1718武昌区c组九上期中数学试题及答案.docx
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1718武昌区c组九上期中数学试题及答案
2017-2018学年湖北省武汉市武昌区C组九年级(上)期中数学试卷
一、选择题(共10小题,每小题3分,满分30分)
1.(3.00分)下列图形是中心对称图形的是( )
A.
B.
C.
D.
2.(3.00分)一元二次方程x2+x﹣1=0的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.没有实数根D.无法判断
3.(3.00分)方程2x2+4x﹣6=0两根之积等于( )
A.3B.﹣6C.6D.﹣3
4.(3.00分)抛物线y=2(x﹣3)2+1的顶点坐标是( )
A.(3,1)B.(3,﹣1)C.(﹣3,1)D.(﹣3,﹣1)
5.(3.00分)如图,在平面直角坐标系中,点B、C、E、在y轴上,Rt△ABC经过变换得到Rt△ODE.若点C的坐标为(0,1),AC=2,则这种变换可以是( )
A.△ABC绕点C顺时针旋转90°,再向下平移3
B.△ABC绕点C顺时针旋转90°,再向下平移1
C.△ABC绕点C逆时针旋转90°,再向下平移1
D.△ABC绕点C逆时针旋转90°,再向下平移3
6.(3.00分)把抛物线y=﹣
向下平移3个单位长度再向左平移2个单位长度的解析式为( )
A.y=﹣
(x+2)2+3B.y=﹣
(x+2)2﹣3C.y=﹣
(x+3)2﹣2D.y=﹣
(x﹣3)2+2
7.(3.00分)如图,在△ABC中,∠CAB=65°,将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置,使CC′∥AB,则旋转角的度数为( )
A.35°B.40°C.50°D.65°
8.(3.00分)若二次函数y=x2+bx+c的图象的对称轴是经过点(2,0)且平行于y轴的直线,且过点(5,5),则关于x的方程x2+bx+c=5的解为( )
A.x1=0或x2=4B.x1=1或x2=5C.x1=﹣1或x2=5D.x1=1或x2=﹣5
9.(3.00分)要组织一次排球邀请赛,参赛的每个队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛.设比赛组织者应邀请x个队参赛,则x满足的关系式为( )
A.
x(x+1)=28B.
x(x﹣1)=28C.x(x+1)=28D.x(x﹣1)=28
10.(3.00分)设二次函数y1=a(x﹣x1)(x﹣x2)(a≠0,x1≠x2)的图象与一次函数y2=dx+e(d≠0)的图象交于点(x1,0),若函数y=y1+y2的图象与x轴仅有一个交点,则( )
A.a(x1﹣x2)=dB.a(x2﹣x1)=dC.a(x1﹣x2)2=dD.a(x1+x2)2=d
二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分)
11.(3.00分)方程x2﹣3x+1=0的二次项系数是 ;一次项系数是 ;常数项是 .
12.(3.00分)若a2﹣3b=5,则6b﹣2a2= .
13.(3.00分)函数y=x2﹣x+1的图象与y轴的交点坐标是 .
14.(3.00分)有一人患了流感,经过两轮传染后共有64人患了流感,按照这样的速度,平均每人传染 人.
15.(3.00分)如图是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2m时,水面宽4m,则水面下降1m时,水面宽度增加 m.
16.(3.00分)如图,一段抛物线:
y=﹣x(x﹣3)(0≤x≤3),记为C1,它与x轴交于点O,A1;
将C1绕点A1旋转180°得C2,交x轴于点A2;
将C2绕点A2旋转180°得C3,交x轴于点A3;
…
如此进行下去,直至得C13.若P(37,m)在第13段抛物线C13上,则m= .
三、解答题(本大题共8个大题,共72分.)
17.(8.00分)解方程:
(1)x2+2x﹣1=0
(2)x(x+4)=3x+12.
18.(8.00分)如图:
△ABC、△ECD都是等边三角形,且B、C、D在同一直线上.
