中考数学几何模型能力 对角互补.docx
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中考数学几何模型能力对角互补
中考数学几何模型 对角互补模型
共顶点模型,即四边形或构成的几何图形中,相对的角互补。
主要:
含90°的对角互补,含 120°的
对角互补,两种类型,种类不同,得出的个别结论会有所区别。
解决此类题型常用到的辅助线画法主要有
两种:
旋转法和过顶点作两垂线.
类型一:
含 90°的对角互补模型
(1)如图,∠AOB=∠DCE=90°,OC 平分∠AOB,则有以下结论:
①CD = CE ;
②OD + OE = 2OC ;
③S
VOCD
+S
VOCE
1
= OC 2
2
作法 1作法 2
(2)如图,∠AOB=∠DCE=90°,OC 平分∠AOB,当∠DCE 的一边与 AO 的延长线交于点 D 时,则有以下结论:
①CD = CE ;
②OE -OD = 2OC ;
③S
VOCE
-S
VOCD
1
= OC 2
2
作法 1作法 2
类型二:
含 120°的对角互补模型
(1)如图,∠AOB=2∠DCE=120°,OC 平分∠AOB,则有以下结论:
①CD = CE ;
②OD + OE =OC ;
③S
VOCD
+S
VOCE
= 3 OC 2
4
作法 1作法 2
(2)如图,∠AOB=∠DCE=90°,OC 平分∠AOB,当∠DCE 的一边与 AO 的延长线交于点 D 时,则有以下结论:
①CD = CE ;
②OE -OD = 2OC ;
③S
VOCE
-S
VOCD
1
= OC 2
2
作法 1作法 2
例题 1. 如图,正方形 ABCD 与正方形 OMNP 的边长均为 10,点 O 是正方形 ABCD 的中心,正方形 OMNP 绕 O
点旋转,证明:
无论正方形OMNP 旋转到何种位置,这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值,并求这
个定值.
变式练习>>>
1. 角线交于点 O,点 E、F 分别在 AB、BC 上(AE<BE),且∠EOF=90°,OE、DA 的延长线交于点 M,
OF、AB 的延长线交于点 N,连接 MN.
(1)求证:
OM=ON.
(2)若正方形 ABCD 的边长为 4,E 为 OM 的中点,求 MN 的长.
例题 2. 四边形 ABCD 被对角线 BD 分为等腰直角△ABD 和直角△CBD,其中∠A 和∠C 都是直角,另一条
对角线 AC 的长度为 2,求四边形 ABCD 的面积.
变式练习>>>
2. 如图,在四边形 ABCD 中,∠A=∠C=90°,AB=AD,若这个四边形的面积为 12,则 BC+CD=_______.
例题 3. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,AB=3,
=4,RtMPN,∠MPN=90°,点 P 在 AC 上,PM
交 AB 于点 E,PN 交 BC 于点 F,当 PE=2PF 时,AP=.
变式练习>>>
3. 如图,在矩形 ABCD 中,AB=3,BC=5,点 E 在对角线 AC 上,连接 BE,作 EF⊥BE,垂足为 E,直线 EF
交线段 DC 于点 F,则=()
A.
B. C. D.
例题 4. 用两个全等且边长为 4 的等边三角形△ABC 和△ACD 拼成菱形 ABCD.把一个 60°角的三角尺与
这个菱形叠合,使三角尺的 60°角的顶点与点 A 重合,两边分别与 AB,AC 重合,将三角尺绕点 A 按逆时
针方向旋转.
;
(1)当三角尺的两边分别与菱形的两边 BC,CD 相交于点 E,F 时,(如图 1),通过观察或测量 BE,CF 的长
度,你能得出什么结论?
(直接写出结论,不用证明)
(2)当三角尺的两边分别与菱形的两边 BC,CD 的延长线相交于点 E,F 时(如图 2),你在
(1)中得到的
结论还成立吗?
说明理由;
(3)在上述情况中,△AEC 的面积是否会等于?
