人教版八年级数学上册课时练 第十二章 全等三角形 单元测试题.docx
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人教版八年级数学上册课时练第十二章全等三角形单元测试题
人教版八年级数学上册课时练第十二章全等三角形单元测试题
一、选择题(30分)
1.下列叙述中错误的是()
A.能够完全重合的图形称为全等图形B.全等图形的形状和大小都相同
C.所有正方形都是全等图形D.形状和大小都相同的两个图形是全等图形
2.如图是由4个相同的小正方形组成的网格图,其中∠1+∠2等于( )
A.150°B.180°C.210°D.225°
3.在平面直角坐标系中,第一个正方形ABCD的位置如图所示,点A的坐标为(2,0),点D的坐标为(0,4),延长CB交x轴于点A1,作第二个正方形A1B1C1C;延长C1B1交x轴于点A2,作第三个正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去,第2018个正方形的面积为( )
A.20×(
)2017B.20×(
)2018C.20×(
)4036D.20×(
)4034
4.如图,AC⊥BE于点C,DF⊥BE于点F,且BC=EF,如果添上一个条件后,可以直接利用“HL”来证明△ABC≌△DEF,则这个条件应该是( )
A.AC=DEB.AB=DEC.∠B=∠ED.∠D=∠A
5.在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠C=∠C′=90°,如图,那么下列各条件中,不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是()
A.AB=A′B′=5,BC=B′C′=3B.AB=B′C′=5,∠A=∠B′=40°
C.AC=A′C′=5,BC=B′C′=3D.AC=A′C′=5,∠A=∠A′=40°
6.如图,在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,点O为斜边AB的中点,点D、E分别在直角边AC、BC上,且∠DOE=90°,DE交OC于点P,则下列结论:
①图中全等三角形有三对;②△ABC的面积等于四边形CDOE面积的
倍;③DE2+2CD•CE=2OA2;④AD2+BE2=2OP•OC.正确的有( )个.
A.1B.2C.3D.4
7.已知:
如图,∠GBC,∠BAC的平分线相交于点F,BE⊥CF于H,若∠AFB=40°,∠BCF的度数为( )
A.40°B.50°C.55°D.60°
8.下列条件中,不能判定两个直角三角形全等的是()
A.两条直角边对应相等B.有两条边对应相等
C.斜边和一锐角对应相等D.一条直角边和斜边对应相等
9.如图所示,点A、B分别是∠NOP、∠MOP平分线上的点,AB⊥OP于点E,BC⊥MN于点C,AD⊥MN于点D,下列结论错误的是( )
A.AD+BC=ABB.与∠CBO互余的角有两个
C.∠AOB=90°D.点O是CD的中点
10.如图,△ABC中,AB⊥BC,BE⊥AC,∠1=∠2,AD=AB,则下列结论不正确的是
A.BF=DFB.∠1=∠EFDC.BF>EFD.FD∥BC
二、填空题(15分)
11.如图,在△ABC和△DBC中,∠A=40°,AB=AC=2,∠BDC=140°,BD=CD,以点D为顶点作∠MDN=70°,两边分别交AB,AC于点M,N,连接MN,则△AMN的周长为___________.
12.如图,△ABE,△BCD均为等边三角形,点A,B,C在同一条直线上,连接AD,EC,AD与EB相交于点M,BD与EC相交于点N,下列说法正确的有:
___________
①AD=EC;②BM=BN;③MN∥AC;④EM=MB.
13.如图,Rt△ABC中,∠C=90°.E为AB中点,D为AC上一点,BF∥AC交DE的延长线于点F.AC=6,BC=5.则四边形FBCD周长的最小值是______.
14.已知:
如图,BD为△ABC的角平分线,且BD=BC,E为BD延长线上的一点,BE=BA,过E作EF⊥AB,F为垂足.下列结论:
①△ABD≌△EBC;②∠BCE+
∠BCD=180°;③AF2=EC2﹣EF2;④BA+BC=2BF.其中正确的是_____.
15.如图,在△ABC和△ADC中,下列论断:
①AB=AD;②∠ABC=∠ADC=90°;③BC=DC.把其中两个论断作为条件,另一个论断作为结论,可以写出_个真命题.
三、解答题(75分)
16.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CA平分∠BCD,AE⊥BC于点E,AF⊥CD交CD的延长线于点F.求证:
△ABE≌△ADF.
17.如图.在△ABC中,AD是角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F.
求证:
EB=FC.
18.在Rt△ABC中,BC=AC,∠ACB=90°,D为射线AB上一点,连接CD,过点C作线段CD的垂线l,在直线l上,分别在点C的两侧截取与线段CD相等的线段CE和CF,连接AE,BF.
