求值域的常用方法.docx
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求值域的常用方法
求函数值域(最值)的方法
函数是中学数学的一个重点,而函数值域(最值)的求解方法更是一个常考点,对于如何求函数的值域,是学生感到头痛的问题,它所涉及到的知识面广,方法灵活多样,在高考中经常出现,占有一定的地位,因此能熟练掌握其值域(最值)求法就显得十分的重要,求解过程中若方法运用适当,就能起到简化运算过程,避繁就简,事半功倍的作用。
本文旨在通过对典型例题的讲解来归纳函数值域(最值)的求法,希望对大家有所帮助。
一、值域的概念和常见函数的值域
函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域.
常见函数的值域:
一次函数y=kx+b(k^O)的值域为R.
二次函数〉,=尼+加+c(gO),当°>0时的值域为气^pj,当*0
时的值域为色二绡.,
I4a
反比例函数y=-(k^0)的值域为{>'eR\y丰0}.
A
指数函数y=/(a>0且°H1)的值域为{y\y>0}.
对数函数y=log,x{a>0且aH1)的值域为R.
正,余弦函数的值域为正,余切函数的值域为R.
二、求函数值域(最值)的常用方法
适用类型:
根据函数图象.性质能较容易得岀值域(最值)的简单函数
例1、求函数y=丿一的值域
f+1
解:
x24-l>l,.\0<-J—<1显然函数的值域是:
(0,1]
x2+l」
例2、求函数y=2-77的值域。
解:
•••\/x>0/.—yfx<02—Vx<2
故函数的值域是:
[4,2]
2、配方法
适用类型:
二次函数或可化为二次函数的复合函数的题型。
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
对于形如
y=cix1+/x+c(aH0)或F(x)=a[/(x)丁+妙(x)+c(aH0)类的函数的值域问
题,均可用配方法求解.
例3、求函数y=x2-2x+5,xe[-l,2]的值域。
解:
将函数配方得:
y=(x-1)2+4,xe[-l,2],由二次函
数的性质可知:
当x=1时,=4
当x=-1,时ymax=8
故函数的值域是:
[4,8]
例4、求函数的值域:
y=7-x2-6x-5
解:
设//=-x2-6x-5(//>0),则原函数可化为:
y=B.又因为
//=-v2-6x-5=-(x+3)-+4<4,所以0S“S4,故,丽丘[0,2],所以,
=—x-5的值域为[0,2].
3、判别式法
适用类型:
分子.分母中含有二次项的函数类型,此函数经过变形后可以化为A(y),+3(y)x+C(y)=0的形式,再利用判别式加以判断。
例5、求函数的值域v=2<~A'+2
JT+X+1
解:
•./+x+l>0恒成立,二函数的定义域为R.
由>,=———得(y—2)卫+(y+l)x+y-2=0。
x~+x+\
1当y-2=0只卩y=2时,3x+0=0,.\x=0e7?
;
2当y-2^0即)V2时,vxe/?
时,方程(y-2)A:
2+(y+l)x+y-2=0恒有
实根..•.△=(y+l)2-4x(y-2)2>01分S5且yH2.
•••原函数的值域为[1,5].
