人教版八年级数学上册第十二章 《全等三角形》 单元检测A卷.docx
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人教版八年级数学上册第十二章《全等三角形》单元检测A卷
第十二章《全等三角形》单元检测A卷
一.选择题
1.在下列条件中,能确定两个三角形全等的是( )
A.两边及其中一边的对角对应相等
B.一边及这边上的高对应相等
C.两角及其中一个角的平分线对应相等
D.两边及第三边上的高对应相等
2.如图,已知∠1=∠2,∠A=∠D,AB=DB,则△ABC≌△DBE的依据是( )
A.AASB.ASAC.SASD.SSS
3.如图,在△ABC与△DEF中,给出以下六个条件:
(1)AB=DE;
(2)BC=EF;
(3)AC=DF;(4)∠A=∠D;
(5)∠B=∠E;(6)∠C=∠F.
以其中三个作为已知条件,不能判断△ABC与△DEF全等的是( )
A.
(1)(5)
(2)B.
(1)
(2)(3)C.(4)(6)
(1)D.
(2)(3)(4)
4.如图,已知MB=ND,∠MBA=∠NDC,下列条件中不能判定△ABM≌△CDN的是( )
A.∠M=∠NB.AM=CNC.AB=CDD.AM∥CN
5.如图,已知△ABC的六个元素,则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是( )
A.甲乙B.甲丙C.乙丙D.乙
6.已知:
如图,AD是△ABC的角平分线,且AB:
AC=3:
2,则△ABD与△ACD的面积之比为( )
A.3:
2B.9:
4C.2:
3D.4:
9
7.如图,将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起,使AA′、BB′可以绕点O自由转动,就做成了一个测量工件,则A′B′的长等于内槽宽AB,则判定△OAB≌△OA′B′的理由是( )
A.边边边B.角边角C.边角边D.角角边
8.如图,AD是△ABC的中线,E、F分别在AB、AC上(且E,F不与端点重合),且DE⊥DF,则( )
A.BE+CF>EF
B.BE+CF=EF
C.BE+CF<EF
D.BE+CF与EF的大小关系不确定
9.如图,在△ABC中AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,AD、CE交于点H,已知EH=EB=3,AE=4,则CH的长是( )
A.1B.2C.3D.4
10.如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是( )
A.带①去B.带②去C.带③去D.带①和②去
11.如图,三条公路两两相交,交点分别为A、B、C,现在计划修一个油库,要求到三条公路的距离相等,可供选择的地址有( )
A.一处B.二处C.三处D.四处
12.如图,在△ABC中,∠B=∠C,M为BC上的一点,BN=CM,CP=BM,那么,∠NMP等于( )
A.90°﹣∠AB.90°﹣
∠AC.180°﹣∠AD.45°﹣
∠A
二.填空题
13.已知△DEF≌△MNP,且EF=NP,∠F=∠P,∠D=48°,∠E=52°,MN=12cm,那么∠P的度数 ,DE的长为
14.如图,△ABC≌△ADE,BC的延长线过点E,∠ACB=∠AED=105°,∠CAD=10°,∠B=50°,∠DEF= .
15.如图,点M、A、N在一条直线上,△ABC为等腰三角形,AB=AC,BM⊥MN,CN⊥MN,垂足分别为M、N,且BM=AN,则MN与BM、CN之间的数量关系为 .
16.如图,△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P,若∠BPC=40°,则∠CAP= .
17.如图,已知点C是∠AOB的平分线上一点,点P、P′分别在边OA、OB上.如果要得到OP=OP′,只需要添加以下四个条件中的某一个即可,请写出所有可能的条件的序号 .
①∠OCP=∠OCP′
②∠OPC=∠OP′C
③PC=P′C
④PP′⊥OC.
