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解析几何理测试
单元检测九 解析几何
(时间:
120分钟 满分:
150分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.到直线3x-4y+1=0的距离为3且与此直线平行的直线方程是( ).
A.3x-4y+4=0
B.3x-4y+4=0,或3x-4y-2=0
C.3x-4y+16=0
D.3x-4y+16=0,或3x-4y-14=0
2.(2011全国课标高考,理7)设直线l过双曲线C的一个焦点,且与C的一条对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|为C的实轴长的2倍,则C的离心率为( ).
A.B.C.2D.3
3.若椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,则双曲线-=1的渐近线方程为( ).
A.y=±xB.y=±2x
C.y=±4xD.y=±x
4.过点A(0,3),被圆(x-1)2+y2=4截得的弦长为2的直线的方程是( ).
A.y=-x+3B.x=0,或y=-x+3
C.x=0,或y=x+3D.x=0
5.已知F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆+=1的两个焦点,P为椭圆上一点且·=c2,则此椭圆离心率的取值范围是( ).
A.B.
C.D.
6.(2011山东高考,理8)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C:
x2+y2-6x+5=0相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为( ).
A.-=1B.-=1
C.-=1D.-=1
7.设A1,A2是椭圆+=1的长轴的两个端点,P1,P2是垂直于A1A2的弦的端点,则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为( ).
A.+=1B.+=1
C.-=1D.-=1
8.抛物线的顶点在坐标原点,焦点与双曲线-=1的一个焦点重合,则该抛物线的标准方程可能是( ).
A.x2=4yB.x2=-4y
C.y2=-12xD.x2=-12y
9.设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,其准线和x轴的交点为C,经过点F的直线l与抛物线交于A,B两点,若·=0,则|AF|-|BF|=( ).
A.
B.-
C.2p
D.-2p
10.(2011浙江高考,理8)已知椭圆C1:
+=1(a>b>0)与双曲线C2:
x2-=1有公共的焦点,C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A,B两点,若C1恰好将线段AB三等分,则( ).
A.a2=
B.a2=13
C.b2=
D.b2=2
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)
11.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最小值为 .
12.“直线ax+2y+1=0和直线3x+(a-1)y+1=0平行”的充要条件是“a= ”.
13.设圆x2+y2=1的一条切线与x轴、y轴分别交于A,B两点,则线段AB长度的最小值为 .
14.已知P为直线x+y-25=0上任意一点,点Q为+=1上任意一点,则|PQ|的最小值为 .
15.(2011山西太原高三模拟)已知直线l1:
4x-3y+6=0和直线l2:
x=-1,抛物线y2=4x的一动点到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为 .
三、解答题(本大题共6小题,共75分)
16.(10分)已知三条直线l1:
x-2y=0,l2:
y+1=0,l3:
2x+y-1=0两两相交,先画出图形,再求过这三个交点的圆的方程.
17.(12分)已知椭圆C:
+=1(a>b>0)的右焦点为F,离心率e=,椭圆C上的点到F距离的最大值为+1,直线l过点F与椭圆C交于不同的两点A,B.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若|AB|=,求直线l的方程.
18.(12分)已知椭圆C:
+y2=1(a>1)的上顶点为A,左、右焦点为F1,F2,直线AF2与圆M:
x2+y2-6x-2y+7=0相切.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若椭圆内的动点P,使|PF1|,|PO|,|PF2|成等比数列(O为坐标原点).求·的取值范围.
19.(13分)已知动点P到定点F(,0)的距离与点P到定直线l:
x=2的距离之比为.
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)设M,N是直线l上的两个点,点E与点F关于原点O对称,若·=0,求|MN|的最小值.
20.(14分)已知椭圆C:
+=1(a>b>0)的离心率e=,左、右焦点分别为F1,F2,抛物线y2=4x的焦点F恰好是该椭圆的一个顶点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知圆M:
x2+y2=的切线l与椭圆相交于A,B两点,那么以AB为直径的圆是否经过定点?
如果是,求出定点的坐标;如果不是,请说明理由.
21.(14分)已知中心在原点的椭圆C:
+=1的一个焦点为F1(0,3),M(x,4)(x>0)为椭圆C上一点,△MOF1的面积为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)是否存在平行于OM的直线l,使得直线l与椭圆C相交于A,B两点,且以线段AB为直径的圆恰好经过原点?
