概率论习题解答第4章.docx
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概率论习题解答第4章
第4章习题答案
三、解答题
1•设随机变量X的分布律为
-2
X
P.
求E(X)・£(X-).E(3X+5)・
解:
E{X}=Dp广(-2)x0.4+0x03+2x03=
r.)
X
f(X2)==4x0-4+0x0.3+4x03=
r.)
E{3X+5)=3f(X)+5=3X(一0.2)+5=
2.同时掷八颗骰子,求八颗骰子所掷出的点数和的数学期望.解:
记掷1颗骰子所掷出的点数为X,则X的分布律为
P{X=Z}=l/6,,=12…,6记掷8颗骰子所掷出的点数为X,同时掷8颗骰子,相当于作了8次独立重复的试验,f{X,)=]>6X(1+2+3+4+5+6)=2]^f(X)=8X21/5=28
3.某图书馆的读者借阅甲种图书的槪率为血,借阅乙种图书的概率为P2,设每人借阅甲乙图书的行为相互独立,读者之间的行为也是相互独立的.
(1)某天恰有n个读者,求借阅甲种图书的人数的数学期望.
(2)某天恰有门个读者,求甲乙两种图书至少借阅一种的人数的数学期望.
解:
⑴设借阅甲种图书的人数为X,则所以f(X)=n“
⑵设甲乙两种图书至少借阅一种的人数为匕则y-e(n,pb
记人={借甲种图书},8={借乙种图书},则戸={>4U3}=P1+P1-P1P1
所以E{Y}=n(P1+P2-P1Pl]
4.将n个考生的的录取通知书分别装入n个信封,在每个信封上任意写上一个考生的姓需、地址发出,用X表示n个考生中收到自己通知书的人数,求E(X).
解J依题意,XTS,l/n),所以f{X)=l.
5.设X-P
(2),且P{X=5}=P{X=6H求E(X)・
解:
由题意知X〜P(/l),则X的分布律P{X=k}=,k=t2,...
彳536
又p{x=5}=p{X=6},所以午小=2•宀
5!
-A
解得2=6.所以F(X)=6・
6•设随机变量X的分布律为p(X=Jt}=—,*=1-2,3,问X的数学期望是否存
龙咲•
解:
因为级数£((_1)讥X令)=£((_1严-^22£(_1)知芬而X-IXk£.|Kkjt-ik
丈丄发散,所以X的数学期望不存在.
7.某城市一天的用电MX(I-万度计)是一个随机变量,其概率密度为
/(X)才9
求一天的平均耗电量-
解:
f(x)=£.vycvMY=[:
xl疋"厶=1(〉2八%尸6.
8.设某种家电的寿命X(以年计)是一个随机变S,其分布函数为
25._
—,入>5,
AT
0其它
F(x)={
求这种家电的平均寿命E(X)・
解:
由题意知,随机变量X的概率密度为f(x}=r(x)
当;V>5时,/(X)=尊,当X5时,/(x)=0.
XX
E(X)=「xf{x}dx=X弟Av=—聖l/B=10
所以这种家电的平均寿命f(X)=10年.
-4-00
9.在制作某种倉品时,而粉所占的比例X的概率密度为
n、]42x(i-x)\0 求X的数学期望E(X)・ 解: f(X)=xf(x)dx=f42兀2(1-xfdx=圳 10.设随机变量X的概率密度如下,求E(X)・ *1+況 3 0, 0 其它 解: E(X)=)f{x}dx=J_j+%)■dx+bX凱一x)2必=0• 11.设X~3(4丿),求数学期望£(sin—)- 2 解: X的分布律为P{x“}=cy(l-p)i,“0,1,2,3.4, X取值为。 ,1,2,3.4时,Sin孕相应的取值为。 ,】,。 ,10.所以 £(sin^)=lxC]p'(l-p)^-lxCj/? (l-p)'=4p(l-p)(l-2p) 12.设风速V在(0・a)I: 服从均匀分布,飞机机翼受到的正压力W是V的函数: W=kV\(k>0.常数),求W的数学期望• E{W}=^kv-f(r)dx=£)tv-^/v=-设随机变戢(x,y)的分布律为 解: f(X)=JjX■24xydxdy=24x~ydydx =2 I) =(24,l(\-x)-dx=j^{i2x--24? +? Uv=(4? -6.? +—? ) °25 £(r)=JJy24xWxdy=^24y-j^'xe/xi/y=2/5 I) E(XY}=JJ巧•24xydxily=(24.J「y'dydx=J^24.v---{I-x)'dx DUJU3 -二小=— 3015 =(£? -6? +-.? -5 353 15.