步步高届高三数学人教B版配套文档 第一章 集合与常用逻辑用语第三课.docx
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步步高届高三数学人教B版配套文档第一章集合与常用逻辑用语第三课
§1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式
1.充分条件、必要条件与充要条件
(1)“若p,则q”形式的命题为真时,记作p⇒q,称p是q的充分条件,q是p的充要条件.
(2)如果既有p⇒q,又有q⇒p,记作p⇔q,则p是q的充要条件,q也是p的充要条件.
p是q的充要条件又常说成q当且仅当p,或p与q等价.
2.命题的四种形式及真假关系
互为逆否的两个命题等价(同真或同假);互逆或互否的两个命题不等价.
1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)“x2+2x-3<0”是命题.( × )
(2)“sin45°=1”是真命题.( × )
(3)命题“三角形的内角和是180°”的否命题是“三角形的内角和不是180°”.( × )
(4)若一个命题是真命题,则其逆否命题是真命题.( √ )
(5)“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的必要不充分条件.( × )
(6)若α∈(0,2π),则“sinα=-1”的充要条件是“α=
π”.( √ )
2.设a,b是向量,命题“若a=-b,则|a|=|b|”的逆命题是( )
A.若a≠-b,则|a|≠|b|
B.若a=-b,则|a|≠|b|
C.若|a|≠|b|,则a≠-b
D.若|a|=|b|,则a=-b
答案 D
解析 命题“若a=-b,则|a|=|b|”的逆命题为“若|a|=|b|,则a=-b”,故选D.
3.命题“若α=
,则tanα=1”的逆否命题是( )
A.若α≠
,则tanα≠1
B.若α=
,则tanα≠1
C.若tanα≠1,则α≠
D.若tanα≠1,则α=
答案 C
解析 命题“若α=
,则tanα=1”的逆否命题是“若tanα≠1,则α≠
”,故选C.
4.(2013·福建)已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A⊆B”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 a=3时A={1,3},显然A⊆B.
但A⊆B时,a=2或3.所以A正确.
5.(2012·天津)设φ∈R,则“φ=0”是“f(x)=cos(x+φ)(x∈R)为偶函数”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由条件推结论和结论推条件后再判断.
若φ=0,则f(x)=cosx是偶函数,
但是若f(x)=cos(x+φ)(x∈R)是偶函数,
则φ=π也成立.故“φ=0”是“f(x)=cos(x+φ)(x∈R)为偶函数”的充分而不必要条件.
题型一 命题的四种形式及其关系
例1
(1)下列四个命题:
①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的否命题;
②“若a>b,则a2>b2”的逆否命题;
③“若x≤-3,则x2-x-6>0”的否命题;
④“同位角相等”的逆命题.
其中真命题的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
(2)已知命题“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”,则下列结论正确的是( )
A.否命题“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数,则m>1”是真命题
B.逆命题“若m≤1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数”是假命题
C.逆否命题“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数”是真命题
D.逆否命题“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函数”是真命题
思维启迪
(2)利用定义判断命题的四种形式是否正确,利用四种命题的关系判断命题是否为真.
答案
(1)B
(2)D
解析
(2)命题“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”是真命题,所以其逆否命题“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函数”是真命题.
思维升华
(1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键;
(2)根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假;(3)判断一个命题为假命题可举反例.
(1)命题“若α=
,则cosα=
”的逆命题是( )
A.若α=
,则cosα≠
B.若α≠
,则cosα≠
C.若cosα=
,则α=
D.若cosα≠
,则α≠
(2)命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆否命题是( )
A.若x+y是偶数,则x与y不都是偶数
B.若x+y是偶数,则x与y都不是偶数
C.若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数
D.若x+y不是偶数,则x与y都不是偶数
答案
(1)C
(2)C
解析
(1)命题“若α=
,则cosα=
”的逆命题是
“若cosα=
,则α=
”.
(2)由于“x,y都是偶数”的否定表达是“x,y不都是偶数”,“x+y是偶数”的否定表达是“x+y不是偶数”,故原命题的逆否命题为“若x+y不是偶数,则x,y不都是偶数”,故选C.
题型二 充要条件的判定
例2
已知下列各组命题,其中p是q的充分必要条件的是( )
A.p:
m≤-2或m≥6;q:
y=x2+mx+m+3有两个不同的零点
B.p:
=1;q:
y=f(x)是偶函数
C.p:
cosα=cosβ;q:
tanα=tanβ
D.p:
A∩B=A;q:
A⊆U,B⊆U,∁UB⊆∁UA
思维启迪 首先要分清条件和结论,然后可以从逻辑推理、等价命题或集合的角度思考问题,做出判断.