(1)求证:
BE=AD;
(2)△EBC可以看做是△DAC经过平移、轴对称或旋转得到,请说明得到△EBC的过程.
19.(8.00分)已知关于x的一元二次方程(x﹣3)(x﹣2)=|m|.
(1)求证:
对于任意实数m,方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程的一个根是1,求m的值及方程的另一个根.
20.(8.00分)如图,已知二次函数y=ax2+bx+3的图象过点A(﹣1,0),顶点坐标为(1,m).
(1)求该二次函数的关系式和m值;
(2)结合图象,解答下列问题:
(直接写出答案)
①当x取什么值时,该函数的图象在x轴下方?
②当﹣1<x<2时,直接写出函数y的取值范围.
21.(8.00分)如图是由边长为1的小正三角形组成的网格图,点O和△ABC的顶点都在正三角形的格点上,将△ABC绕点O逆时针旋转120°得到△A′B′C′.
(1)在网格中画出旋转后的△A′B′C′;
(2)以O为原点AB所在直线为x轴建立坐标系直接写出A′、B′、C′三点的坐标.
22.(10.00分)某网店打出促销广告:
最潮新款服装30件,每件售价300元.若一次性购买不超过10件时,售价不变;若一次性购买超过10件时,每多买1件,所买的每件服装的售价均降低3元.已知该服装成本是每件200元,设顾客一次性购买服装x件时,该网店从中获利y元.
(1)求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)顾客一次性购买多少件时,该网店从中获利最多?
23.(10.00分)如图1,点O是正方形ABCD两对角线的交点,分别延长OD到点G,OC到点E,使OG=2OD,OE=2OC,然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG,连接AG,DE.
(1)求证:
DE⊥AG;
(2)正方形ABCD固定,将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°<α<360°)得到正方形OE′F′G′,如图2.
①在旋转过程中,当∠OAG′是直角时,求α的度数;
②若正方形ABCD的边长为1,在旋转过程中,求AF′长的最大值和此时α的度数,直接写出结果不必说明理由.
24.(12.00分)如图1,在平面直角坐标系中,抛物线C1:
y=ax2+bx﹣a2关于y轴对称且有最小值﹣1.
(1)求抛物线C1的解析式;
(2)在图1中抛物线C1顶点为A,将抛物线C1绕点B旋转180°后得到抛物线C2,直线y=kx﹣2k+4总经过一定点M,若过定点M的直线与抛物线C2只有一个公共点,求直线l的解析式.
(3)如图2,先将抛物线C1向上平移使其顶点在原点O,再将其顶点沿直线y=x平移得到抛物线C3,设抛物线C3与直线y=x交于C、D两点,求线段CD的长.
2017-2018学年湖北省武汉市武昌区C组九年级(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(共10小题,每小题3分,满分30分)
1.(3.00分)下列图形是中心对称图形的是( )
A.
B.
C.
D.
【解答】解:
由中心对称的定义知,绕一个点旋转180°后能与原图重合,则只有选项A是中心对称图形.
故选:
A.
2.(3.00分)一元二次方程x2+x﹣1=0的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.没有实数根D.无法判断
【解答】解:
∵a=1,b=1,c=﹣1,
∴△=b2﹣4ac=12﹣4×1×(﹣1)=5>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
故选:
A.
3.(3.00分)方程2x2+4x﹣6=0两根之积等于( )
A.3B.﹣6C.6D.﹣3
【解答】解:
方程2x2+4x﹣6=0的两个之积为
=﹣3,
故选:
D.
4.(3.00分)抛物线y=2(x﹣3)2+1的顶点坐标是( )
A.(3,1)B.(3,﹣1)C.(﹣3,1)D.(﹣3,﹣1)
【解答】解:
由y=2(x﹣3)2+1,根据顶点式的坐标特点可知,顶点坐标为(3,1).
故选:
A.