若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
参考答案
一、选择题
1.D 解析:
设所求直线方程为3x-4y+m=0.由=3,
解得m=16,或m=-14.
即所求直线方程为3x-4y+16=0,或3x-4y-14=0.
2.B 解析:
设双曲线的两焦点分别为F1、F2,
由题意可知|F1F2|=2c,|AB|=2|AF1|=4a,在Rt△AF1F2中,
∵|AF1|=2a,|F1F2|=2c,|AF2|=,
∴|AF2|-|AF1|=-2a=2a,即3a2=c2,
∴e==.
3.A 解析:
由题意=,
所以a2=4b2.
故双曲线的方程可化为-=1,
故其渐近线方程为y=±x.
4.B 解析:
当过点A(0,3)且斜率不存在的直线与圆的相交弦长为2,此时,弦所在直线方程为x=0;
当弦所在的直线斜率存在时,设弦所在直线l的方程为y=kx+3,即kx-y+3=0.
因为弦长为2,圆的半径为2,
所以弦心距为=1,由点到直线距离公式得=1,解得k=-.
综上,所求直线方程为x=0或y=-x+3.
5.C 解析:
设P(x,y),·=(-c-x,-y)·(c-x,-y)=x2+y2-c2=c2,
所以,x2+y2=2c2.
又+=1,可得x2+b2-x2=2c2,整理得x2=,而0≤x2≤a2,故0≤≤a2,解得≤e≤.
6.A 解析:
由题意得,-=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为y=±x,即bx±ay=0,
又圆C的标准方程为(x-3)2+y2=4,半径为2,圆心坐标为(3,0).
∴a2+b2=32=9,且=2,解得a2=5,b2=4.
∴该双曲线的方程为-=1.
7.C 解析:
设交点为P(x,y),A1(-3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,-y0).
∵A1,P1,P共线,∴=.①
∵A2,P2,P共线,∴=.②
由①②解得x0=,y0=,
代入+=1,化简,得-=1.
8.D 解析:
由题意,得c==3.
∴抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0,-3).∴抛物线的标准方程为x2=12y或x2=-12y.
9.C 解析:
设A,
B,C,F(p>0),
则由·=0知,CB⊥FB,
由勾股定理得,|CF|2=|CB|2+|BF|2,即p2=+++,
解得=(-2)p2.
由y1y2=-p2知==(+2)p2,
于是|AF|-|BF|=-=p-p=2p.
10.C 解析:
如图,设M,N为三等分点,N(x,y),由已知c=,故a2-b2=5,即b2=a2-5,且双曲线的渐近线方程为y=±2x,根据对称性,我们只需联立即可,
由以上方程组可得出+=1,解得x2=,
又∵|ON|2=x2+y2=5x2=5==,
∴a2=,b2=a2-5=.
二、填空题
11. 解析:
由题意知F(-2,0),设点P(x0,y0),则有+=1,可得=5.
又=(x0,y0),=(x0+2,y0),
∴·=x0(x0+2)+=+2x0+5=+2x0+5.
又x0∈(-3,3),∴当x0=-时,·取得最小值,
·的最小值为×+2×+5=.
12.-2 解析:
由
得a=-2,
∴两直线平行的充要条件是“a=-2”.
13.2 解析:
设直线AB的方程为+=1,此直线与圆x2+y2=1相切,
则有d===1,即得=|ab|≤,解得|AB|=≥2,当且仅当|a|=|b|时,等号成立.即线段AB长度的最小值为2.
14.10 解析:
设与直线x+y-25=0平行且与椭圆相切的直线的方程为x+y-m=0(m>0),如图,可知两平行线间的距离即为|PQ|的最小值,
由得25x2-32mx+16m2-16×9=0,
则Δ=(-32m)2-4×25×(16m2-16×9)=0,解得m=5.
∴两平行线间的距离为=10,
即|PQ|的最小值为10.
15.2 解析:
如图所示,由抛物线定义可得|MN|=|MF|,
则|MN|+|ME|=|MF|+|ME|,其和的最小值为点F(1,0)到直线4x-3y+6=0的距离d==2.
三、解答题
16.解:
由题意可知,l2平行于x轴,l1与l3互相垂直.
三交点A,B,C构成直角三角形,经过A,B,C三点的圆就是以AB为直径的圆.
解方程组得
所以点A的坐标是(-2,-1).
解方程组得
所以点B的坐标是(1,-1).
