大学物理A第六章习题选解.docx
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大学物理A第六章习题选解
第六章真空中的静电场
习题选解
6-1
三个电量为q的点电荷各放在边
长为r
的等边三角形的三个顶点上,电荷
f1
Q(Q
0)放在三角形的重心上。
为使每个
-q
负电荷受力为零,Q之值应为多大?
f2
解:
以三角形上顶点所置的电荷(
q)
Q
-q
-q
为例,其余两个负电荷对其作用力的合力
为f1,方向如图所示,其大小为
题6-1图
f12
q2
2
cos30
3q2
2
4
0r
40r
中心处Q对上顶点电荷的作用力为
f2,方向与f1相反,如图所示,其大小为
f2
3Qq
4
3
2
40r2
03
r
由f1
f2,得
Q
3q。
3
6-2
在某一时刻,从U238的放射性衰变中跑出来的
粒子的中心离残核Th234
的中心为r
9.01015m。
试问:
(1)作用在
粒子上的力为多大?
(2)
粒子的加
速度为多大?
解:
(1)由反应23892U
23490Th+24He,可知
粒子带两个单位正电荷,即
Q1
2e
3.2
1019C
Th离子带90个单位正电荷,即
Q290e1441019C
它们距离为r9.01015m
由库仑定律可得它们之间的相互作用力为:
2
9
3.2
1019
1441019
F
1
(9.0
10)
512N
4
0r2
(9.0
1015)2
(2)
粒子的质量为:
m
2(mp
mn)
2
(1.67
1027
1.67
1027)
6.68
1027Kg
由牛顿第二定律得:
a
F
512
7.66
1028ms2
m
6.681027
6-3
如图所示,有四个电量均为
q106C的点电荷,分别放置在如图所示的
1,2,3,4点上,点1与点4距离等于点
1与点2的距离,长1m,第3个电荷位于
2、
4两电荷连线中点。
求作用在第3个点电荷
上的力。
解:
由图可知,第
3个电荷与其它各
题6-3
图
电荷等距,均为r
2m。
各电荷之间均
2
为斥力,且第2、4两电荷对第三电荷的作
用力大小相等,方向相反,两力平衡。
由
库仑定律,作用于电荷
3的力为
题6-3图
F
1q1q3
1.8102N
40r132
力的方向沿第
1电荷指向第3电荷,与x轴成45
角。
6-4
在直角三角形ABC的A点放置点电荷q1
1.8
109C,B点放置点电荷
q24.8
109C,已知BC
0.04m,AC0.03m,试求直角顶点C处的场强E。
解:
A点电荷在C点产生的场强为
B点电荷在C点产生的场强为E2
,方向向
E1,方向向下
右
E1
1
q1
4
1
E2
1
q2
2.710
4
Vm
1
40
r12
1.810Vm
4
r22
0
题6-4图
根据场强叠加原理,C点场强
EE12E223.24104Vm1
设E与CB夹角为
E1
,tan
E2
arctanE1
arctan2
33.7
E2
3
6-5如图所示的电荷分布为电四极子,它由两个相同的电偶极子组成。
证明在
电四极子轴线的延长线上,离中心为
r(r
re)
的P点处的电场强度为E
3Q
,式中
0r
4
4
题6-5图
Q2qre2,称为这种电荷分布的电四极矩。
解:
由于各电荷在P点产生的电场方向都在x轴上,根据场强叠加原理
EP
q
2q
q
4
(r
r)2
4
r2
4
(r
r)2
0
0
0
e
e
q
[
6r2re2
2re2
40
2
(r
2
2
)
2]
r
re
由于r
re,式中re2可略去
故
3Q
EP
4
6r2re2
6qre2
40r
EP
q
40
r6
40r4
又电四极矩
Q
2qre2
题6-5图
6-6如图所示,一根很长的绝缘棒,均匀
带电,单位长度上的电荷量为,试求距棒的一
端垂直距离为d的P点处的电场强度。
解:
建立如图所示坐标,在棒上任取一线
元dx在P点产生的场强为dE
dq
dx
dx
dE
40r2
40(x2
d2)2
4
0(x2
d2)
场强dE可分解成沿x轴、y轴的分量
dEx
dEsin
dE
x
d2
x2
dEy
dEcos
dE
d
d2
x2
Ex
dEx
dx2
040
2(x2
3
d2)
2
1
1)
8
2d(x2
d2)2
(
0
4
0
d
40d
0
题6-6图
题6-6图
Ey
dEy
d
dx
d
x
04
0(x2
3
1
40d
d2)24
0
2
(x
2
2
)
2
d
d
0
P点场强
E
Ex2
Ey2
4
2
0d
方向与Y轴夹角为
arctanEx
45
Ey
6-7一根带电细棒长为
2l
,沿x轴放置,其一端在原点,电荷线密度
(
AxA
为正的常数)。
求x轴上,x
b
2l
处的电场强度。
解:
在坐标为x处取线元dx,带电量为dq
Axdx,该线元在P点的场强为dE,
方向沿x轴正方向
dE
dq
整个带电细棒在P点产生的电场
40(b
2l
x)2
为
E
2l
Axdx
dE
x)2
040(b2l
题6-7图
A
2lb
2l
x
b
2l
4
0
2
db2lx
b
2l
