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大学生数学建模
城市表层土壤重金属污染分析
摘要
本文首先对题目进行分析,对所给的信息进行整合处理,分别统计出各个地区的数据信息和各种重金属元素在该城区的相关数据信息。
将海拔高度以10m为间隔分割成若干区间,用EXCLE绘制出浓度与海拔的直方图;再将各个重金属元素在该城市区的数据信息导入到MATLAB的空间中,从而绘制出各个重金属的浓度在该城区的平面分布图。
接着再将附件一中的数据信息导入到MATLAB中,绘制出各个地区在该城区的平面分布图和地势图。
然后将各个元素在该城市区的分布图与各个地区在该城市区的平面分布图和绘制出的浓度与海拔的直方图进行综合对比分析可以得出8种重金属在该城市区的空间分布情况。
通过单因子污染指数法和内梅罗综合污染指数法分别求出污染指数、综合污染指数,从而分析出重金属污染程度及污染原因。
利用所给的数据来拟合出微分方程扩散模型中的相关系数,再利用该微分方程求出浓度的极值时位置所要满足的条件,从而得出污染源的确切位置。
该模型的优点是能够方便的确定出污染源的大概地理位置,缺点是该模型只是从单一角度分析问题,忽略了一些外在因素的影响。
希望通过收集信息来进行综合改进。
关键词:
土壤重金属评价模型单因子污染指数法、内梅罗综合污染指数法、微分方程扩散模型、MATLAB、极值点、拟合
1.问题的重述
随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加,人类活动对城市环境质量的影响日显突出。
对城市土壤地质环境异常的查证,以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价,研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式,日益成为人们关注的焦点。
按照功能划分,城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等,分别记为1类区、2类区、……、5类区,不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。
现对某城市城区土壤地质环境进行调查。
为此,将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域,按照每平方公里1个采样点对表层土(0~10厘米深度)进行取样、编号,并用GPS记录采样点的位置。
应用专门仪器测试分析,获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。
另一方面,按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样,将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。
附件1列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息,附件2列出了8种主要重金属元素在采样点处的浓度,附件3列出了8种主要重金属元素的背景值。
现要求你们通过数学建模来完成以下任务:
(1)给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布,并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。
(2)通过数据分析,说明重金属污染的主要原因。
(3)分析重金属污染物的传播特征,由此建立模型,确定污染源的位置。
(4)分析你所建立模型的优缺点,为更好地研究城市地质环境的演变模式,还应收集什么信息?
有了这些信息,如何建立模型解决问题?
2.问题分析
问题一
由题可知附件1列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息,附件二列出了8种主要金属在采样点处的浓度,由此可整理出每个区各个重金属元素的浓度分布。
由以上所得的浓度与附件3列出的背景值进行比较,通过分析可以得出每个地区的污染程度。
另外用Matlab绘制出了不同区域的地势图和各个地区在该城区的大概分布图,并且由数据绘制出八种元素在该城区的阶梯图,再由各个元素的阶梯图与地势图和各区的分布图进行对照,综合分析可以得出相应的许多结论。
问题二
由题中所给的数据分别整理出各个地区的污染重金属的分布位置与浓度,再分别算出各个地区的八种元素浓度的平均值,根据单因子质量指数法算出土壤中各个元素的环境质量指数和由内梅罗综合污染指数法算出土壤综合污染指数。