例6、求函数y=x+Jx(2_x)的值域。
解:
两边平方整理得:
2x2-2(y+l)x+y2=0
(1)
vxeR,A=4(y+l)2-8y>0
解得:
1-V2 但此时的函数的定义域由x(2-x)>0,得: 0 由△? (),仅保证关于x的方程: 2x2-2(y+l)x+y2=0在实数集R有实根,而不能确保其实根在区间[0,2]上,即不能确保方程 (1)有实根,由△»()求出的范围可能比y的实际范围大,故不能确定此函数的值域为[*,|]o可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 •・・0 二儿in=°,y=l+>/2代入方程 (1),解得: X严-\-G[0,2],即 当x严土斗至时,原函数的值域为: [0,1+血]。 注: 由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔除。 4、反函数法 适用类型: 分子.分母只含有一次项的函数(即有理分式一次型),也可用于其它易反解出自变量的函数类型。 例7、求函数土的值域。 X+1 分析与解: 由于木题中分子、分母均只含有自变量的一次型,易反解出X,从而便于求出反函数。 y=—反解得x=宀即)匸宀 x+12-y2-x 知识回顾: 反函数的定义域即是原函数的值域。 故函数的值域为: )0-8,2)U(2,+s)。 5、函数有界性法 直接求函数的值域困难时,可以利用己学过函数的有界性,反客为主来确定函数的值域。 适用类型: 一般用于三角函数型,即利用sinxe[-l,l],cosxc[-l,l]等。 例8、求函数y==的值域。 e+1 解: 由原函数式可得: ”=出 )」1 ”>0,,2±1>0 y-i 解得: -l 故所求函数的值域为(-1,1). 例9、求函数y=且一的值域。 sinx-3 解: 由原函数式可得: ysinx-cosx=3y 可化为: yjy2+1sinx(x+卩)=3y 即sinx(x+p)=,‘' +1 VxeR,Asinx(x+p)e[-i,1]。 B|J-1<^==<1 解W: -# 4444 6、函数单调性法 适用类型: 一般能用于求复合函数的值域或最值。 (原理: 同增异减) 例10、求函数y=log|(4x-a-2)的值域。 分析与解: 由于函数本身是由一个对数函数(外层函数)和二次函数(内层函数)复合而成,故可令: /(x)=-x2+4x(/(x)>0)配方得: f(x)=-(x-2)2+4JWW/(x)e(0,4)由复合函数的单调性(同增异减)知: ye[一2,+s)o 例11、求函数y二2“+log(J口(2 函数。 所以y=yi+儿在[2,10]上是增函数。 "iX=2时,ymin=2_-+log5y/2-\当X=10时'}'max=2'+log「Q=33。 故所求函数的值域为: [1,33]。 8 例12、求函数y=厶+1-厶-1的值域。 解: 原函数可化为: 尸,_-,— y/X+1+Jx-l 令yi=Jx+l,y2=厶-1,显然力,在[1,+°°)上为无上界的增函数,所以y=yi+y2在[1,+oo)上也为无上界的增函数。 所以当x=1时,y=y14-y2有最小值",原函数有最大值专=凤 显然y>0,故原函数的值域为(0,V2]o 7、换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。 换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用。 适用类型: 无理函数、三角函数(用三角代换)等。 例13、求函数y=x+V7刁■的值域。 解: 令x-l=t,(t>0)贝ljx=r+1 Vy=/2+t+l=(/+|)2+|,又CO,由二次函数的性质可知当t=O时,ymin=1,当t—0时,y一+8。 故函数的值域为[1,+8)。 例14、求函数y=x+2+Jl-(x+l)2的值域 解: 因1-(a+1)2>0,即(%+1)2<1 故可令x+l=cos卩,pe[0,ni。 ・°・y=cosP+1+Vi-cos2B=sinP+cosP+1 =v,f2sin(B+H/4)+1 VO ••…罕Ssin(卩+口/4)SI 0 故所求函数的值域为[0,l+v,f2]o 例15、求函数宁的值域 x+2,x+1 解: 原函数可变形为: 21+x・1+f 可令x=tgp,则有丄n=sin2[3,匕厶=cos2(3 \+x~\+x~ ・*.y=-^siii2pxcos2P=-丄siii4p 当戸kn/2-n/sw,ymax=io 4 当卩二kH/2+H/8时,ymin=冷 而此时tg卩有意义。 