5.(3.00分)如图,在平面直角坐标系中,点B、C、E、在y轴上,Rt△ABC经过变换得到Rt△ODE.若点C的坐标为(0,1),AC=2,则这种变换可以是( )
A.△ABC绕点C顺时针旋转90°,再向下平移3
B.△ABC绕点C顺时针旋转90°,再向下平移1
C.△ABC绕点C逆时针旋转90°,再向下平移1
D.△ABC绕点C逆时针旋转90°,再向下平移3
【解答】解:
根据图形可以看出,△ABC绕点C顺时针旋转90°,再向下平移3个单位可以得到△ODE.
故选:
A.
6.(3.00分)把抛物线y=﹣
向下平移3个单位长度再向左平移2个单位长度的解析式为( )
A.y=﹣
(x+2)2+3B.y=﹣
(x+2)2﹣3C.y=﹣
(x+3)2﹣2D.y=﹣
(x﹣3)2+2
【解答】解:
∵抛物线y=﹣
的顶点坐标是(0,0),
∴抛物线y=﹣
向下平移3个单位长度再向左平移2个单位长度后,那么得到的抛物线的顶点坐标为:
(﹣2,﹣3),
则平移后抛物线的解析式为:
y=﹣
(x+2)2﹣3.
故选:
B.
7.(3.00分)如图,在△ABC中,∠CAB=65°,将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置,使CC′∥AB,则旋转角的度数为( )
A.35°B.40°C.50°D.65°
【解答】解:
∵CC′∥AB,
∴∠ACC′=∠CAB=65°,
∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′,
∴AC=AC′,
∴∠CAC′=180°﹣2∠ACC′=180°﹣2×65°=50°,
∴∠CAC′=∠BAB′=50°.
故选:
C.
8.(3.00分)若二次函数y=x2+bx+c的图象的对称轴是经过点(2,0)且平行于y轴的直线,且过点(5,5),则关于x的方程x2+bx+c=5的解为( )
A.x1=0或x2=4B.x1=1或x2=5C.x1=﹣1或x2=5D.x1=1或x2=﹣5
【解答】解:
根据题意得抛物线的对称轴为直线x=2,
则﹣
=2,解得b=﹣4,
把(5,5)代入y=x2﹣4x+c,得c=0,
所以二次函数解析式为y=x2﹣4x,
解方程x2﹣4x﹣5=0得x1=﹣1,x2=5.
故选:
C.
9.(3.00分)要组织一次排球邀请赛,参赛的每个队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛.设比赛组织者应邀请x个队参赛,则x满足的关系式为( )
A.
x(x+1)=28B.
x(x﹣1)=28C.x(x+1)=28D.x(x﹣1)=28
【解答】解:
每支球队都需要与其他球队赛(x﹣1)场,但2队之间只有1场比赛,
所以可列方程为:
x(x﹣1)=4×7.
故选:
B.
10.(3.00分)设二次函数y1=a(x﹣x1)(x﹣x2)(a≠0,x1≠x2)的图象与一次函数y2=dx+e(d≠0)的图象交于点(x1,0),若函数y=y1+y2的图象与x轴仅有一个交点,则( )
A.a(x1﹣x2)=dB.a(x2﹣x1)=dC.a(x1﹣x2)2=dD.a(x1+x2)2=d
【解答】解:
∵一次函数y2=dx+e(d≠0)的图象经过点(x1,0),
∴dx1+e=0,
∴y2=d(x﹣x1),
∴y=y1+y2=a(x﹣x1)(x﹣x2)+d(x﹣x1)
=ax2﹣axx2﹣ax1x+ax1x2+dx﹣dx1
=ax2+(d﹣ax2﹣ax1)x+ax1x2﹣dx1
∵当x=x1时,y1=0,y2=0,
∴当x=x1时,y=y1+y2=0,
∵y=ax2+(d﹣ax2﹣ax1)x+ax1x2﹣dx1与x轴仅有一个交点,
∴y=y1+y2的图象与x轴的交点为(x1,0)
∴
=x1,
化简得:
a(x2﹣x1)=d
故选:
B.