从而分析重金属污染的主要原因。
问题三
问题要求分析重金属污染物的传播特征,由此建立模型,确定污染源的位置。
针对这一问题,首先我们做出假设,假设每种重金属都是可以在外界因素下自由传播的,不存在重金属元素在一个地区堆积,只有传播能力的不同。
不存在重金属元素在一个地区堆积,只有传播能力的不同。
通过对所绘制的图形综合分析后可以得出金属污染物的传播特征,由此可以建立微分方程扩散模型,再根据数据分析和数据拟合得到一个关于重金属浓度近似的数学表达式,从而确定出污染源的大概位置。
问题四
该模型的优点是能够方便的确定出污染源的大概地理位置;缺点是该模型只是从单一角度分析问题,忽略了一些外在因素的影响。
希望通过收集更多的数据来进行综合的分析。
3.模型的假设
(1).采集的样品中所含杂质对重金属元素浓度测定所产生的干扰可以忽略。
(2).附件所给的数据信息是精确无误。
(3).各种元素的测定相互无干扰。
(4).对于除区域位置、海拔高度、人为活动外对元素分布造成的影响忽略不计。
(5).忽略大气中风力的干扰。
4.符号的说明
:
污染指数
:
综合污染指数
:
土壤中单项污染物的最大污染指数
:
污染物i的实测浓度
:
i种重金属的背景值
:
土壤各污染物的指数平均值
:
尺度空间函数
:
高斯变换核
:
尺度因子
:
极值位置
5.问题求解与模型建立
5.1问题一的求解
5.1.1八种元素在该城区的空间分布
图A是将附表1所给的数据导入MATLAB软件,编程(代码见附录一)得到的不同区在该城市的分布图。
图A
其中data1,data2,data3,data4,data5依次表示生活区,工业区,山区,主干道路区,公园绿地区。
X轴与Y轴分别与所给数据中x,y相对应(以下同样)。
代码在后面附录。
从此图很容易看出各区的基本分布。
此表作为以下八种元素等势图的参照。
表B是用同样的方法绘制出了地势的图像。
可以在不同的的地点很明显的看出海拔(例如左上角(18000,18000)处,颜色较深说明此地面海拔较高)。
图B
5.1.1.1砷(As)和镉(Cd)在该城区的空间分布
以下是砷元素和镉元素在该地区的等高线图:
从上两图可知,As和Cd的分布范围都比较广,Cd略广于As。
但是两种重金属元素各有等势较为突出的范围。
As在坐标为(2000,3000),(5000,7000),(13000,2500),(17000,9000)的周围含量较多。
与图A对照可知As元素含量在工业区,生活区较高。
从图D很容易看出较深颜色区域较为广泛,与图A结合分析,只有山区的Cd含量相对较低。
Cd的突出范围中心坐标大概分布在(2500,3000),(4000,5000),(7500,10000),(22000,12000)左右。
且由图形可知Cd受风的影响较为突出。
5.1.1.2镍(Ni),铬(Cr)和铅(Pb)在该城区的空间分布
从图E,图F,图G可以看出。
镍(Ni),铬(Cr)和铅(Pb)含量差不多。
相对于前两种来说,含量稍微轻点。
而且集中点较为离散。
其中Cr较为明显。
主要分布在以下点(4000,5000),(1100,5000),(22000,12000)左右的范围。
主要分布在工业区和主要干路区,很少量在山区。
Pb元素的特点是分布相对较为集中。
主要在工业区的点有(5000,5000),(2000,3000)(5000,2000),工业区和主要干路区掺杂的(15000,11000)。
最后,Ni的分布集中处较为单一,重要集中在三个区域,对应点分别为(4000,5900),(14000,9000),(24000,11000),其中(14000,9000)周围含量较轻。
5.1.1.3铜(Cu),汞(Hg)和锌(Zn)在该城区的空间分布
从以上三个图来看,三种元素有一个共同的特点:
每种元素分布集中区较为集中。
Cu分布在(4000,5500)和(2500,3000)周围。
此区主要分布在工厂和主干道路区。
Hg的分布尤为特别。
在三点(3000,2900),(14000,2000),(15000,9000)周围含量突出,其他地区含量明显低。
Zn的分布相对于前两个,范围较为广。
集中点也较多。
主要分布在点(3000,2200),(4000,5000),(9000,4000),(13000,23000),(14000,9000)周围。
5.1.1.4各元素在各个海拔区间的分布
海拔区间与重金属分布含量的直方图:
表一
从图大概可以看出大部分元素的浓度随着海拔的增加先下降,在60-90之间有极小值。
然后有上升,在100-109之间有有极大值。
之后显下降趋势。
有正态分布趋势(待证)。
汞元素在图中表现突出,在40-49之间有一个反常的极大值,可以猜想汞的污染源分布在此区间海拔的份儿较大。