如果能,求 BE 的长;如果不能,请说明理由.
变式练习>>>
.
4. 我们规定:
横、纵坐标相等的点叫做“完美点”
(1)若点 A(x,y)是“完美点”,且满足 x+y=4,求点 A 的坐标;
(2)如图 1,在平面直角坐标系中,四边形 OABC 是正方形,点 A 坐标为(0,4),连接 OB,E 点从 O 向 B
运动,速度为 2 个单位/秒,到 B 点时运动停止,设运动时间为 t.
①不管 t 为何值,E 点总是“完美点”;
②如图 2,连接 AE,过 E 点作 PQ⊥x 轴分别交 AB、OC 于 P、Q 两点,过点 E 作 EF⊥AE 交 x 轴于点 F,问:
当 E 点运动时,四边形 AFQP 的面积是否发生变化?
若不改变,求出面积的值;若改变,请说明理由.
例题 5. 已知,点 P 是∠MON 的平分线上的一动点,射线 PA 交射线 OM 于点 A,将射线 PA 绕点 P 逆时针
旋转交射线 ON 于点 B,且使∠APB+∠MON=180°.
(1)利用图 1,求证:
PA=PB;
(2)如图 2,若点 C 是 AB 与 OP 的交点,当
POB=3
PCB时,求 PB 与 PC 的比值;
(3)若∠MON=60°,OB=2,射线 AP 交 ON 于点 D,且满足且∠PBD=∠ABO,请借助图 3 补全图形,并求
OP 的长.
达标检测
领悟提升 强化落实
1. 如图,在等腰 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=8,F 是 AB 边上的中点,点 D、E 分别在 AC、BC 边上运动,且
保持 AD=CE,连结 DE、DF、EF,在此运动变化的过程中,下列结论:
①△DEF 是等腰直角三角形;②四边形
CDFE 不可能为正方形;③四边形 CDFE 的面积保持不变;④DE 长度的最小值为 4;⑤△CDE 面积的最大值为
8,其中正确的结论是______________.
2. 如图,在四边形 ABCD 中,AB=BC,∠ABC=∠CDA=90°,BE⊥AD 于点 E,且四边形 ABCD 的面积为 8,求
BE 的长.
3. 如图,正方形 ABCD 的边长为 6,点 O 是对角线 AC,BD 的交点,点 E 在 CD 上,且 DE=2CE,连接
BE.过点 C 作 CF⊥BE,垂足为点 F,连接 OF.求:
(1)CF 的长;
(2)OF 的长.
4. 如图①,∠QPN 的顶点 P 在正方形 ABCD 两条对角线的交点处,∠QPN=α,将∠QPN 绕点 P 旋转,旋转
过程中∠QPN 的两边分别与正方形 ABCD 的边 AD 和 CD 交于点 E 和点 F(点 F 与点 C,D 不重合).
(1)如图①,当 α=90°时,DE,DF,AD 之间满足的数量关系是;
(2)如图②,将图①中的正方形 ABCD 改为∠ADC=120°的菱形,其他条件不变,当 α=60°时,
(1)
中的结论变为 DE+DF= AD,请给出证明;
(3)在
(2)的条件下,若旋转过程中∠QPN 的边 PQ 与射线 AD 交于点 E,其他条件不变,探究在整个运
动变化过程中,DE,DF,AD 之间满足的数量关系,直接写出结论,不用加以证明.
5. “如图 1,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于点 D.”这里,根据已学的相似三角形的知识,易
证:
=.在图 1 这个基本图形的基础上,继续添加条件“如图 2,点 E 是直线 AC 上一动点,连接
DE,过点 D 作 FD⊥ED,交直线 BC 于点 F,设
= .”
(1)探究发现:
如图②,若 m=n,点 E 在线段 AC 上,则
= ;
(2)数学思考:
①如图 3,若点 E 在线段 AC 上,则=(用含 m,n 的代数式表示);
②当点 E 在直线 AC 上运动时,①中的结论是否仍然成立?