二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分)
11.(3.00分)方程x2﹣3x+1=0的二次项系数是 1 ;一次项系数是 ﹣3 ;常数项是 1 .
【解答】解:
方程x2﹣3x+1=0的二次项系数是:
1;一次项系数是:
﹣3;常数项是:
1.
故答案为:
1,﹣3,1.
12.(3.00分)若a2﹣3b=5,则6b﹣2a2= ﹣10 .
【解答】解:
∵a2﹣3b=5,
∴原式=﹣2(a2﹣3b)=﹣10,
故答案为:
﹣10
13.(3.00分)函数y=x2﹣x+1的图象与y轴的交点坐标是 (0,1) .
【解答】解:
当x=0时,y=x2﹣x+1=1,
所以抛物线与y轴的交点坐标为(0,1).
故答案为(0,1).
14.(3.00分)有一人患了流感,经过两轮传染后共有64人患了流感,按照这样的速度,平均每人传染 7 人.
【解答】解:
设每轮传染中平均一个人传染了x人,则
1+x+x(x+1)=64,
解得x1=7,x2=﹣9(舍去).
答:
每轮传染中平均一个人传染了7个人.
故答案为7.
15.(3.00分)如图是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2m时,水面宽4m,则水面下降1m时,水面宽度增加 (2
﹣4) m.
【解答】解:
建立平面直角坐标系,设横轴x通过AB,纵轴y通过AB中点O且通过C点,则通过画图可得知O为原点,
抛物线以y轴为对称轴,且经过A,B两点,OA和OB可求出为AB的一半2米,抛物线顶点C坐标为(0,2),
通过以上条件可设顶点式y=ax2+2,其中a可通过代入A点坐标(﹣2,0),
到抛物线解析式得出:
a=﹣0.5,所以抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2,
当水面下降1米,通过抛物线在图上的观察可转化为:
当y=﹣1时,对应的抛物线上两点之间的距离,也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离,
可以通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出:
﹣1=﹣0.5x2+2,
解得:
x=±
,
所以水面宽度增加到2
米,比原先的宽度当然是增加了2
﹣4,
故答案为:
(2
﹣4).
16.(3.00分)如图,一段抛物线:
y=﹣x(x﹣3)(0≤x≤3),记为C1,它与x轴交于点O,A1;
将C1绕点A1旋转180°得C2,交x轴于点A2;
将C2绕点A2旋转180°得C3,交x轴于点A3;
…
如此进行下去,直至得C13.若P(37,m)在第13段抛物线C13上,则m= 2 .
【解答】解:
∵一段抛物线:
y=﹣x(x﹣3)(0≤x≤3),
∴图象与x轴交点坐标为:
(0,0),(3,0),
∵将C1绕点A1旋转180°得C2,交x轴于点A2;
将C2绕点A2旋转180°得C3,交x轴于点A3;
…
如此进行下去,直至得C13.
∴C13的解析式与x轴的交点坐标为(36,0),(39,0),且图象在x轴上方,
∴C13的解析式为:
y13=﹣(x﹣36)(x﹣39),
当x=37时,y=﹣(37﹣36)×(37﹣39)=2.
故答案为:
2.
三、解答题(本大题共8个大题,共72分.)
17.(8.00分)解方程:
(1)x2+2x﹣1=0
(2)x(x+4)=3x+12.
【解答】解:
(1)x2+2x=1,
x2+2x+1=2,
(x+1)2=2,
x+1=±
,
所以x1=﹣1+
,x2=﹣1﹣
;
(2)x(x+4)﹣3(x+4)=0,
(x+4)(x﹣3)=0,
x+4=0或x﹣3=0,
所以x1=﹣4,x2=3.
18.(8.00分)如图:
△ABC、△ECD都是等边三角形,且B、C、D在同一直线上.
(1)求证:
BE=AD;
(2)△EBC可以看做是△DAC经过平移、轴对称或旋转得到,请说明得到△EBC的过程.