答案 D
解析 对于A,由y=x2+mx+m+3有两个不同的零点,可得Δ=m2-4(m+3)>0,从而可得m<-2或m>6.所以p是q的必要不充分条件;
对于B,由
=1⇒f(-x)=f(x)⇒y=f(x)是偶函数,但由y=f(x)是偶函数不能推出
=1,例如函数f(x)=0,所以p是q的充分不必要条件;
对于C,当cosα=cosβ=0时,不存在tanα=tanβ,反之也不成立,所以p是q的既不充分也不必要条件;
对于D,由A∩B=A,知A⊆B,所以∁UB⊆∁UA;
反之,由∁UB⊆∁UA,知A⊆B,即A∩B=A.
所以p⇔q.
综上所述,p是q的充分必要条件的是D.
思维升华 充要条件的三种判断方法
(1)定义法:
根据p⇒q,q⇒p进行判断;
(2)集合法:
根据p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断;
(3)等价转化法:
根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题,如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件,即可转化为判断“x=1且y=1”是“xy=1”的何种条件.
(1)(2012·福建)已知向量a=(x-1,2),b=(2,1),则a⊥b的充要条件是( )
A.x=-
B.x=-1
C.x=5D.x=0
(2)设集合A={x∈R|x-2>0},B={x∈R|x<0},C={x∈R|x(x-2)>0},则“x∈A∪B”是“x∈C”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
答案
(1)D
(2)C
解析
(1)∵a=(x-1,2),b=(2,1),
∴a·b=2(x-1)+2×1=2x.
又a⊥b⇔a·b=0,∴2x=0,∴x=0.
(2)因为A={x|x-2>0}={x|x>2}=(2,+∞),
B={x|x<0}=(-∞,0),
所以A∪B=(-∞,0)∪(2,+∞),
C={x|x(x-2)>0}={x|x<0或x>2}
=(-∞,0)∪(2,+∞).
即A∪B=C.故“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件.
题型三 充分条件与必要条件的应用
例3
(1)函数f(x)=
有且只有一个零点的充分不必要条件是( )
A.a<0B.0 C. (2)设p: |4x-3|≤1,q: x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若非p是非q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是( ) A. B. C.(-∞,0]∪ D.(-∞,0)∪ 思维启迪 (1)根据图象交点先求得f(x)有一个零点的充要条件,再利用“以小推大”(集合间关系)判定; (2)考虑条件所对应集合间的包含关系. 答案 (1)A (2)A 解析 (1)因为函数f(x)过点(1,0),所以函数f(x)有且只有一个零点⇔函数y=-2x+a(x≤0)没有零点⇔函数y=2x(x≤0)与直线y=a无公共点.由数形结合,可得a≤0或a>1. 观察选项,根据集合间关系{a|a<0}{a|a≤0或a>1}, ∴答案选A. (2)p: |4x-3|≤1⇒-1≤4x-3≤1, ∴ ≤x≤1; q: x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0⇒(x-a)[x-(a+1)]≤0, ∴a≤x≤a+1. 由题意知p是q的充分不必要条件,故有 或 ,则0≤a≤ . 思维升华 充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意: (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验. (1)若“x2>1”是“x (2)已知命题p: 实数m满足m2+12a2<7am(a>0),命题q: 实数m满足方程 + =1表示的焦点在y轴上的椭圆,且p是q的充分不必要条件,则a的取值范围为________. 答案 (1)-1 (2) 解析 (1)由x2>1,得x<-1,或x>1. 又“x2>1”是“x 知由“x1”,反之不成立, 所以a≤-1,即a的最大值为-1. (2)由a>0,m2-7am+12a2<0,得3a 3a 由 + =1表示焦点在y轴上的椭圆, 可得2-m>m-1>0,解得1 , 即命题q: 1 . 因为p是q的充分不必要条件, 所以 或 解得 ≤a≤ , 所以实数a的取值范围是 . 等价转化思想在充要条件中的应用 典例: (12分)(2013·阜新模拟)已知集合A={y|y=x2- x+1,x∈[ ,2]},B={x|x+m2≥1}.p: x∈A,q: x∈B,并且p是q的充分条件,求实数m的取值范围. 思维启迪 (1)先对集合进行化简; (2)将条件间的关系转化为集合间的包含关系; (3)利用集合间的关系列出关于m的不等式,求出实数m的范围. 规范解答 解 化简集合A, 由y=x2- x+1. 配方,得y= 2+ . ∵x∈ , ∴ymin= ,ymax=2. ∴y∈ . ∴A= .[4分] 化简集合B,由x+m2≥1, 得x≥1-m2,B={x|x≥1-m2}.[6分] ∵命题p是命题q的充分条件, ∴A⊆B.