请仅就图 4 的情形给出证明;
(3)拓展应用:
若 AC=,BC=2,DF=4,请直接写出 CE 的长.
6.(2019·贵阳适应性)如图①,已知 AC=BC,AC⊥BC,直线 MN 经过点 B,过点 A 作 AD⊥MN,垂足为 D,
连接 CD.
(1)动手操作:
根据题意,请利用尺规将图①补充完整; 保留作图痕迹,不写作法)
(2)探索证明:
在补充完成的图①中,猜想 CD、BD 与 AD 之间的数量关系,并说明理由;
(3)探索拓广:
一天小明一家在某公园游玩时走散了,电话联系后得知,三人的位置如图②,爸爸在 A 处,
妈妈在 C 处,小明在 D 处,B 为公园大门口,若 B、D 在直线 MN 上,且 AC⊥BC,AD⊥MN,AC=BC,AD=100m,
CD=40m,求出小明到公园门口的距离 BD 的长度.
答案
例题 1. 如图,正方形 ABCD 与正方形 OMNP 的边长均为 10,点 O 是正方形 ABCD 的中心,正方形 OMNP 绕 O
点旋转,证明:
无论正方形OMNP 旋转到何种位置,这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值,并求这
个定值.
【解答】解:
当 OP∥AD 或 OP 经过 C 点,
重叠部分的面积显然为正方形的面积的 ,即 25,
当 OP 在如图位置时,过 O 分别作 CD,BC 的垂线垂足分别为 E、F,
如图在 Rt△OEG 与 Rt△OFH 中,∠EOG=∠HOF,OE=OF=5,
∴△OEG≌△OFH,
∴S 四边形 OHCG=S 四边形 OECF=25,即两个正方形重叠部分的面积为 25.
变式练习>>>
1. 角线交于点 O,点 E、F 分别在 AB、BC 上(AE<BE),且∠EOF=90°,OE、DA 的延长线交于点 M,
OF、AB 的延长线交于点 N,连接 MN.
(1)求证:
OM=ON.
(2)若正方形 ABCD 的边长为 4,E 为 OM 的中点,求 MN 的长.
【解答】解:
(1)∵四边形 ABCD 是正方形,
∴OA=OB,∠DAO=45°,∠OBA=45°,
∴∠OAM=∠OBN=135°,
∵∠EOF=90°,∠AOB=90°,
∴∠AOM=∠BON,
∴△OAM≌△OBN(ASA),
∴OM=ON;
例题 2. 四边形 ABCD 被对角线 BD 分为等腰直角△ABD 和直角△CBD,其中∠A 和∠C 都是直角,另一条
对角线 AC 的长度为 2,求四边形 ABCD 的面积.
【解答】解:
将△ABC 绕点 A 旋转 90°,使 B 与 D 重合,C 到 C′点,
则有∠CDC′=∠ADC+∠ADC′=∠ADC+∠ABC=180°,
所以 C、D、C′在同一直线上,则 ACDC′是三角形,
又因为 AC=AC′,
所以△ACC′是等腰直角三角形,
在△ABC 和△ADC′中
∴△ABC≌△ADC′(SAS),
∴四边形 ABCD 的面积等于等腰直角三角形 ACC′的面积,
所以 S 四边形 ABCD=
ACC′×2×2=2.
变式练习>>>
2. 如图,在四边形 ABCD 中,∠A=∠C=90°,AB=AD,若这个四边形的面积为 12,则 BC+CD=_______.
答案:
4 3
例题 3. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,AB=3,
=4,RtMPN,∠MPN=90°,点 P 在 AC 上,PM
交 AB 于点 E,PN 交 BC 于点 F,当 PE=2PF 时,AP=3.
【解答】解:
如图作 PQ⊥AB 于 Q,PR⊥BC 于 R.