【解答】证明:
(1)∵△ABC和△ECD都是等边三角形,
∴AC=BC,EC=DC,∠ACB=∠ECD=60°,
∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE,
即∠ACD=∠BCE,
在△ACD于△BCE中,
,
∴△ACD≌△BCE,
∴AD=BE;
(2)解:
∵△ECD是等边三角形,
∴CD=CE,∠DCE=60°,
同理CA=CB,∠ACB=60°
∴以点C为旋转中心将△DAC逆时针旋转60°就得到△EBC.
19.(8.00分)已知关于x的一元二次方程(x﹣3)(x﹣2)=|m|.
(1)求证:
对于任意实数m,方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程的一个根是1,求m的值及方程的另一个根.
【解答】
(1)证明:
∵(x﹣3)(x﹣2)=|m|,
∴x2﹣5x+6﹣|m|=0,
∵△=(﹣5)2﹣4(6﹣|m|)=1+4|m|,
而|m|≥0,
∴△>0,
∴方程总有两个不相等的实数根;
(2)解:
∵方程的一个根是1,
∴|m|=2,
解得:
m=±2,
∴原方程为:
x2﹣5x+4=0,
解得:
x1=1,x2=4.
即m的值为±2,方程的另一个根是4.
20.(8.00分)如图,已知二次函数y=ax2+bx+3的图象过点A(﹣1,0),顶点坐标为(1,m).
(1)求该二次函数的关系式和m值;
(2)结合图象,解答下列问题:
(直接写出答案)
①当x取什么值时,该函数的图象在x轴下方?
②当﹣1<x<2时,直接写出函数y的取值范围.
【解答】解:
(1)∵二次函数y=ax2+bx+3的图象过点A(﹣1,0),顶点坐标为(1,m),
∴
,
解得:
a=﹣1,b=2,
即二次函数的关系式是y=﹣x2+2x+3,
把(1,m)代入得:
m=﹣1+2+3=4;
(2)①当x<﹣1或x>3时,该函数的图象在x轴下方;
②当﹣1<x<2时,函数y的取值范围是0<y≤4.
21.(8.00分)如图是由边长为1的小正三角形组成的网格图,点O和△ABC的顶点都在正三角形的格点上,将△ABC绕点O逆时针旋转120°得到△A′B′C′.
(1)在网格中画出旋转后的△A′B′C′;
(2)以O为原点AB所在直线为x轴建立坐标系直接写出A′、B′、C′三点的坐标.
【解答】解:
(1)如图,△A′B′C′为所作;
(2)∵OD=A′Ocos60°=
、A′D=A′Osin60°=
,
∴A′坐标为(﹣
,
);
∵OE=B′Ocos60°=2×
=1、B′E=B′Osin60°=2×
=
,
∴B′坐标为(﹣1,
);
∵OF=1×
=
、C′F=
,
∴C′坐标为(﹣
,
).
22.(10.00分)某网店打出促销广告:
最潮新款服装30件,每件售价300元.若一次性购买不超过10件时,售价不变;若一次性购买超过10件时,每多买1件,所买的每件服装的售价均降低3元.已知该服装成本是每件200元,设顾客一次性购买服装x件时,该网店从中获利y元.
(1)求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)顾客一次性购买多少件时,该网店从中获利最多?
【解答】解:
(1)y=
,
(2)在0≤x≤10时,y=100x,当x=10时,y有最大值1000;
在10<x≤30时,y=﹣3x2+130x,
当x=21
时,y取得最大值,
∵x为整数,根据抛物线的对称性得x=22时,y有最大值1408.
∵1408>1000,
∴顾客一次购买22件时,该网站从中获利最多.
23.(10.00分)如图1,点O是正方形ABCD两对角线的交点,分别延长OD到点G,OC到点E,使OG=2OD,OE=2OC,然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG,连接AG,DE.
(1)求证:
DE⊥AG;
(2)正方形ABCD固定,将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°<α<360°)得到正方形OE′F′G′,如图2.
①在旋转过程中,当∠OAG′是直角时,求α的度数;
②若正方形ABCD的边长为1,在旋转过程中,求AF′长的最大值和此时α的度数,直接写出结果不必说明理由.