[8分] ∴1-m2≤ ,解得m≥ ,或m≤- .[11分] ∴实数m的取值范围是 ∪ .[12分] 温馨提醒 本例涉及参数问题,直接解决较为困难,先用等价转化思想,将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决.一般地,在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中,常常要利用集合的包含、相等关系来考虑,这是破解此类问题的关键. 方法与技巧 1.写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论,然后按定义来写;在判断原命题及其逆命题、否命题以及逆否命题的真假时,要借助原命题与其逆否命题同真或同假,逆命题与否命题同真或同假来判定. 2.充要关系的几种判断方法 (1)定义法: 直接判断若p则q、若q则p的真假. (2)等价法: 即利用A⇒B与綈B⇒綈A;B⇒A与綈A⇒綈B;A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系,对于条件或结论是否定形式的命题,一般运用等价法. (3)利用集合间的包含关系判断: 设A={x|p(x)},B={x|q(x)},若A⊆B,则p是q的充分条件或q是p的必要条件;若A=B,则p是q的充要条件. 失误与防范 1.当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时,必须保留大前提,也就是大前提不动. 2.判断命题的真假及写四种命题时,一定要明确命题的结构,可以先把命题改写成“若p则q”的形式. 3.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向,正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言. A组 专项基础训练 (时间: 30分钟) 一、选择题 1.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是( ) A.“若一个数是负数,则它的平方不是正数” B.“若一个数的平方是正数,则它是负数” C.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数” D.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数” 答案 B 解析 依题意,得原命题的逆命题: 若一个数的平方是正数,则它是负数. 2.下列命题中为真命题的是( ) A.命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题 B.命题“若x>1,则x2>1”的否命题 C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题 D.命题“若x2>0,则x>1”的逆否命题 答案 A 解析 对于A,其逆命题: 若x>|y|,则x>y,是真命题,这是因为x>|y|= ,必有x>y;对于B,否命题: 若x≤1,则x2≤1,是假命题.如x=-5,x2=25>1;对于C,其否命题: 若x≠1,则x2+x-2≠0,因为x=-2时,x2+x-2=0,所以是假命题;对于D,若x2>0,则x>0或x<0,不一定有x>1,因此原命题的逆否命题是假命题,故选A. 3.已知集合M={x|0 A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 B 解析 因为MN,所以a∈M⇒a∈N,反之,则不成立,故“a∈N”是“a∈M”的必要而不充分条件.故选B. 4.与命题“若a,b,c成等比数列,则b2=ac”等价的命题是( ) A.若a,b,c成等比数列,则b2≠ac B.若a,b,c不成等比数列,则b2≠ac C.若b2=ac,则a,b,c成等比数列 D.若b2≠ac,则a,b,c不成等比数列 答案 D 解析 因为原命题与其逆否命题是等价的,所以与命题“若a,b,c成等比数列,则b2=ac”等价的命题是“若b2≠ac,则a,b,c不成等比数列”. 5.已知向量a=(m2,-9),b=(1,-1),则“m=-3”是“a∥b”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 当m=-3时,a=(9,-9),b=(1,-1),则a=9b, 所以a∥b,即“m=-3”⇒“a∥b”; 当a∥b时,m2=9,得m=±3, 所以不能推得m=-3,即“m=-3”D⇐/“a∥b”. 故“m=-3”是“a∥b”的充分不必要条件. 6.设a,b∈R,i是虚数单位,则“ab=0”是“复数a+ 为纯虚数”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件 答案 B 解析 复数a+ =a-bi为纯虚数,则a=0,b≠0, 而ab=0表示a=0或b=0,故“ab=0”是“复数a+ 为纯虚数”的必要不充分条件.故选B. 7.给出命题: 若函数y=f(x)是幂函数,则函数y=f(x)的图象不过第四象限,在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中,真命题的个数是( ) A.3B.2C.1D.0 答案 C 解析 原命题是真命题,故它的逆否命题是真命题; 它的逆命题为“若函数y=f(x)的图象不过第四象限, 则函数y=f(x)是幂函数”, 显然逆命题为假命题,故原命题的否命题也为假命题. 