∵∠PQB=∠QBR=∠BRP=90°,
∴四边形 PQBR 是矩形,
∴∠QPR=90°=∠MPN,
∴∠QPE=∠RPF,
∴△QPE∽△RPF,
∴==2,
∴PQ=2PR=2BQ,
∵PQ∥BC,
∴AQ:
QP:
AP=AB:
BC:
AC=3:
4:
5,设 PQ=4x,则 AQ=3x,AP=5x,BQ=2x,
∴2x+3x=3,
∴x=,
∴AP=5x=3.
故答案为 3.
变式练习>>>
3. 如图,在矩形 ABCD 中,AB=3,BC=5,点 E 在对角线 AC 上,连接 BE,作 EF⊥BE,垂足为 E,直线 EF
交线段 DC 于点 F,则=()
A.B.C.D.
【解答】解:
如图,连接 BF,取 BF 的中点 O,连接 OE,OC.
∵四边形 ABCD 是矩形,EF⊥BE,
∴∠BEF=∠BCF=90°,AB=CD=3,BC=AD=5,
∵OB=OF,
∴OE=OB=OF=OC,
∴B,C,F,E 四点共圆,
∴∠EBF=∠ECF,
∴tan∠EBF=tan∠ACD,
∴==,
故选:
B.【本题两种方法解答,过 E 作两垂线亦可】
例题 4. 用两个全等且边长为 4 的等边三角形△ABC 和△ACD 拼成菱形 ABCD.把一个 60°角的三角尺与
这个菱形叠合,使三角尺的 60°角的顶点与点 A 重合,两边分别与 AB,AC 重合,将三角尺绕点 A 按逆时
针方向旋转.
;
(1)当三角尺的两边分别与菱形的两边 BC,CD 相交于点 E,F 时,(如图 1),通过观察或测量 BE,CF 的长
度,你能得出什么结论?
(直接写出结论,不用证明)
(2)当三角尺的两边分别与菱形的两边 BC,CD 的延长线相交于点 E,F 时(如图 2),你在
(1)中得到的
结论还成立吗?
说明理由;
(3)在上述情况中,△AEC 的面积是否会等于?
如果能,求 BE 的长;如果不能,请说明理由.
【解答】解:
(1)BE=CF.
证明:
在△ABE 和△ACF 中,
∵∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC=60°,
∴∠BAE=∠CAF.
∵AB=AC,∠B=∠ACF=60°,
∴△ABE≌△ACF(ASA).
∴BE=CF;
(3)能.
△AEC 的 CE 边上的高为等边△ABC 的高,为 2
∵△AEC 的面积等于,
∴底边 CE=2,
,
∴BE=6 或 2.
变式练习>>>
.
4. 我们规定:
横、纵坐标相等的点叫做“完美点”
(1)若点 A(x,y)是“完美点”,且满足 x+y=4,求点 A 的坐标;
(2)如图 1,在平面直角坐标系中,四边形 OABC 是正方形,点 A 坐标为(0,4),连接 OB,E 点从 O 向 B
运动,速度为 2 个单位/秒,到 B 点时运动停止,设运动时间为 t.
①不管 t 为何值,E 点总是“完美点”;
②如图 2,连接 AE,过 E 点作 PQ⊥x 轴分别交 AB、OC 于 P、Q 两点,过点 E 作 EF⊥AE 交 x 轴于点 F,问:
当 E 点运动时,四边形 AFQP 的面积是否发生变化?
若不改变,求出面积的值;若改变,请说明理由.
【解答】解
(1)∵点 A(x,y)是“完美点”
∴x=y
∵x+y=4
∴x=2,y=2
∴A 点坐标(2,2)
(2)①∵四边形 OABC 是正方形,
点 A 坐标为(0,4),
∴AO=AB=BC=4
∴B(4,4)
设直线 OB 解析式 y=kx 过 B 点
∴4=4k
k=1
∴直线 OB 解析式 y=x
设点 E 坐标(x,y)
∵点 E 在直线 OB 上移动
∴x=y
∴不管 t 为何值,E 点总是“完美点”.