映射了图I中汞分布较为集中情形。
5.1.2该城区内不同区域重金属的污染程度
将附录表1和附录表2用excel进行综合划分不同区域,对不同元素求其平均值
5.1.2.1求出各区的超标比
利用单因子污染指数法求出污染指数,即重金属元素超标比
公式为:
=
各个区域各种元素的超标比见表
5.1.2.2求各区的综合污染指数
利用内梅罗综合污染指数法求出综合污染指数
表二
表二表明:
在生活区各种重金属元素的超标比都大于1,最小值为1.49(Ni),最大值为3.74(Cu)。
说明各元素都超标。
按照内梅罗综合污染指数法可以求出综合污染指数为2.70,在2<2.70
3。
说明该区中度污染。
在工业区中各种重金属元素均超标,且部分元素污染指数很大。
Hg的超标比达到了18.35,Cu达到了9.66,两元素在该地区污染程度较大。
其他几种元素的超标比都在1.61以上,这几类重金属元素也轻微超标。
从综合污染指数可以看出,该区为五区污染最严重的区域,综合污染指数高达到13.03,远远大于3。
说明该区严重污染。
在山区中各种重金属元素的浓度略大于背景值,各种中金属元素的污染指数在1到2之间,说明受到轻微人为污染。
山区的综合污染指数略小于1,说明山区重金属含量较少,受到污染程度不明显。
在主干道路区污染程度仅次于工业区,Hg的污染指数最大,超标比为12.77,其余各种元素均受到人为污染。
综合污染指数为9.07,成为仅次于工业区的严重污染区。
在公园绿地区污染程度相对较小,Hg污染指数偏高,其余各种元素污染指数在2处上下波动。
综合污染指数为2.37,2<2.37
3,说明该区中度污染。
在五个区中,以工业区污染最为严重,山区受到人为污染不太明显,其余区域均受到一定程度的人为污染,而Hg元素的污染最为突出,Ni元素的污染最小。
5.2
重金属污染的主要原因
土壤中重金属的来源是多途径的,首先是成土母质本身含有重金属,不同的母质、成土过程所形成的土壤含有重金属量差异很大。
此外,人类工农业生产活动,也造成重金属对大气、水体和土壤的污染。
它们主要分布在工矿的周围和主要干路的两侧。
大气中的大多数重金属是经自然沉降和雨淋沉降进入土壤的。
主干道路两侧土壤中的重金属污染,主要是以Pb、Zn、Cd、Cr、Cu的污染为主。
它们来自于含铅汽油的燃烧,汽车轮胎磨损产生的含锌粉尘等。
它们成条带状分布,以公路、铁路为轴向两侧重金属污染强度逐渐减弱;随着时间的推移,主干道路土壤重金属污染具有很强的叠加性。
经过自然沉降和雨淋沉降进入土壤的重金属污染,主要以工矿烟囱、废物堆和公路为中心,向四周及两侧扩散;。
此外,大气汞的干湿沉降也可以引起土壤中汞的含量增高。
大气中汞通过干湿沉降进入土壤后,被土壤中的粘土矿物和有机物的吸附或固定,富集于土壤表层,或为植物吸收而转入土壤,造成土壤汞的浓度的升高。
结合表二的数据可以看出:
砷(As)元素主要位于工业区和生活区,其余区域相对较少。
工业区对砷化物的开采和冶炼,含砷农药的使用,以及作为玻璃、木材、制革、纺织、化工、陶器、颜料、化肥等工业的原材料,均增加了环境中的砷污染。
煤的大量燃烧产生许多含砷化合物,经自然沉降和雨淋沉降进入土壤,对其他区产生一定的影响。
镉(Cd)元素的污染源主要是工业废液的排放,由图可知分布在工业区,铬(Cr)元素主要分布在生活区、工业区、主干道路区
铬主要来源于生活区劣质化妆品原料、皮革制剂、金属部件镀铬部分,工业颜料以及鞣革、橡胶和陶瓷原料等。
工业部门排放的废水和废气,是环境中铬的人为来源。
煤和石油燃烧的废气中含有颗粒态铬,是生活区和主干道路区污染的主要原因。
铜(Cu)元素主要分布于工业区和主干道路区
铜锌矿的开采和冶炼、金属加工、机械制造、钢铁生产等,对工业区产生严重污染。
冶炼排放的烟尘是大气铜污染的主要来源。
汞(Hg)元素分布较为特别,分布主要集中三点,说明污染源比较单一,主要分布在工业区和主干道路区。
镍(Ni)元素在各区都有一定的积累。
冶炼镍矿石及冶炼钢铁时,部分矿粉会随气流进入大气。
铅(Pb)元素除山区浓度低外,其余区均有污染。
且分布较为特别,主要分布在三个点上。
估计是大污染源向外排放的结果。
有色金属冶炼过程中所排出的含铅废水、废气和废渣。
在汽油燃烧过程中,铅便随汽车排出的废气进入大气
锌(Zn)元素主要分布在生活区、工业区和主干道路区。
可能污染源锌矿开采、冶炼加工、机械制造以及镀锌、仪器仪表、有机会合成和造纸等工业的排放。
工业废水中锌常以锌的羟基络合物存在。
汽车轮胎磨损以及煤燃烧产生的粉尘、烟尘中均含有锌及化合物。
大气中的重金属主要来源于工业生产、汽车尾气排放及汽车轮胎磨损产生的大量含重金属的有害气体和粉尘等。
从总的来,结合几张图元素分布图分析。