18.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,BE平分∠ABC交AC于E,交AD于F,FG∥BC,FH∥AC,下列结论:
①AE=AF;②AF=FH;③AG=CE;④AB+FG=BC.其中正确的结论有 .(填序号)
三.解答题
19.如图,点B、F、C、E在同一直线上,AC、DF相交于点G,AB⊥BE,垂足为B,DE⊥BE,垂足为E,且AB=DE,BF=CE.
(1)求证:
△ABC≌△DEF;
(2)若∠A=65°,求∠AGF的度数.
20.如右图,已知DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别是E、F,AE=CF,DC∥AB,
(1)试证明:
DE=BF;
(2)连接DF、BE,猜想DF与BE的关系?
并证明你的猜想的正确性.
21.已知:
如图①,在△AOB和△COD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=50°
(1)求证:
①AC=BD;②∠APB=50°;
(2)如图②,在△AOB和△COD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=α,则AC与BD间的等量关系为 ,∠APB的大小为
22.如图,已知△ABC,分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE,且AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠CAE,连接DC与BE.G、F分别是DC与BE的中点.
(1)求证:
DC=BE;
(2)当∠DAB=80°,求∠AFG的度数;
(3)若∠DAB=α,则∠AFG与α的数量关系是 .
23.如图,在△ABC中,∠BAD=∠DAC,DF⊥AB,DM⊥AC,AF=10cm,AC=14cm,动点E以2cm/s的速度从A点向F点运动,动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动,当一个点到达终点时,另一个点随之停止运动,设运动时间为t.
(1)求证:
在运动过程中,不管t取何值,都有S△AED=2S△DGC.
(2)当t取何值时,△DFE与△DMG全等.
24.一节数学课后,老师布置了一道课后练习题:
如图1,已知在Rt△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,O为AC中点.
(1)如图1,若把三角板的直角顶点放置于点O,两直角边分别与AB、BC交于点M、N,求证:
BM=CN;
(2)若点P是线段AC上一动点,在射线BC上找一点D,使PD=PB,再过点D作BO的平行线,交直线AC于一点E,试在备用图上探索线段ED和OP的关系,并说明理由.
参考答案
一.选择题
1.解:
A、两边及其中一边的对角对应相等,不能判断两个三角形全等,本选项不符合题意;
B、一边及这边上的高对应相等,不能判断两个三角形全等,本选项不符合题意;
C、两角及其中一个角的平分线对应相等,可以根据AAS或ASA注明两个三角形全等,本选项符合题意;
D、两边及第三边上的高对应相等,不能判断两个三角形全等,本选项不符合题意;
故选:
C.
2.解:
∵∠1=∠2,
∴∠ABC=∠DBE,
在△ABC和△DBE中,
,
∴△ABC≌△DBE(ASA),
故选:
B.
3.解:
A、正确,符合判定方法SAS;
B、正确,符合判定方法SSS;
C、正确,符合判定方法AAS;
D、不正确,不符合全等三角形的判定方法.
故选:
D.
4.解:
A、∠M=∠N,符合ASA,能判定△ABM≌△CDN,故A选项不符合题意;
B、根据条件AM=CN,MB=ND,∠MBA=∠NDC,不能判定△ABM≌△CDN,故B选项符合题意;
C、AB=CD,符合SAS,能判定△ABM≌△CDN,故C选项不符合题意;
D、AM∥CN,得出∠MAB=∠NCD,符合AAS,能判定△ABM≌△CDN,故D选项不符合题意.
故选:
B.
5.解:
由图形可知,甲有一边一角,不能判断两三角形全等,
乙有两边及其夹角,能判断两三角形全等,
丙得出两角及其一角对边,能判断两三角形全等,
根据全等三角形的判定得,乙丙正确.
故选:
C.
6.解:
过点D作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.
∵AD为∠BAC的平分线,
∴DE=DF,又AB:
AC=3:
2,
∴S△ABD:
S△ACD=(
AB•DE):
(
AC•DF)=AB:
AC=3:
2.
故选:
A.