因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个. 8.函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是( ) A.m=-2B.m=2 C.m=-1D.m=1 答案 A 解析 已知函数f(x)=x2-2x+1的图象关于直线x=1对称,则m=-2;反之也成立. 所以函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是m=-2. 二、填空题 9.下列结论: ①若命题p: ∃x∈R,tanx=1;命题q: ∀x∈R,x2-x+1>0.则命题“p∧綈q”是假命题; ②已知直线l1: ax+3y-1=0,l2: x+by+1=0,则l1⊥l2的充要条件是 =-3; ③命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题: “若x≠1,则x2-3x+2≠0”.其中正确结论的序号为________. 答案 ①③ 解析 ①中命题p为真命题,命题q为真命题, 所以p∧綈q为假命题,故①正确; ②当b=a=0时,有l1⊥l2,故②不正确; ③正确.所以正确结论的序号为①③. 10.“若a≤b,则ac2≤bc2”,则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是________. 答案 2 解析 其中原命题和逆否命题为真命题,逆命题和否命题为假命题. 11.“x= ”是“向量a=(x+2,1)与向量b=(2,2-x)共线”的________条件. 答案 充分不必要 解析 若a=(x+2,1)与b=(2,2-x)共线, 则有(x+2)(2-x)=2,解得x=± , 所以“x= ”是“向量a=(x+2,1)与向量b=(2,2-x)共线”的充分不必要条件. 12.若x ________. 答案 [0,2] 解析 由已知易得{x|x2-2x-3>0}{x|x 又{x|x2-2x-3>0}={x|x<-1或x>3}, ∴ 或 ,∴0≤m≤2. B组 专项能力提升 (时间: 15分钟) 1.若集合A={x|2 A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 当a=1时,B={x|-2 反之,若A∩B=∅,只需a≤2即可,故“a=1”是“A∩B=∅”的充分不必要条件. 2.“λ<1”是“数列an=n2-2λn(n∈N+)是递增数列”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 若数列an=n2-2λn(n∈N+)为递增数列, 则有an+1-an>0,即2n+1>2λ对任意的n∈N+都成立, 于是可得3>2λ,即λ< . 注意到由λ<1可得λ< ; 但反过来,由λ< 不能得到λ<1, 故“λ<1”是“数列an=n2-2λn(n∈N+)是递增数列”的充分不必要条件. 3.下列结论正确的个数是( ) ①命题p: “∃x0∈R,x -2≥0”的否定为綈p: “∀x∈R,x2-2<0”; ②若綈p是q的必要条件,则p是綈q的充分条件; ③“M>N”是“ M> N”的充分不必要条件. A.0B.1C.2D.3 答案 C 解析 对于①,易知①是正确的;对于②,由“綈p是q的必要条件”知,q可推知綈p,则p可推知綈q(注: 互为逆否的两个命题的真假性一致),因此p是綈q的充分条件,②正确;对于③,由M>N不能得到 M> N,因此③是错误的.故选C. 4.“m< ”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的____________条件. 答案 充分不必要 解析 x2+x+m=0有实数解等价于Δ=1-4m≥0, 即m≤ ,∵m< ⇒m≤ ,反之不成立. 故“m< ”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的充分不必要条件. 5.已知集合A= ,B={x|-1 答案 (2,+∞) 解析 A= ={x|-1 ∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A, ∴AB,∴m+1>3,即m>2. 6.下列四个结论中: ①“λ=0”是“λa=0”的充分不必要条件; ②在△ABC中,“AB2+AC2=BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件; ③若a,b∈R,则“a2+b2≠0”是“a,b全不为零”的充要条件; ④若a,b∈R,则“a2+b2≠0”是“a,b不全为零”的充要条件. 正确的是________. 答案 ①④ 解析 由λ=0可以推出λa=0,但是由λa=0不一定推出λ=0成立,所以①正确. 由AB2+AC2=BC2可以推出△ABC是直角三角形,但是由△ABC是直角三角形不能确定哪个角是直角,所以②不正确. 由a2+b2≠0可以推出a,b不全为零; 反之,由a,b不全为零可以推出a2+b2≠0, 所以③不正确,④正确.
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