故所求函数的值域为卜丄,丄]。 44 例16、求函数y=(sinx+l)(cosx+1),xW卜H/12JJ/2]的值域。 解: y=(sinx+l)(cosx+1)=sinxcosx+sinx+cosx+1令sinx+cosx=t,贝ijsinxcosx=-(r-1) 2 y=-(r-1)+t+l=-(r+1)2 22 由t=sinx+cosx=V2sin(x+]J/4)且xW[-IJ/12,[J/2]可得: ^ 2 •: 当(=4时’ymax=|"+血’当t=¥时’y=”¥故所求函数的值域为(1+4,”血]。 例17、求函数y=x+4+J5-F的值域 解: 由5-x>0,可得丨x|<75 故可令x=v/5cosp,[0,fl] y=、,Scosp+4+、你sin卩=佰sin(0+口/4)+4 •/o 当(3=H/4时,)仏=4+、而,当卩时,『圖=4"o故所求函数的值域为: [4-^5,4+Vio]o 8数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公 式直线斜率等等,这类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目 了然,赏心悦目。 适用类型: 函数本身可和其几何意义相联系的函数类型. 例18、求函数y=J(x—2)'+\心+8)‘的值域。 解: 原函数可化简得: y=Ix-2|+|x+8I BF.A、 -802 上式可以看成数轴上点P(x)到定点A (2),B(-8)间的距离之和。 由上图可知: 当点P在线段AB±时, y=Ix-2|+Ix+8I=IABI=10 当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时, y=Ix-2|+Ix+8|>|AB|=10 故所求函数的值域为: [10,+8) 例19、求函数-6x+13+Jf+4x+5的值域 解: 原函数可变形为: y=J(x—3),+(0—2)'+\l(x+2$+(0+1)' 上式可看成x轴上的点P(x,0)到两定点A(3,2),B(-2,-1)的 距离之和, 由图可知当点P为线段与x轴的交点时, ym.„=IabI=J(3+2)'+(2+1)'=局,故所求函数的值域为[屈,+8)。 例20、求函数y=j£-6X+13-Jf+4x+5的值域 到点P(x,0)的距离之差。 BP: y=|AP|-IBP| 由图可知: (1)当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时,如点 P】,则构成AABPi,根据三角形两边之差小于第三边, 有丨丨API|-|BPI丨丨<丨AB丨=J(3+2)'+(2—1)'=726B[J: -V26 (2)当点P恰好为直线AB与x轴的交点时,有 IIAP|-IBPI|=IAB|=V26o 综上所述,可知函数的值域为: (-届,-V26]o 注: 由例17,18可知,求两距离之和时,要将函数式变形, 使A,B两点在x轴的两侧,而求两距离之差时,则要使两点A,B 在x轴的同侧。 如: 例17的A,B两点坐标分别为: (3,2),(・2,・1),在x 轴的同侧; 例18的A,B两点坐标分别为: (3,2),(2,-1),在x轴的同侧。 例21、求函数>,=上沁的值域. 2-cosx 分析与解: 看到该函数的形式,我们可联想到直线中己知廊点求直线的斜率的公式“gi,将原函数视为定点(2,3倒动点(cosx,sinx)的斜率,又 “2一K 知动点(cosx,smx)满足单位圆的方程,从而问题就转化为求点(2,3)到单位圆连线的斜率问题,作出图形观察易得的最值在直线和圆上点的连线和圆相切时取得,从而解得: “[匕芈,竺遇] 9、不等式法 适用类型: 能利用几个重要不等式及推论来求得最值。 (如: a2+b2>2ab,a+b>2y[ab) 其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定 值,不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 例22、求函y=(sinx+l/sinx)+(cosx+1/cosx)的值域 解: 原函数变形为: y分乍 y=(sirir+cos、)+1/sin'A+1/cos~x 分,27 =1+csc'+secx^+tg~x+ctg~x 23^tgxctg2x+2=5 当且仅当tgx=ctgx,即当x=kH±[]/4时(kez),等号成立。 