【解答】解:
(1)如图1,延长ED交AG于点H,
∵点O是正方形ABCD两对角线的交点,
∴OA=OD,OA⊥OD,
∵OG=OE,
在△AOG和△DOE中,
,
∴△AOG≌△DOE,
∴∠AGO=∠DEO,
∵∠AGO+∠GAO=90°,
∴∠GAO+∠DEO=90°,
∴∠AHE=90°,
即DE⊥AG;
(2)①在旋转过程中,∠OAG′成为直角有两种情况:
(Ⅰ)α由0°增大到90°过程中,当∠OAG′=90°时,
∵OA=OD=
OG=
OG′,
∴在Rt△OAG′中,sin∠AG′O=
=
,
∴∠AG′O=30°,
∵OA⊥OD,OA⊥AG′,
∴OD∥AG′,
∴∠DOG′=∠AG′O=30°,
即α=30°;
(Ⅱ)α由90°增大到180°过程中,当∠OAG′=90°时,
同理可求∠BOG′=30°,
∴α=180°﹣30°=150°.
综上所述,当∠OAG′=90°时,α=30°或150°.
②如图3,当旋转到A、O、F′在一条直线上时,AF′的长最大,
∵正方形ABCD的边长为1,
∴OA=OD=OC=OB=
,
∵OG=2OD,
∴OG′=OG=
,
∴OF′=2,
∴AF′=AO+OF′=
+2,
∵∠COE′=45°,
∴此时α=315°.
24.(12.00分)如图1,在平面直角坐标系中,抛物线C1:
y=ax2+bx﹣a2关于y轴对称且有最小值﹣1.
(1)求抛物线C1的解析式;
(2)在图1中抛物线C1顶点为A,将抛物线C1绕点B旋转180°后得到抛物线C2,直线y=kx﹣2k+4总经过一定点M,若过定点M的直线与抛物线C2只有一个公共点,求直线l的解析式.
(3)如图2,先将抛物线C1向上平移使其顶点在原点O,再将其顶点沿直线y=x平移得到抛物线C3,设抛物线C3与直线y=x交于C、D两点,求线段CD的长.
【解答】解:
(1)∵抛物线的对称轴为y轴,
∴﹣
=0,解得b=0.
∴抛物线的解析式为y=ax2﹣a2,
∴当x=0抛物线有最小值,即﹣a2=﹣1,解得:
a=1或a=﹣1(舍去).
∴抛物线C1的解析式y=x2﹣1.
(2)∵抛物线C1的解析式y=x2﹣1,
∴A(0,﹣1).
设抛物线C1与x轴的令一个交点为D.
令y=0得:
x2﹣1=0,解得:
x=±1.
∴D(﹣1,0).
将抛物线C1绕点B旋转180°后得到抛物线C2,
∴点D对应点的坐标为(3,0),点A对应点的坐标为(2,1).
设C2的解析式为y=m(x﹣3)(x﹣1),将(2,1)代入得:
﹣m=1,解得m=﹣1.
∴C2的解析式为y=﹣x2+4x﹣3.
∵直线y=kx﹣2k+4总经过一定点M,
∴定点M为(2,4),
①经过定点M(2,4),与y轴平行的直线l:
x=2与抛物线C3总有一个公共点(2,1).
②将y=kx﹣2k+4与y=﹣x2+4x﹣3联立得:
﹣x2+4x﹣3=kx﹣2k+4,整理得:
x2﹣(4﹣k)x+7﹣2k=0.
∵过定点M的直线与抛物线C2只有一个公共点,
∴△=k2﹣12=0,解得k=±2
.
∴过定点M的直线的解析式为y=2
x+4﹣4
或y=﹣2
x+4+4
,
综上所述,过定点M,共有三条直线l:
x=2或y=2
x+4﹣4
或y=﹣2
x+4+4
,它们分别与抛物线C3只有一个公共点.
(3)以平移后抛物
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