(1)当点D在线段AB上时(点D不与点A,B重合),如图23(a).
①请你将图形补充完整;
②线段BF,AD所在直线的位置关系为________,线段BF,AD的数量关系为________.
(2)当点D在线段AB的延长线上时,如图23(b).
在
(1)中②问的结论是否仍然成立?
如果成立,请进行证明;如果不成立,请说明理由.
19.如图,AD是△ABC的角平分线.证明AB:
AC=BD:
CD.
20.如图,在△ABC中,点B,C是x轴上的两个定点,∠ACB=90°,AC=BC,点A(l,3),点P是x轴上的一个动点,点E是AB的中点,在△PEF中,∠PEF=90°,PE=EF
(1)如图1,当点P与坐标原点重合时:
①求证△PCE≌△FBE;②求点F的坐标;
(2)如图2,当点P在线段CB上时,求证S△CPE=S△AEF
(3)如图3,当点P在线段CB的延长线时,若S△AEF=4S△PBE则此刻点F的坐标为________
21.如图,∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AE=AC,AF⊥CB,垂足为F.
(1)求证:
△ABC≌△ADE;
(2)求∠FAE的度数;
(3)求证:
CD=2BF+DE.
22.(问题提出)
学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后,我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究.
(初步思考)
我们不妨将问题用符号语言表示为:
在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,然后,对∠B进行分类,可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究.
(深入探究)
第一种情况:
当∠B是直角时,△ABC≌△DEF.
(1)如图①,在△ABC和△DEF,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E=90°,根据,可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF.
第二种情况:
当∠B是钝角时,△ABC≌△DEF.
(2)如图②,在△ABC和△DEF,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B、∠E都是钝角,求证:
△ABC≌△DEF.
第三种情况:
当∠B是锐角时,△ABC和△DEF不一定全等.
(3)在△ABC和△DEF,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B、∠E都是锐角,请你用尺规在图③中作出△DEF,使△DEF和△ABC不全等.(不写作法,保留作图痕迹)
(4)∠B还要满足什么条件,就可以使△ABC≌△DEF?
请直接写出结论:
在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B、∠E都是锐角,若,则△ABC≌△DEF.
23.
(1)如图
(1),已知:
在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.证明:
DE=BD+CE.
(2)如图
(2),将
(1)中的条件改为:
在△ABC中,AB=AC,D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=
其中
为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?
如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)拓展与应用:
如图(3),D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点(D、A、E三点互不重合),点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形,连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,试判断△DEF的形状.
【参考答案】
1.C2.B3.D4.B5.B6.C7.B8.B9.B10.B
11.4
12.①②③
13.16
14.①②③④.
15.2
16.∵CA平分∠BCD,AE⊥BC,AF⊥CD,∴AE=AF.
在Rt△ABE和Rt△ADF中,∵
∴△ABE≌△ADF(HL).
17.∵AD平分角BACDE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF,
在Rt△BDE和Rt△CDF中,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF,
∴DE=DF.
18.解:
(1)①如图所示.
②∵CD⊥EF,
∴∠DCF=90°.
∵∠ACB=90°,
∴∠ACB=∠DCF,
∴∠ACD=∠BCF.
又∵AC=BC,CD=CF,
∴△ACD≌△BCF,
∴AD=BF,∠BAC=∠FBC,
∴∠ABF=∠ABC+∠FBC=∠ABC+∠BAC=90°,即BF⊥AD.
故答案为:
垂直,相等.
(2)成立.
证明:
∵CD⊥EF,
∴∠DCF=90°,
∵∠ACB
=90°,
∴∠DCF=∠ACB,
∴∠DCF+∠BCD=∠ACB+∠BCD,
∴∠BCF=∠ACD,
又∵AC=BC,CD=CF,
∴△ACD≌△BCF,
∴AD=BF,∠BAC=∠FBC,
∴∠ABF=∠ABC+∠FBC=∠ABC+∠BAC=90°,即BF⊥AD.
19.证明:
过点A作AH⊥BC于H.过点D作DM⊥AB于M,作DN⊥AC于N.
∴S△ABD=
BD×AH=
AB×DM;
S△ADC=
DC×AH=
AC×DN,
∵AD是△ABC的角平分线,
且DM⊥AB于M,DN⊥AC于N,
∴DM=DN,
∴
,
∴AB:
AC=BD:
CD.
20.
(1)证明:
如图1中,
①∵A(1,3),B(4,0),
∴AC=BC=3,△ACB是等腰直角三角形,
∵AE=EB,
∴CE=AE=EB,CE⊥AB,∠ECB=∠EBC=45°,
∴∠CEB=∠OEF=90°,∠ECO=135°,
∴∠OEC=∠FEB,∵OE=EF,EC=EB,
∴△EOC≌△EFB,即△PCE≌△FBE..