例题 5. 已知,点 P 是∠MON 的平分线上的一动点,射线 PA 交射线 OM 于点 A,将射线 PA 绕点 P 逆时针旋转
交射线 ON 于点 B,且使∠APB+∠MON=180°.
(1)利用图 1,求证:
PA=PB;
(2)如图 2,若点 C 是 AB 与 OP 的交点,当
POB=3
PCB时,求 PB 与 PC 的比值;
(3)若∠MON=60°,OB=2,射线 AP 交 ON 于点 D,且满足且∠PBD=∠ABO,请借助图 3 补全图形,并
求 OP 的长.
【解答】解:
(1)作 PE⊥OM,PF⊥ON,垂足为 E、F
∵四边形 OEPF 中,∠OEP=∠OFP=90°,
∴∠EPF+∠MON=180°,已知∠APB+∠MON=180°,
∴∠EPF=∠APB,即∠EPA+∠APF=∠APF+∠FPB,
∴∠EPA=∠FPB,
由角平分线的性质,得 PE=PF,
∴△EPA≌△FPB,即 PA=PB;
(2)∵
POB=3
PCB
∴PO=3PC,
由
(1)可知△PAB 为等腰三角形,则
∠PBC=(180°﹣∠APB)=∠MON=∠BOP,
又∵∠BPC=∠OPB(公共角),
∴△PBC∽△POB,
∴
= ,
即 PB2=PO PC=3PC2,
∴=
达标检测
领悟提升 强化落实
1. 如图,在等腰 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=8,F 是 AB 边上的中点,点 D、E 分别在 AC、BC 边上运动,且
保持 AD=CE,连结 DE、DF、EF,在此运动变化的过程中,下列结论:
①△DEF 是等腰直角三角形;②四边形
CDFE 不可能为正方形;③四边形 CDFE 的面积保持不变;④DE 长度的最小值为 4;⑤△CDE 面积的最大值为
8,其中正确的结论是______________.
答案:
①②③
2. 如图,在四边形 ABCD 中,AB=BC,∠ABC=∠CDA=90°,BE⊥AD 于点 E,且四边形 ABCD 的面积为 8,求
BE 的长.
答案:
2 2
3. 如图,正方形 ABCD 的边长为 6,点 O 是对角线 AC,BD 的交点,点 E 在 CD 上,且 DE=2CE,连接
BE.过点 C 作 CF⊥BE,垂足为点 F,连接 OF.求:
(1)CF 的长;
(2)OF 的长.
【解答】解:
(1)如图,在 BE 上截取 BG=CF,连接 OG,
∵
BCE 中,CF⊥BE,
∴∠EBC=∠ECF,
∵∠OBC=∠OCD=45°,
∴∠OBG=∠OCF,
在△OBG 与△OCF 中,
,
∴△OBG≌△OCF(SAS),
∴OG=OF,∠BOG=∠COF,
∴OG⊥OF,
在
BCE 中,BC=DC=6,DE=2EC,
∴EC=2,
∴BE=
∵BC2=BF•BE,
= =2 ,
则 62=BF•2
解得:
BF=
,
∴EF=BE﹣BF=
,
∵CF2=BF•EF,
∴CF=;
4. 如图①,∠QPN 的顶点 P 在正方形 ABCD 两条对角线的交点处,∠QPN=α,将∠QPN 绕点 P 旋转,旋转
过程中∠QPN 的两边分别与正方形 ABCD 的边 AD 和 CD 交于点 E 和点 F(点 F 与点 C,D 不重
合).
(1)如图①,当 α=90°时,DE,DF,AD 之间满足的数量关系是 DE+DF=AD;
(2)如图②,将图①中的正方形 ABCD 改为∠ADC=120°的菱形,其他条件不变,当 α=60°时,
(1)
中的结论变为 DE+DF= AD,请给出证明;
(3)在
(2)的条件下,若旋转过程中∠QPN 的边 PQ 与射线 AD 交于点 E,其他条件不变,探究在整个运
动变化过程中,DE,DF,AD 之间满足的数量关系,直接写出结论,不用加以证明.