某工厂完成某批产品生产的天数X是一个随机变量,具有分布律 X 10 11 12 13 14 pi 所得利润(以元计)为Y=1000(12-X),求£(/)•0(" 解: f(Y)=f[1000(12-X)] =1000X[(12-10)X+(12-11)]X+(12-12)X+(12-13)X+{12-14)X]=400 £(*)=£[10002(12・X)2] =1000^[(12-10)^X+(12-11)2X+(12-12)^X+(12-13)U +(12-14)^X]=X10^ D(r)=f{n-[f{V)]JX106・4002=X10& 16.设随机变量X服从几何分布,幷分布律为P{X=R}=(l-p)ipR=12…, 其中0 *»»».1^ E(X)=£(kxPlX=迈洪沢=p乞牛 jt-ix-iMA-1dq =P牛乞q*=1/P 呦七M\-q M1X-I1 »«〃2〃2» =P7)xqZ+UP=pq乞= x-i4-0dqdqjt-i D{X}=£(X2)・f(X)=2q/p^+l/p-l/p^=(l-p)/p^ 17.设随机变量X的概率密度为/(A)=<^77^7 0, 'uki,试求Epq,Dpq.其它 解: E(X)=「Xf(x)iix=rX—tlx=0 2p/i! -cos2/.1 =—d{=— 龙h22 18.设随机变就(X,n具有D{X)=9,D(V)=4,Qxy=T/6,求D(X+Y),D(X-3Y+4). 解: 因为PxY=C"(X"),所以 Co\gY)=PxYJd(X)JD(Y)-询X3X27 D(X+y)=D(X)+D(r)+2C i f(Xy)=0x(3i28+9y28+3^8+yi4+iy28)+1x2/14+2x0+4x0=^14, E{)e]=O^x(耀8+9左8+池8〉+Vx(yi4+yi4+0)+22x(ly28+0+0)=47,E(W)=OS(池8十了14+1/28)+l^x(9^8+d/14+0)+2^x(3^8+O+O)=27^&D{X)=f{X2)-Ef(X)]2=2^_(坨)2=9/28, D(y>£(W)・[f(y}]2=2%8・(2^)2=4W112, Cov(X,Y}=E{XY}-E(X)E{Y}=2/14-(1? 2)x(豹卜・9方& ZXXiW)一仪X)卜卜茶芬射) JrL/rJl-F av(x.y)二2 PxY=卩齿回)“3 2 D(x+r)=D(x)+D(r)+2Cov(X-r)=^ IJ X-+b<1, 其它 21.设二维随机变量必丫)的概率密度为 0 ■ 试脸证X和F是不相关的,但X和F不是相互独立的. 解: E(X)=ff禺X/龙dydx=J: 2xjl-F/兀dx=0E(Y)粧爲W"皿=0 E(Xy)=r「二jty/兀= 所以Cogx.y)=0.xy=o,即X和y是不相关. 当时,/(x〃)H/Hx)fy(y),所以X和y不是相互独立的 22・设随机变Y)的概率密度为 fl/ZIV1<2%,0 验证X和y是不柑关的,但X和y不是相互独立的・解: 由于f{x.y)的非零区域为D: 0 E(X)=JJxf(x,y}clxdy=(J: —xdydx=^Ix^dx=—,DK203 E(y)=JJ#gyWxdy=£PIydydx=0,I)八2 E{XY}=ffxyf{x,y^ixily=f『—xydydx=Q,^以Cov[X,i)八"2 久厂tS爲^'因此5不柑关・ fv—J.v=—+—.-2 <2 /Y(y)=匚/(x,)M=£=#-彳,0 '0,其他 所以,当0 .1.某公司让划开发一种新产品币场,并试图确立该产品的产量,他们估计出售一件产品可获利m元,而积压一件产品导致n元的损失,再者,他们预测销售量匕(件)服从参数&的指数分布,问若要获利的数学期望最大,应该生产多少件产品(设均为已知).解: 设生产X件产品时,获利Q为销售量y的函数 (mY-n(x-Y).0 e=G(n= mx,Y>x y £(Q)=Q(y)-fy(y)dy=£[wy-«(x-y)]e鼻1如广心》万dy _y_y+K_y =一J: ⑷+0+HxJ;d"0一J加皿0 =-{fn+n)xe-{m+n)0e'J+nxe-nx+mxe§ =-{fn+n}0e+(in+n)-nx =-(/«+n)Oe&——-n=(m+n)e \&丿 令讐 贝陀卡=_! }_,•••天=一&In—5^— m+nm+n 又空型一叱叮汽0dxe ■••当x=-&ln_J时,E(Q)取最大值 tn+// 2.设卖报人每日的潜在卖报数为X服从参数为/I的泊松分布,如果每日卖出一份报可获报酬m元,卖不掉而退回则每日赔偿n元,若每日卖报人买进r份报,求其期望所得及最佳卖报数。 