x
0
A
2l
d(b
2l
x)2
2l
d(b
2l
x)
4
0
[
0
2(b
2l
x)2
0
(b
2l)(b
2l
x)2]
A
2l
A(b
2l)
1
2l
ln(b
2l
x)2
8
0
0
4
0
(b2l
x)0
A
(ln
b
2l)
4
0
b2l
b
场强E方向沿x轴正方向
6-8如图所示,一根绝缘细胶棒弯成半径
为R的半圆形。
其上一半均匀带电荷q,另一半均匀带电荷q。
求圆心O处的场强。
题6-8图
解:
以圆心为原点建立如图所示Oxy坐标,
在胶棒带正电部分任取一线元
dl,与OA夹角为
,线元带电荷量dq
2qdl,在
R
O点产生电场强度
dE
dq
2q
dl
q
2d
4
0R
2
4
2
R
3
2
0
2
0R
把场强dE分解成沿x轴和y轴的分量
dEx
dEsin
dEy
dEcos
Ex
dEx
2
q
sind
q
0
2
2
0R
2
2
2
0R
2
2
q
q
Ey
dEy0
2
2
0R2
cosd
2
2
0R2
题6-8图
同理,胶棒带负电部分在O点的场强E沿x轴方向的分量Ex与Ex大小相等,方
向相同;沿y轴方向的分量Ey与Ey大小相等,方向相反,互相抵消,故点场强为
E2Ex
q
方向沿x轴正向。
2
0R2
6-9
一无限大均匀带电平面,电荷面密度为
,在平面上开一个半径为
R的圆
洞,求在这个圆洞轴线上距洞心
r处一点P的场强。
解:
开了一个圆洞的无限大均匀带电
平面,相当于一个无限大均匀带电平面又
加了一块带异号电荷,面密度
相同的圆
盘。
距洞心r处P点的场强
EpE
E
式中E为无限大均匀带电平面在P点产生的场强
题6-9图
E
2
0
方向垂直于平面向外
E
为半径为R的均匀带负电圆盘在其轴线上距中心为
r处的P产生的场强。
在圆
盘上取半径为r
,宽为dr
的细圆环,在P点产生场强
dE
rdq
3
2rr
dr
3
0(r2
0(r2
4
r2)2
4
r2)2
E
dE
2
r
r
dr
r
[
1
R
R
]
4
0
0
(r
2
r
2
)
32
2
0
2
2
1
2
(r
r)
0
(1
r
)
R2
r2
20
故
EPEE
r
0(R2
r2
1
2
)2
方向垂直圆盘向里
方向垂直平面向外
6-10如图所示,一条长为2l的均匀带电
直线,所带电量为q,求带电直线延长线上
任一点P的场强。
解:
在坐标为r处取线元,带电量
q
dqdrdr
该线元在带电直线延长线上距原点为x的
P点产生的场强为
题6-10图
题6-10图
dq
dE40(xr)2
整个带电直线在P点的场强
qdr
q
ld(xr)
q
l
E
l
1
dE
2l(xr)2
l(xr)2
(
)
l4
0
8
0l
8
0l
xrl
q
(1
1)
2ql
l2)
q
8
0lxl
xl
80l(x2
4
(0x2l)2
6-11用场强叠加原理,求证无限大均匀带平面外任一点的场强大小为E
20
(提示:
把无限大平面分成一个个圆环或一条条细长线,然后进行积分)。
解:
(1)建如图(a)xyz坐标,以板上任一点O为圆心,取半径为r,宽度为dr的环形面积元,带电量为:
dq2rdr。
由圆环电荷在其轴线上任一点P(OPx)的场强公式
2
xrdr
dE
3
40(x2
r2)2
方向沿x轴正方向。
x
1
20(r2
1
20
P点总场强
x2)2
0
x
rdr
EdE
x2)
3
020(r2
2
题6-11(a)图
(0,E的方向沿x轴正方向)
(2)建如图(b)所示的三维坐标,在
与z轴相距为y处取一细长线元,沿y轴方
向单位长度带电荷为dy,由长直带电直线
场强公式,线元在x轴距原点O为a的点P
的场强
dE
1
dy
题6-11(b)图
y2
a2
2
0
由于对称性,dE的y轴分量总和为零
所以
E
dEx
dEcos
a
a2
dy
a2
arctany
2
0
y2
y2
20
a
2
0
2
0
因为
0,所以
E的方向沿
x轴正方向。
6-12
如图所示,半径为
R的带电细圆环,线电荷密度
0cos
,
0为常数,
为半径R与x轴夹角,求圆环中心
解:
在带电圆环上任取一线元
O处的电场强度。
dlRd,带电量为
dq
dl
0cosRd
,线元
与原点
O的连线与
x轴夹角为
,在
O点的场强
dE
大小为
题6-12图
dq
0R
0
dE
40R2
40R2cosd
4
0R
cosd
dE沿x轴和y轴的分量
dEx
dEcos
0
cos2
d
4
0R
dEy
dEsin
0
cos
sind
4
0R
整个带电圆环在O点的场强E沿x轴和y轴的分量
2
1
2
Ex
dEx
0
cos2d
0
(
sin2)
0
04
4
0R
0R24
0
40R
2
sin
2
2
0
0
EydEy
sindsin
(
)0
0
40R
40R
2
0
故
E
Exi
0
i
40R
E的方向沿x轴负方向。
6-13如图所示,两条平行的无限长均匀带电直线,相距为d,线电荷密度分
别为和
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