【解答】解:
(1)正方形 ABCD 的对角线 AC,BD 交于点 P,
∴PA=PD,∠PAE=∠PDF=45°,
∵∠APE+∠EPD=∠DPF+∠EPD=90°,
∴∠APE=∠DPF,
在△APE 和△DPF 中
∴△APE≌△DPF(ASA),
∴AE=DF,
∴DE+DF=AD;
(2)如图②,取 AD 的中点 M,连接 PM,
∵四边形 ABCD 为∠ADC=120°的菱形,
∴BD=AD,∠DAP=30°,∠ADP=∠CDP=60°,
∴△MDP 是等边三角形,
∴PM=PD,∠PME=∠PDF=60°,
∵∠PAM=30°,
∴∠MPD=60°,
∵∠QPN=60°,
∴∠MPE=∠FPD,
在△MPE 和△DPF 中,
∴△MPE≌△DPF(ASA)
∴ME=DF,
∴DE+DF= AD;
5. “如图 1,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于点 D.”这里,根据已学的相似三角形的知识,易证:
=.在图 1 这个基本图形的基础上,继续添加条件“如图 2,点 E 是直线 AC 上一动点,连接 DE,
过点 D 作 FD⊥ED,交直线 BC 于点 F,设
= .”
(1)探究发现:
如图②,若 m=n,点 E 在线段 AC 上,则
= 1 ;
(2)数学思考:
①如图 3,若点 E 在线段 AC 上,则=(用含 m,n 的代数式表示);
②当点 E 在直线 AC 上运动时,①中的结论是否仍然成立?
请仅就图 4 的情形给出证明;
(3)拓展应用:
若 AC=,BC=2,DF=4,请直接写出 CE 的长.
【解答】解:
(1)当 m=n 时,即:
BC=AC,
∵∠ACB=90°,
∴∠A+∠ABC=90°,
∵CD⊥AB,
∴∠DCB+∠ABC=90°,
∴∠A=∠DCB,
∵∠FDE=∠ADC=90°,
∴∠FDE﹣∠CDE=∠ADC﹣∠CDE,
即∠ADE=∠CDF,
∴△ADE∽△CDF,∴=,
∵∠A=∠DCB,∠ADC=∠BDC=90°,
∴△ADC∽△CDB,
∴==1,∴=1,
故答案为 1.
(2)①∵∠ACB=90°,
∴∠A+∠ABC=90°,
∵CD⊥AB,
∴∠DCB+∠ABC=90°,
∴∠A=∠DCB,
∵∠FDE=∠ADC=90°,
∴∠FDE﹣∠CDE=∠ADC﹣∠CDE,
即∠ADE=∠CDF,
∴△ADE∽△CDF,∴=,
∵∠A=∠DCB,∠ADC=∠BDC=90°,
∴△ADC∽△CDB,
∴==,∴=,
故答案为.
(3)由
(2)有,△ADE∽△CDF,
∵
∴
=
=
= ,
= = ,
∴CF=2AE,
在 Rt△DEF 中,DE=2
,DF=4 ,
∴EF==
①当 E 在线段 AC 上时,在 Rt△CEF 中,
=2 ,
CF=2AE=2(AC﹣CE)=2(﹣CE),EF=2
根据勾股定理得,CE2+CF2=EF2,
∴CE2+[2(﹣CE)]2=40
∴CE=2,或 CE=﹣(舍)
而 AC=<CE,
∴此种情况不存在,
,
6.(2019·贵阳适应性)如图①,已知 AC=BC,AC⊥BC,直线 MN 经过点 B,过点 A 作 AD⊥MN,垂足为 D,
连接 CD.
(1)动手操作:
根
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