例23、求函数y=2sinxsin2x的值域 解: y=2sinxsinxcosx=4sin2vC0SX 24, y=16sinxcos =8sin2xsinx(2_2sin'x) -8(sin'x+sifx+2-sii? x) =8[(sirfx+sirf'+2-sin'x)⑶ =64 ~27 当且当sin2A=2-2sin\,即当Sin\=时,等号成立。 故原函数的值域为: [半,罟)。 例24、当x>0时,求函数/(x)=8x+4的最值,并指出/(X)取最值时x的 值。 分析与解: 因为/(x)=8x+—=4x+4x+丄可利用不等式a+h+c>3\[abcB|J: f(x)>3*4x・4x・Z所以f{x)>12当且仅当4x=4即x=1时取当x=1时VX-JC /(X)取得最小值12o 例25、双曲线4-4=1的离心率为©,双曲线4-^=1的离心率为6,a~b~b~a~ 则ex+e2的最小值是()o A2>/2B4C2D V2 分析与解: 根据双曲线的离心率公式易得: 5+“乂土+斗兰,ab 我们知道x+y>2历所以勺+Q(当且仅当=丈卫 ■Vabab 时取"=”)而a2+h2>2ab故»2血(当且仅当d=〃时取“=")所以(勺+e2)mia=2^2。 10、导数法 设函数芦⑴在[诃上连续,在(")上可导,则才⑴在[仏列上的最大值和最小值为/(x)在仏。 )内的各极值与/(«),/(b)中的最大值与最小值。 要求三次及三次以上的函数的最值,以及利用其他方法很难求的函数似的最值,通常都用该方法。 导数法往往就是最简便的方法,应该引起足够重视。 例26、求函数/(x)=? -3x2+6x-2,xg[-1,1]的最大值和最小值。 解: 广(x)=3/-6x+6,令广(x)=0,方程无解. v/,(x)=3x2-6x+6=3(x-1)2+3>0/.函数/⑴在xg[-1,1]上是增函数. 故当*-1时,九⑴=/(-1)=-12,当"1时,D=f(l)=2例27、求函数f(x)=—的最值. 疋+2x+2 解析: 函数/(Q是定义在一个开区间(-O+S)上的可导函数, 得/(对的唯一驻点x=-l即为最点. XV-1时,广(x)>0,函数递增, xv-l时,广(x)vo,函数递减, 故/⑴有最大值/(-I)=1• 【说明】木函数是二次函数的复合函数,用配方法求最值也很简 便. f(x)=U——<1,等号成立条件是X=-1. (x+\y+\ 注: 最值寻根的导数判定 若定义在一个开区间上的函数y=fM有导函数f\x)=sM存在,那么/(X)是否有最值的问题可转化为/(X)的导函数g(x)是否有最根的问题来研究: (1)若导函数g(x)无根,即g(x)HO,则/(x)无最值; (2)若导函数g(x)有唯一的根心,即八忑)=0,贝IJ/3有最值fM,此时,导函数广(X)的根心即是函数/(X)最根心 (3)若导函数g(x)有多个的根,则应从多个驻点中依次判定极点、最点的存在性. 11、多种方法综合运用 例28、求函数的值域 解: 令t=Vx+2(t>0),贝ijx+3=r2+l (1)当t>0时,=丄,当且仅当匸1,即x=l时取等号厂+1r+1/f2 所以0 (2)当t=0时,y=0。 综上所述,函数的值域为: [0,[]。 2 注: 先换元,后用不等式法。 例29、求函数y=L的值域。 1+2工+兀 W: 尸上仝;+亠匚=(匕£)+亠 1+2兀+兀1+2X+X1+v21+无 〃22 令x=tg亍贝ij(—)=COS0,=—sin/7, 2i+/r2 212J y=COS^/? +ySinsjn^+亍Sin0+1 2 =-(sin0-》+恬 ・••当sin0=]时,ymax=|—。 当sin/7=-1时,ymin=-2。 416 此时tg£都存在,故函数的值域为: [一2,卩]。 216 注: 此题先用换元法。 后用配方法,然后再运用sin0的有界性。 总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。 