全部元素分布图形有一个共同特点,在(5000,5000)周围各种元素较为严重,且该地区在工业区旁边,包含主要交通干线。
由图B可知该地区地势较低。
可能是水土流失造成该地区污染。
同样情况也在(16000,4000),(17000,12000)周围呈现。
该地区周围为山区,此两区为最有可能是盆地。
可能由于地势因素造成。
5.3
建立数学模型,确定污染源的位置
5.3.1模型的建立
5.3.1.1方法一:
首先,利用matlab作图,画出以坐标x、y及重金属浓度大小的差值等高线图。
这样,我们就可以看到在整个城市中某一重金属元素的大致分布。
其次,由此图及第一问计算出各点的污染程度可以看出重金属的传播特征。
其传播大致符合自然界规律,高浓度向低浓度传播,但由于其重金属元素的特殊性,其传播速度较慢,且不同重金属的传播速度不同。
由此就可以得到污染源的特征就是其污染元素的含量与周围含量相比相对较大,即区域极值。
最后,根据所有数据的特征,建立如下模型来寻找其污染源。
由上可知,将其寻找污染源的问题转化为寻找图像空间极值的问题。
空间极值点的检测:
尺度空间极值点的检测分为两个步骤:
检测DOG空间极值点检测、精确定位极值点。
(1)DOG空间极值点的检测
Koenderink用扩散方程来描述尺度空间滤波过程,并由此证明高斯核是实现尺度变换的唯一变换核。
LindebHerg等人通过不同的推导进一步证明高斯核是唯一的线性核。
因此,尺度空间理论的主要思想是利用高斯核对原始图像进行尺度变换.获得图像多尺度下的尺度空间表示序列。
对这些序列进行尺度空间特征提取。
记
为高斯正态分布的方差,
为二维网像,
为不同尺度空间下的图像。
它们之间的关系为:
其中,
为高斯变换核.
是尺度因子。
表示图像的平滑程度。
相邻两尺度空间函数之差(DOG)可表示为
不同尺度空间的减采样图像构成高斯金字塔,而金字塔可通过高斯金字塔中相邻尺度空间函数相减即可。
在DOG尺度空间金字塔中,为了检测到DOG空间的最大值和最小值,DOG尺度空间中间层(最底层和最顶层除外)的每个像素点需
要跟同一层的相邻8个像素点以及它上一层和下一层的9个像素点总共26个相邻相似点进行比较,以确保在尺度空间和二维图像空间检测到局部极值,记下极值点的位置和对应尺度。
(2)极值点的精确定位
因DOG值对噪声和边缘较敏感,需对检测到局部极值点进行检验,然后才能精确定位为特征点。
下面对局部极值点进行三维二次函数拟合以精确确定特征点的位置和尺度,尺度空间函数
在局部极值点
处的泰勒展开式如公式(3)所示:
其中
。
通过对公式(3)求导,并令其为0,得出精确的极值位置
,如公式(4)所示:
5.3.1.2方法二:
不同重量的颗粒重金属在空中传播的规律不同。
我们假设每种重金属粒子在空中传播的规律一样。
并假设污染源为工厂所致。
各种粒子在空中平面内作抛物线运动,那么在三维空间里是一个抛物面。
假设烟囱为20米,建立金属沉降模型如下图。
我们取两个相邻的抛物面,他们的距离为dr.假设dr很小。
两个抛物面之间的粒子量为Q。
在底平面的两个圆环的面积为S:
在地面的离子浓度C:
我们对粒子浓度C进行微分dC,粒子含量相等可以得出
又有:
根据中心极限定理:
由粒子在平面上的分布可知,当其粒子数近似趋近无穷的时候,该粒子在该水平面上的分布近似于正态分布。
在竖直方向,易证浓度与r成反比。
最终计算得出:
从以上分析结果可得主要污染是与工厂烟囱的排放物有关。
我们建立大气中重金属沉降模型,应用所给数据求出k,h0,x0,y0,的近似值,从而确定污染源的位置,但是由于涉及的相关数学问题比较复杂,在有限的时间内还无法得出精确的结果。
5.3.2污染源的位置确定
结合图A(区域分布图)、图B(地势图)及八种元素的集中分布情况,我们得出了三个污染比较集中的小幅范围区域,其中污染最为严重的污染区域的中心坐标为(3500,3000)。
在该处,虽然重金属含量相对较高,但是由图A可以看出该地区主要为交通干道,而其他交通干道区重金属含量较低,说明该区不是主要污染源。
由图B发现该处地势较低,且周边地区多为工业区,所以该处的污染主要是周边地区工业排放的污染物以废气、废水和废渣的形式排放进入环境并通过各种途径沉降进入土壤而造成的,由此可以得出污染源主要来自于周边比较密集的工业区。
从图A可得出它的大概中心坐标为(8000,10000)。
5.4模型的评价
5.4.1模型的优点:
(1)运用MATLAB软件画出以坐标X-Y及重金属浓度大小的差值等高线图,从而更加直观的说明重金属的传播特征。
(2)DOG空间极值点检测,极值点的精确定位,准确度高,对于实际问题具有较高的实用性。
(3)该模型能够结合实际,便于理解,容易确定污染源的位置。