7.解:
∵AA′、BB′的中点O连在一起,
∴OA=OA′,OB=OB′,
在△OAB和△OA′B′中,
,
∴△OAB≌△OA′B′(SAS).
所以用的判定定理是边角边.
故选:
C.
8.解:
延长ED到G,使DG=ED,连接CG,FG,
在△BED与△CGD中,
∵
,
∴△BED≌△CGD(SAS),
∴CG=BE,ED=DG,
又∵DE⊥DF
∴FD是EG的垂直平分线,
∴FG=EF
∵GC+CF>FG
∴BE+CF>EF
故选:
A.
9.解:
在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,
∴∠AEH=∠ADB=90°;
∵∠EAH+∠AHE=90°,∠DHC+∠BCH=90°,
∵∠EHA=∠DHC(对顶角相等),
∴∠EAH=∠DCH(等量代换);
∵在△BCE和△HAE中
,
∴△AEH≌△CEB(AAS);
∴AE=CE;
∵EH=EB=3,AE=4,
∴CH=CE﹣EH=AE﹣EH=4﹣3=1.
故选:
A.
10.解:
A、带①去,仅保留了原三角形的一个角和部分边,不能得到与原来一样的三角形,故A选项错误;
B、带②去,仅保留了原三角形的一部分边,也是不能得到与原来一样的三角形,故B选项错误;
C、带③去,不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一条边,符合ASA判定,故C选项正确;
D、带①和②去,仅保留了原三角形的一个角和部分边,同样不能得到与原来一样的三角形,故D选项错误.
故选:
C.
11.解:
∵△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等,
∴△ABC内角平分线的交点满足条件;
如图:
点P是△ABC两条外角平分线的交点,
过点P作PE⊥AB,PD⊥BC,PF⊥AC,
∴PE=PF,PF=PD,
∴PE=PF=PD,
∴点P到△ABC的三边的距离相等,
∴△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等,满足这条件的点有3个;
综上,到三条公路的距离相等的点有4个.
∴可供选择的地址有4个.
故选:
D.
12.解:
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵BN=CM,CP=BM,
∴△MBN≌△PCM,
∴∠BMN=∠CPM,
∵∠PMB=∠NMP+∠BMN=∠C+∠CPM,
∴∠NMP=∠C=
(180°﹣∠A)=90°﹣
∠A.
故选:
B.
二.填空题(共6小题)
13.解:
△DEF中,∠D=48°,∠E=52°,
∴∠F=180°﹣48°﹣52=80°,
∵△DEF≌△MNP,MN=12cm,
∴DE=MN=12cm,∠F=P=80°.
故答案为:
80°;12cm
14.解:
∵∠ACB=105°,∠B=50°,
∴∠CAB=180°﹣∠B﹣∠ACB=180°﹣50°﹣105°=25°.
又∵△ABC≌△ADE,
∴∠D=∠B=50°.
又∵∠ACF=180°﹣105°=75°,∠CAD=10°,
∴∠AFC=180°﹣75°﹣10°=95°,
∴∠EFD=95°,
∴∠DEF=180°﹣95°﹣50°=35°.
故答案为:
35°
15.解:
MN=BM+CN;
理由:
∵BM⊥MN,CN⊥MN,
∴∠BMA=90°,∠ANC=90°,
在Rt△MAB和Rt△NCA中
,
∴Rt△MAB≌Rt△NCA(HL),
∴AM=CN,
∴MN=AM+AN=BM+CN;
故答案为:
MN=BM+CN
16.解:
延长BA,作PN⊥BD,PF⊥BA,PM⊥AC,
设∠PCD=x°,
∵CP平分∠ACD,
∴∠ACP=∠PCD=x°,PM=PN,
∵BP平分∠ABC,
∴∠ABP=∠PBC,PF=PN,
∴PF=PM,
∵∠BPC=40°,
∴∠ABP=∠PBC=∠PCD﹣∠BPC=(x﹣40)°,
∴∠BAC=∠ACD﹣∠ABC=2x°﹣(x°﹣40°)﹣(x°﹣40°)=80°,
∴∠CAF=100°,
在Rt△PFA和Rt△PMA中,
∵
,
∴Rt△PFA≌Rt△PMA(HL),
∴∠FAP=∠PAC=50°.