②∵△PCE≌△FBE.
∴OC=BF=1,∠EBF=∠OCE=135°,
∴∠OBF=90°,
∴BF⊥OB,
∴F(4,﹣1)
(2)证明:
如图2中,作PM⊥CE于M,FN⊥EB于N.
由
(1)可知∠OEC=∠FEB,OE=EF,EC=EB,
∴△ECP≌△EBF,
∵PM⊥CE于M,FN⊥EB于N,
∴PM=FN(全等三角形对应边上的高相等),
∵S△CPE=
CE•PM,S△AEF=
•AE•FN,
∵CE=AE,PM=NF,
∴S△CPE=S△AEF
(3)如图3中,
由
(2)可知△ECP≌△EBF,推出PC=BF,BF⊥CP,
∵S△CPE=S△AEF,S△AEF=4S△PBE,
∴S△CPE=4S△PBE,
∴PC=4PB,
∴BC=3PB,PB=1,PC=4,
∴BF=PC=4,
∴点F坐标为(4,4).
故答案为(4,4).
21.
(1)∵∠BAD=∠CAE=90°,
∴∠BAC+∠CAD=90°,∠CAD+∠DAE=90°,
∴∠BAC=∠DAE,
在△BAC和△DAE中,
,
∴△BAC≌△DAE(SAS);
(2)∵∠CAE=90°,AC=AE,
∴∠E=45°,
由
(1)知△BAC≌△DAE,
∴∠BCA=∠E=45°,
∵AF⊥BC,
∴∠CFA=90°,
∴∠CAF=45°,
∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°;
(3)延长BF到G,使得FG=FB,
∵AF⊥BG,
∴∠AFG=∠AFB=90°,
在△AFB和△AFG中,
,
∴△AFB≌△AFG(SAS),
∴AB=AG,∠ABF=∠G,
∵△BAC≌△DAE,
∴AB=AD,∠CBA=∠EDA,CB=ED,
∴AG=AD,∠ABF=∠CDA,
∴∠G=∠CDA,
在△CGA和△CDA中,
,
∴△CGA≌△CDA,
∴CG=CD,
∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF,
∴CD=2BF+DE.
22.
(1)解:
HL;
(2)证明:
如图,过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G,过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H,
∵∠B=∠E,且∠B、∠E都是钝角,
∴180°-∠B=180°-∠E,
即∠CBG=∠FEH,
在△CBG和△FEH中,
∴△CBG≌△FEH(AAS),
∴CG=FH,
在Rt△ACG和Rt△DFH中,
AC=DF,CG=FH
∴Rt△ACG≌Rt△DFH(HL),
∴∠A=∠D,
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(AAS);
(3)解:
如图,△DEF和△ABC不全等;
(4)解:
若∠B≥∠A,则△ABC≌△DEF.
23.解:
(1)证明:
∵BD⊥直线m,CE⊥直线m,∴∠BDA=∠CEA=900.
∵∠BAC=900,∴∠BAD+∠CAE=900.
∵∠BAD+∠ABD=900,∴∠CAE=∠ABD.
又AB="AC",∴△ADB≌△CEA(AAS).∴AE=BD,AD=CE.
∴DE="AE+AD="BD+CE.
(2)成立.证明如下:
∵∠BDA=∠BAC=
,∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=1800—
.∴∠DBA=∠CAE.
∵∠BDA=∠AEC=
,AB=AC,∴△ADB≌△CEA(AAS).∴AE=BD,AD=CE.
∴DE=AE+AD=BD+CE.
(3)△DEF为等边三角形.理由如下:
由
(2)知,△ADB≌△CEA,BD=AE,∠DBA=∠CAE,
∵△ABF和△ACF均为等边三角形,∴∠ABF=∠CAF=600.
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF.∴∠DBF=∠FAE.
∵BF=AF,∴△DBF≌△EAF(AAS).∴DF=EF,∠BFD=∠AFE.
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600.
∴△DEF为等边三角形.
(1)因为DE=DA+AE,故由AAS证△ADB≌△CEA,得出DA=EC,AE=BD,从而证得DE=BD+CE.
(2)成立,仍然通过证明△ADB≌△CEA,得出BD=AE,AD=CE,所以DE=DA+AE=EC+BD.
(3)由△ADB≌△CEA得BD=AE,∠DBA=∠CAE,由△ABF和△ACF均等边三角形,得∠ABF=∠CAF=600,FB=FA,所以∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF,即∠DBF=∠FAE,所以△DBF≌△EAF,所以FD=FE,∠BFD=∠AFE,再根据∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600得到△DEF是等边三角形
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