这个三角形叫做圆外切三角形。
(2)三角形内心:
三角形内切圆圆心叫做三角形内心。
(3)注意:
三角形内心是三角形三条角平分线交点,因此当三角形内心已知时,过三角形顶点和内心射线,必平分三角形内角。
24.2.3圆和圆位置关系
知识点一圆与圆位置关系
(1)圆与圆位置关系有五种:
①如果两个圆没有公共点,就说这两个圆相离,涉及外离和内含两种;
②如果两个圆只有一种公共点,就说这两个圆相切,涉及内切和外切两种;
③如果两个圆有两个公共点,就说这两个圆相交。
(2)圆与圆位置关系可以用数量关系来表达:
若设两圆圆心之间距离为d,两圆半径分别是r1r2,且r1<r2,则有
两圆外离
d>r1+r2两圆外切
d=r1+r2两圆相交
r2-r1<d<r1+r2两圆内切
d=r2-r1两圆内含
d<r2-r1
24.3正多边形和圆
知识点一正多边形外接圆和圆内接正多边形
正多边形与圆关系非常密切,把圆提成n(n是不不大于2自然数)等份,顺次连接各分点所得多边形是这个圆内接正多边形,这个圆就是这个正多边形外接圆。
正多边形中心:
一种正多边形外接圆圆心叫做这个正多边形中心。
正多边形半径:
外接圆半径叫做正多边形半径。
正多边形中心角:
正多边形每一条边所对圆心角叫做正多边形中心角。
正多边形边心距:
中心到正多边形一边距离叫做正多边形边心距。
知识点二正多边形性质
(1)正n边形半径和边心距把正多边形提成2n个全等直角三角形。
(2)所有正多边形都是轴对称图形,每个正n边形共有n条对称轴,每条对称轴都通过正n边形中心;当正n边形边数为偶数时,这个正n边形也是中心对称图形,正n边形中心就是对称中心。
(3)正n边形每一种内角等于,中心角和外角相等,等于。
24.4弧长和扇形面积
知识点一弧长公式l=
在半径为R圆中,360°圆心角所对弧长就是圆周长C=2πR,因此n°圆心角所对弧长计算公式l=
×2πR=
。
知识点二扇形面积公式
在半径为R圆中,360°圆心角所对扇形面积就是圆面积S=πR²,因此圆心角为n°扇形面积为S扇形=
。
比较扇形弧长公式和面积公式发现:
S扇形=
知识点三圆锥侧面积和全面积
圆锥侧面积是曲面,沿着圆锥一条母线将圆锥侧面展开,容易得到圆锥侧面展开图是一种扇形。
设圆锥母线长为l,底面圆半径为r,那么这个扇形半径为l,扇形弧长为2πr,因而圆锥侧面积
。
圆锥全面积为
。
25.1随机事件与概率
25.1.1随机事件
知识点一必然事件、不也许事件、随机事件
在一定条件下,有些事件必然会发生,这样事件称为必然事件;相反地,有些事件必然不会发生,这样事件称为不也许事件;在一定条件下,也许发生也也许不会发生事件称为随机事件。
必然事件和不也许事件与否会发生,是可以事先拟定,因此它们统称为拟定性事件。
知识点二事件发生也许性大小
必然事件也许性最大,不也许事件也许性最小,随机事件发生也许性有大有小。
不同随机事件发生也许性大小有也许不同。
25.1.2概率
知识点概率
普通地,对于一种随机事件A,咱们把刻画其发生也许性大小数值,称为随机事件A发生概率,记作P(A)。
普通地,如果在一次实验中,有n种也许成果,并且它们发生也许性都相等,事件A包括其中m种成果,那么事件A发生概率P(A)=
。
由m和n含义可知0≤m≤n,因而0≤
≤1,因而0≤P(A)≤1.
当A为必然事件时,P(A)=1;当A为不也许事件时,P(A)=0.
25.2用列举法求概率
知识点一用列举法求概率
普通地,如果在一次实验中,有n种也许成果,并且它们发生也许性都相等,事件A包括其中m种成果,那么事件A发生概率P(A)=
。
知识点二用列表发求概率
当一次实验要涉及两个因素并且也许浮现成果数目较多时,为不重不漏地列出所有也许成果,通惯用列表法。
列表法是用表格形式反映事件发生各种状况浮现次数和方式,以及某一事件发生也许次数和方式,并求出概率办法。
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