故答案为:
50°.
17.解:
若添加①,可利用ASA证得△OPC≌△OP′C,那么OP=OP′;
若添加②,可利用AAS证得△OPC≌△OP′C,那么OP=OP′;
若添加③,所得条件为两边及其中一边的对角对应相等,不一定能证得两三角形全等,故错误;
若添加④,利用角平分线上到到角两边的距离相等可得OP=OP′.
故答案为①②④.
18.解:
∵∠FBD=∠ABF,∠FBD+∠BFD=90°,∠ABF+∠AEB=90°,
∴∠BFD=∠AEB,
∴∠AFE=∠AEB,
∴AF=AE,故①正确,
∵FG∥BC,FH∥AC,
∴四边形FGCH是平行四边形,
∴FH=CG,FG=CH,∠FHC=∠C,
∵∠BAD+∠DAC=90°,∠DAC+∠C=90°,
∴∠BAF=∠BHF,
∵BF=BF,∠FBA=∠FBH,
∴△FBA≌△FBH(AAS),
∴FA=FH,故AB=BH,②正确,
∵AF=AE,FH=CG,
∴AE=CG,
∴AG=CE,故③正确,
∵BC=BH+HC,BH=BA,CH=FG,
∴BC=AB+FG,故④正确.
故答案为①②③④.
三.解答题(共6小题)
19.
(1)证明:
∵BF=CE,
∴BF+CF=CE+CF,
即BC=EF.
∵AB⊥BE,DE⊥BE,
∴∠B=∠E=90°.
在△ABC和△DEF中
,
∴△ABC≌△DEF(SAS);
(2)∵△ABC≌△DEF,
∴∠ACB=∠DFE.
∵∠A=65°,
∴∠ACB=25°,
∴∠DFE=25°.
∵∠AGF=∠ACB=∠DFE,
∴∠AGF=50.
20.
(1)证明:
∵AE=CF,
∴AE+EF=CF+EF,
∴AF=CE,
∵DE⊥AC,BF⊥AC,
∴∠AFB=∠DEC=90°,
∵DC∥AB,
∴∠DCE=∠BAF,
在△AFB和△CED中
∴△AFB≌△CED,
∴DE=EF;
(2)
DF=BE,DF∥BE,
证明:
∵DE⊥AC,BF⊥AC,
∴DE∥BF,
∵DE=BF,
∴四边形DEBF是平行四边形,
∴DF=BE,DF∥BE.
21.证明:
(1)∵∠AOB=∠COD=50°,
∴∠AOC=∠BOD,
在△AOC和△BOD中,
∴△AOC≌△BOD,
∴AC=BD,∠CAO=∠DBO,
根据三角形内角和可知∠CAO+∠AOB=∠DBO+∠APB,
∴∠APB=∠AOB=50°.
(2)解:
AC=BD,∠APB=α,
理由是:
∵∠AOB=∠COD=α,
∴∠AOC=∠BOD,
在△AOC和△BOD中,
∴△AOC≌△BOD,
∴AC=BD,∠CAO=∠DBO,
根据三角形内角和可知∠CAO+∠AOB=∠DBO+∠APB,
∴∠APB=∠AOB=α,
故答案为:
相等,α.
22.解:
(1)∵∠DAB=∠CAE,
∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC,
∴∠DAC=∠BAE.
在△ADC和△ABE中
,
∴△ADC≌△ABE(SAS),
∴DC=BE;
(2)连接AG.
∵△ADC≌△ABE,
∴∠ADC=∠ABE.AD=AB.