线段AB的中点坐标是,
又|AB|==3,
所以所求圆的标准方程是+(y+1)2=.
17.解:
(1)由题意知,=,a+c=+1,
所以a=,c=1,从而b=1,
故椭圆C的方程为+y2=1.
(2)容易验证直线l的斜率不为0,故可设直线l的方程为x=my+1,代入+y2=1中,得(m2+2)y2+2my-1=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则由根与系数的关系,得y1+y2=-,y1y2=-.
则|AB|=|y2-y1|
=
=
==,
解得m=±.
所以,直线l的方程为x=±y+1,即x+y-1=0或x-y-1=0.
18.解:
(1)将圆M的一般方程x2+y2-6x-2y+7=0化为标准方程(x-3)2+(y-1)2=3,圆M的圆心为M(3,1),半径长r=.
由A(0,1),F2(c,0)(c=)得直线AF2:
+y=1,即x+cy-c=0.
由直线AF2与圆M相切,
得=,
解得c=,或c=-(舍去).
当c=时,a2=c2+1=3,
故椭圆C的方程为+y2=1.
(2)由
(1)知F1(-,0),F2(,0),
设P(x,y),由题意|PO|2=|PF1|·|PF2|,
即()2=·,
化简得x2-y2=1.
·=x2-2+y2=2x2-3.
∵1≤x2<,∴-1≤·<0.
19.解:
(1)设点P(x,y),依题意,有=.
整理,得+=1.
所以动点P的轨迹C的方程为+=1.
(2)∵点E与点F关于原点O对称,
∴点E的坐标为(-,0).
∵M,N是直线l上的两个点,
∴可设M(2,y1),N(2,y2)(不妨设y1>y2).
∵·=0,
∴(3,y1)·(,y2)=0,
即6+y1y2=0,即y2=-.
由于y1>y2,则y1>0,y2<0,
∴|MN|=y1-y2=y1+
≥2=2.
当且仅当y1=,y2=-时,等号成立.
故|MN|的最小值为2.
20.解:
(1)∵椭圆C的离心率e=,
∴=,即a=c.
∵抛物线y2=4x的焦点F(,0)恰好是该椭圆的一个顶点,
∴a=,∴c=1,b=1.
∴椭圆C的方程为+y2=1.
(2)①当直线l的斜率不存在时.
∵直线l与圆M相切,故其中的一条切线方程为x=.
由
得A,B,
则以AB为直径的圆的方程为+y2=.
②当直线l的斜率为零时.
∵直线l与圆M相切,故其中的一条切线方程为y=-.
由
得A,B,
则以AB为直径的圆的方程为x2+=.
显然以上两圆的一个交点为O(0,0).
③当直线l的斜率存在且不为零时.
设直线l的方程为y=kx+m.
由
消去y得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1·x2=.
所以y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=.
所以·=x1x2+y1y2=.①
因为直线l和圆M相切,所以圆心到直线l的距离d==,整理得m2=(1+k2).②
将②式代入①式,得·=0,显然以AB为直径的圆经过定点O(0,0).
综上可知,以AB为直径的圆过定点(0,0).
21.解:
(1)因为椭圆C的一个焦点为F1(0,3),
所以b2=a2+9.
则椭圆C的方程为+=1.
因为x>0,所以=×3×x=,解得x=1.
故点M的坐标为(1,4).
因为M(1,4)在椭圆上,
所以+=1,得a4-8a2-9=0,解得a2=9或a2=-1(不合题意,舍去),
则b2=9+9=18,所以椭圆C的方程为+=1.
(2)假设存在符合题意的直线l与椭圆C相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,
其方程为y=4x+m(因为直线OM的斜率k=4).
由消去y化简得18x2+8mx+m2-18=0.
进而得到x1+x2=-,x1x2=.
因为直线l与椭圆C相交于A,B两点,
所以Δ=(8m)2-4×18×(m2-18)>0,
化简得m2<162,解得-9 因为以线段AB为直径的圆恰好经过原点,所以·=0, 所以x1x2+y1y2=0. 又y1y2=(4x1+m)(4x2+m)=16x1x2+4m(x1+x2)+m2, x1x2+y1y2=17x1x2+4m(x1+x2)+m2=-+m2=0. 解得m=±. 由于±∈(-9,9), 所以符合题意的直线l存在,且所求的直线l的方程为y=4x+或y=4x-.
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