解: 设貞正卖报数为匕则 A-A, —e9k k严 Y-re,k=F 设卖报所得为Z,则Z与y的关系为 ZW)屮y-Mi)T nirY=r E[g(y)]=I>(k)p(y=k)=I>^)p(Y=k)+g(r)p(y=c +mr *-0K・*-0K・&.UK・ ~21*r-l2^J +tnr =(z)松令八吃令£ Jt-UK・*・UK・ 当给世之后,求r,使得E(g{Y})达到最大.用软件计算2=100jn=lO.n=Ofhf£[j? (r)]=100,此时r=150但)组题 1.已知甲、乙两箱中装有同种产品,艮中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品,从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求: (1)乙箱中次品件数X的数学期望: (2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率- 解: (1)X的可能取值为61>2.3,X的概率分布律为 「A「3—上 P{X=£}=—-_y—,k=O,lf2,3. 设A表示事件“从乙箱中任取一件产品是次品S由于{X=O},{X=1}・{X=2}, q up X 0 1 2 3 1 9 9 1 Pl 20 20 20 20 因此 HX)=0x—+lx —+2x 9 +3x— _3 • 20 20 20 20 2 ⑵ {X=3}构成完备事件组,因此根据全概率公式,有 3 p(4)=》P{X=^P{A|X=灯 3*13 吃P{x=k}•-=-£wx*} DbDz y表示观察值大于一的次数,求尸的数学期望 3 解: 依题意,旷B(4"), 所以E{Y}=Ap=2,D(/)=4p(l-p)=l»f()^)=D(y)+[f(V)P=l+4=5 3•设随机变量U在区间(J.2)上服从均匀分布,随机变量 试求: {1)X和Y的联合分布律: (2)D(X+y)・ 解: (1)/川)J亍"2 0,其他 II P{x=-1,Y=-1}=P{UW・1且UWn=P{U<-! }=I-Ju=- J・244 P{x=-1,Y=1}=P{UW・1且t7>l}=0, P{X=1,Y=-1}^P{-1 442 p{X=1,Y=1}=P{U>.1且U>1}=P{U>1}=『1山4=- Ji44 X -1 1 Pi 些& Y ■ -1 1 pi 所以f(X)=-]/l+Vl=iy2»E{Y}=-3/4+]/3=-l^,E{XY}=1^-]/2+]/3=0,E{)e)=]/l+Vl=ltf{n=l'D(X)=l-lA=3i^>D(Z)=l-Vl=^.CovfXrV)=]A»D{X+y)=0(X)+D{y)+2Cov{X,y)=^+Vl+^^l=2 4.设随机变量X的期望£(X)仃方差D(X)存在,且有E(X)=a.D(X)=b(h>Q). y=证明£(r)=o,D(y)=L 4b 证明: 首先证明f(刀存在 (1)若随机变量X为离散型随机变量,分布律为: P{X=Xf}=/sL=h2,…则由E(X)存在知,E(X)=£兀几绝对收敛,且E(X)=a. i-i H七Zw-命绝对收敛, 记心牛=g(x)贝吃心)円=Zp^ Qbi.li-l\yfh) (2)若X为连续型随机变量,貝概率密度为/(心则: 5•设离散型随机变量X的分布律为P{X=xj=p^k=12…)•且E(X)・EX),D{X) 都存在,试证明: 函数/(丄・)=另(“-/)2几在x=E(X)时取得最小值,且最小值为0凶・证明: 令些l=_2yg_x)跌=0, 心1 则"2®几+另秘=0, 1A-I —+X另P*=—E(X)+x=0»所以'x=E(X) 1x-i 又<4^=1>0,所以x=E(X)时,f(x)=T(x,-xfp,取得最小值,此时 /(£(%))=2;U*-£(%))>,=D(X)A-i 6.随机变量XyY独立同分布,且X的分布律为 X 1 2 Pi 1 2/3 1/3 idC/=max(X,rxV=min(X#), (1)求(SV)的分布律: ⑵求UyW的协方差c (x,n (Ir1) (1,2) (2,1) (2,2) Pi 的 2/9 羽 1/9 u 1 2 2 2 M 1 1 1 2 1/9 2 2 1 2 (2)E(U)=4^+2X晞 E{V}=(的+妙询+2X1^=10^•E{UV}=4/9+2X4^+4Xly9=16/9,Cov{U.V)=l^-140/81=4/81 7.随机变量X的概率密度为 1/9
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