∵G、F分别是DC与BE的中点,
∴DG=
DC,BF=
BE,
∴DG=BF.
在△ADG和△ABF中
,
∴△ADG≌△ABF(SAS),
∴AG=AF,∠DAG=∠BAF,
∴∠AGF=∠AFG,∠DAG﹣∠BAG=∠BAF﹣∠BAG,
∴∠DAB=∠GAF.
∵∠DAB=80°,
∴∠GAF=80°.
∵∠GAF+∠AFG+∠AGF=180°,
∴∠AFG=50°.
答:
∠AFG=50°;
(3)∵∠DAB=α,
∴∠GAF=α.
∵∠GAF+∠AFG+∠AGF=180°,
∴α+2∠AFG=180°,
∴∠AFG=90°﹣
α.
故答案为:
∠AFG=50°,90°﹣
α.
23.
(1)证明:
∵∠BAD=∠DAC,DF⊥AB,DM⊥AC,
∴DF=DM,
∵S△AED=
AE•DF,S△DGC=
CG•DM,
∴
=
,
∵点E以2cm/s的速度从A点向F点运动,动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动,
∴
=2,
即
=2,
∴在运动过程中,不管取何值,都有S△AED=2S△DGC.
(2)解:
设时间为t时,△DFE与△DMG全等,则EF=MG,
①当M在线段CG的延长线上时,
∵点E以2cm/s的速度从A点向F点运动,动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动,
∴EF=AF﹣AE=10﹣2t,MG=AC﹣CG﹣AM=4﹣t,
即10﹣2t=4﹣t,
解得:
t=6,
当t=6时,MG=﹣2,所以舍去;
②当M在线段CG上时,
∵点E以2cm/s的速度从A点向F点运动,动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动,
∴EF=AF﹣AE=10﹣2t,MG=AM﹣(AC﹣CG)=t﹣4,
即10﹣2t=t﹣4,
解得:
t=
,
综上所述当t=
时,△DFE与△DMG全等.
24.解:
(1)证明:
连结OB.
∵AB=BC,O为AC中点,
∴∠ABO=∠CBO,BO⊥AC.
∵∠ABC=90°,
∴∠ABO=∠CBO=45°,∠A=∠C=45°,
∴∠ABO=∠C=∠CBO,
∴0B=OC.
∵∠MON=90°,
∴∠MOB+∠BON=∠CON+∠BON=90°,
∴∠MOB=∠CON.
在△BOM和Rt△CON中
,
∴△BOM≌△CON(ASA),
∴BM=CN;
(2)OP=DE,OP⊥DE.理由如下:
①如图2,若点P在线段AO上.
∵BO⊥AC,
∴∠BOC=90°.
∵OB∥DE,
∴∠POB=∠PED=90°,
∴OP⊥DE,
∵PB=PD,
∴∠PDB=∠PBD,
∵AB=BC,∠ABC=90°,
∴∠C=45°,
∵BO⊥AC,
∴∠OBC=45°,
∴∠OBC=∠C=45°,
∵∠PBO=∠PBC﹣∠OBC,∠DPC=∠PDB﹣∠C,
∴∠PBO=∠DPC,
∵BO⊥AC,DE⊥AC,
∴∠BOP=∠PED=90°,
在△BPO和△PDE中
,
∴△BPO≌△PDE(AAS);
∴OP=DE;
②若点P在线段CO上.
同理可证OP⊥DE,OP=DE,
∵OB∥DE,
∴∠OBC=∠BDE=45°.
∵PB=PD,
∴∠PDB=∠PBD,
∵∠APB=∠PBD+∠ACB=∠PBD+45°,
∠PDE=∠PDC+∠BDE=∠PDC+45°,
∴∠APB=∠PDE.
在△BPO和△PDE中
,
∴△BPO≌△PDE(AAS);
∴OP=DE.
综上所述:
OP=DE,OP⊥DE.
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