5.4.2模型的缺点:
(1)忽略海拔对重金属污染物的传播的影响,考虑不够全面。
5.4.3待收集信息:
(1)重金属污染物在大气传播的过程中,海拔对其浓度影响信息。
(2)风力干扰对其浓度影响信息,结合上面建立的模型及这些信息,对数据做进一步的分析,从而建立偏微分方程扩散模型。
6.参考文献
【1】罗建军扬琦《精讲多练MATLAB》西安西安交通大学出版社2010.1【2】WilliamJ.PalmIIIMATALAB7基础教程-----面向工程应用北京清华
大学出版社2007.7【3】求是科技《MATLAB7.0从入门到精通》北京人民邮电大学出版社2006.3
【4】范拴喜,甘卓亭,李美娟,张掌权,周旗,土壤重金属污染评价方法进展,《中国农学通报》,2010,26(17):
310-315.
【5】朱道远《数学建模案例精选》北京科学出版社2003.3【6】王树禾《扩散问题的偏微分方程模型》第6讲【7】马溪平李法云肖鹏飞侯伟王效举《典型工业区周围土壤重金属污染
评价及空间分布》哈尔滨工业大学学报Vol.39N0.2Feb.2007
附录一:
MATLAB程序
(1)海拔与坐标图形代码:
(图B)
x=data(1:
319,11);%应用导入的数据的第十一列
y=data(1:
319,12);%应用导入的数据的第二列
z=data(1:
319,13);%应用导入的数据的第十三列
[xi,yi]=meshgrid(0:
100:
30000,0:
60:
18000);hi=griddata(x,y,z,xi,yi,'cubic');mesh(xi,yi,hi);contour(xi,yi,hi,30);
(2)地区分区代码(图A)
x1=data1(1:
45,11);y1=data1(1:
45,12);x2=data2(1:
37,11);y2=data2(1:
37,12);x3=data3(1:
67,11);y3=data3(1:
67,12);x4=data4(1:
139,11);y4=data4(1:
139,12);x5=data5(1:
36,11);y5=data5(1:
36,12);plot(x1,y1,'o',x2,y2,'*',x3,y3,'x',x4,y4,'d',x5,y5,'s');
(3)在做表上的等势线分布(八种元素)
x=data(1:
319,11);
y=data(1:
319,12);
[xi,yi]=meshgrid(0:
100:
30000,0:
60:
18000);
for i=1:
1:
8
bi=data(1:
319,i+1);
hi=griddata(x,y,bi,xi,yi,'cubic');
mesh(xi,yi,hi);contour(xi,yi,hi,30);
pause;
end
附录二:
海拔与浓度的表
海拔分段
As(μg/g)
Cd(ng/g)
Cr(μg/g)
Cu(μg/g)
Hg(ng/g)
Ni(μg/g)
Pb(μg/g)
Zn(μg/g)
0-9
7.07
381.23
86.29
122.79
444.88
21.15
87.78
305.11
10-19
5.82
340.52
48.87
47.64
405.32
17.03
67.28
239.25
20-29
5.73
319.98
50.28
50.46
391.49
17.52
59.44
259.07
30-39
5.68
316.32
57.28
54.57
645.86
16.61
67.79
164.09
40-49
6.62
328.15
42.98
39.45
117.18
16.98
52.31
154.99
50-59
5.13
260.62
41.04
43.52
66.08
14.78
55.22
124.81
60-69
4.45
190.19
38.33
21.98
33.83
13.10
39.96
101.60
70-79
4.75
264.49
55.81
30.90
60.67
22.69
59.76
205.65
80-89
3.84
129.42
37.66
15.52
45.66
15.44
36.01
72.84
90-99
5.45
281.21
50.95
47.43
245.66
17.26
58.39
180.82
100-109
5.04
242.35
44.46
33.13
94.85
16.71
50.27
140.12
110-119
4.78
217.66
44.35
32.03
128.72
16.47
48.23
131.26
120
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