学生巩固练习 1函数y**丄(疋一片)的值域是() A(-s,-f]B[—£+s)C[半,+8)D(—0—扌迈] 2函数y=x+Vmi的值域是() A(—8,1]B(—8,—1]CRD[1、+Q) 3—批货物随17列货车从A市以V千米/小时匀速直达3市,己知 两地铁路线长400千米,为了安全,两列货车间距离不得小于(箱尸千米,那么这批物资全部运到B市,最快需要小时(不计货车的车身 长) 4设X]、也为方程4工一4九丫+加+2=0的两个实根,当m- 时,xi2+%22有最小值 5某企业生产一种产品时,固定成本为5000元,而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元,市场对此商品年需求量为500台,销售的收入函数为万元)(0工5),其中x是产品售出的数量(单位百台) (1)把利润表示为年产量的函数; (2)年产量多少时,企业所得的利润最大? (3)年产量多少时,企业才不亏本? 6己知函数f(x)=\g[(a2—1)工+(“+1)x+1] ⑴若冷)的定义域为(一8,+8),求实数“的取值范围; (2)若.心)的值域为(一8,+oo),求实数a的取值范围 7某家电生产企业根据市场调查分析,决定调整产品生产方案,准备每周(按120个工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共360台,且冰箱至少生产60台己知生产家电产品每台所需工时和每台产值如下表 家电名称 空调器 彩电 冰箱 工时 1 2 1 3 1 4 产值(千元) 4 3 2 问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台,才能使产值最高? 最高产值是多少? (以千元为单位) 8在RtAABC中,ZC=90°,以斜边AB所在直线为轴将ZVIBC旋转一周生成两个圆锥,设这两个圆锥的侧面积之积为S|,AABC的内切圆面积为S2,记竺仝力 AB ⑴求函数.心)=寻的解析式并求./W的定义域 (2)求函数.心)的最小值 参考答案 1解析°・•加1=工在(一8,—秒)上是减函数,〃辺=丄在(一°°,—£)上 2x2 是减函数,.•・)‘=工+丄在%e(—00,—*)上为减函数, •X厶 .•・〉=工+丄(疋一£)的值域为[一+8) x24 答案B 2解析令Ji-2x=/(r>0),则x=匕二 Vy=i—! -+r=—-(r—1)2+1<1 丿22 ・••值域为(一8,1] 答案A 3解析^=^+16x(—)2/V=—+—>2716=8 V20V400 F 答案8 4解析由韦达定理知/1+兀2=/"1兀2=竺空, 4 •*.X\2+X22=(Xi+X2)2~2x\X2=m2—1,1~"-=(/? ? —I)2——, 2416 又xi,%2为实根,••./N0m<—1或w>2, y=(/? ? —I)2——在区间(一00,1)上是减函数,在[2,+8)上是增函数, 416 一1 }min—— 答案 又抛物线y开口向上且以"匸土为对称轴故加=1时, -11 2 (1)利润y是指生产数量x的产品售出后的总收入&对与其 总成本C(x)之差,由题意,当W5时,产品能全部售出,当x>5时,只能销售500台,所以 1. 4.75%一一x'—0.5(0 12-0.25j(x>l) 5x—丄工一(0.5+0.25x)(0 v_2)」]1, (5x5-一x5")-(0.5+0.25x)(x>5) »2 (2)在0上5时,尸一丄工+475x-05,当x=-—=475(百台) 22d 时,ymax=1078125(万元),当x>5(百台)时,y<12~025x5=1075(万 元), 所以当生产475台时,利润最大 x>5 12-0.25x>0 0 (3)要使企业不亏本,即要求1,,或-f+4.75x-0.5>0 12 解得5AC475-V2L5625-01(百台)或5 业年产量在10台到4800台之间时,企业不亏本 6解 (1)依题意(cr—1)x2+(a+1)x4-1>0对一切xWR恒成立,当 Cy//>1nV(i<—1 以一1和时,其充要条件是pr_1>07,,即f, △=(a+1)-一4((广-l)<0“: 或a<一1 .*.6/<—1或 3 又a=—1时,/(x)=0满足题意,a=\时不合题意 故a<—1或。 >为彳所求 (2)依题意只要匸@2—1)工+(“+小+1能取到(0,+oo)上的任何值, I・ 则/(X)的值域为R,故有严j>°,解得l =2x+l符合题意而0=—1时不.合题意,・・・1乞三为所求 7解设每周生产空调器、彩电、冰箱分别为x台、〉,台、z台,由 题意得 x+y+Z=360 -X+-Y
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