初中几何模型轴对称最值模型.docx
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初中几何模型轴对称最值模型
中考数学几何模型:
轴对称最值模型
拨开云雾开门见山
名师点睛
例题1.如图,在矩形
ABCD中,AB=10,AD=6,动点P满足S△PAB=
则点P到A,B两点距
离之和PA+PB的最小值为2
S矩形ABCD,
【解答】解:
设△ABP中AB边上的高是h.
∵S△PAB=S矩形ABCD,
△PAB矩形ABCD
∴AB?
h=AB?
AD,∴h=AD=4,
∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上,如图,作A关于直线l的对称点E,连接AE,连接BE,则BE的长就是所求的最短距离.
在Rt△ABE中,∵AB=10,AE=4+4=8,∴BE===2,
即PA+PB的最小值为2.故答案为:
2.
变式练习>>>
1.如图Rt△ABC和等腰△ACD以AC为公共边,其中∠ACB=90°,AD=CD,且满足AD⊥AB,过点D
解答】解:
连接PB、PC、PA,
要使得△PBC的周长最小,只要PB+PC最小即可,∵PB+PC=PA+PB≥AB,∴当P与E重合时,PA+PB最小,∵AD=CD,DE⊥AC,∴AF=CF,
∵∠ACB=90°,∴EF∥BC,
∴AE=BE=AB=2.5,∴EF=BC=1.5,
=
=
,∴
,∴
DE==
,
,
∵AD⊥AB,∴△AEF∽△DEA,
故选:
B.
例题2.如图所示,凸四边形ABCD中,∠A=90°,∠C=90°,∠D=60°,AD=3,AB=,若点M、
N分别为边CD,AD上的动点,求△BMN的周长的最小值
【解答】解:
作点B关于CD、AD的对称点分别为点B'和点B'',连接B'B''交DC和AD于点M和点N,DB,连接MB、NB;再DC和AD上分别取一动点M'和N'(不同于点M和N),连接M'B,M'B',N'B和N'B'',如图1所示:
∵B'B'' B'M'=BM',B''N'=BN',∴BM'+M'N'+BN'>B'B'',又∵B'B''=B'M+MN+NB'', MB=MB',NB=NB'',∴NB+NM+BM ∵在Rt△ABD中,AD=3,AB=, ∴==2, ∴∠2=30°, ∴∠5=30°,DB=DB'',又∵∠ADC=∠1+∠2=60°,∴∠1=30°, ∴∠7=30°,DB'=DB, ∴∠B'DB''=∠1+∠2+∠5+∠7=120°, DB'=DB''=DB=2,又∵∠B'DB''+∠6=180°,∴∠6=60°,∴HD=,HB'=3,在Rt△B'HB''中,由勾股定理得: ∴C△BMN=NB+NM+BM=6, 变式练习>>> 2.如图,点P是∠AOB内任意一点,且∠AOB=40°,点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点, 例题3.如图,在△ABC中,∠C=90°,CB=CA=4,∠A的平分线交BC于点D,若点P、Q分别是AC和AD上的动点,则CQ+PQ的最小值是2. 【解答】解: 如图,作点P关于直线AD的对称点P′,连接CP′交AD于点Q,则CQ+PQ=CQ+P′Q=CP′. ∵根据对称的性质知△APQ≌△AP′Q, ∴∠PAQ=∠P′AQ. 又∵AD是∠A的平分线,点P在AC边上,点Q在直线AD上,∴∠PAQ=∠BAQ,∴∠P′AQ=∠BAQ,∴点P′在边AB上. ∵当CP′⊥AB时,线段CP′最短.∵在△ABC中,∠C=90°,CB=CA=4, ∴AB=4,且当点P′是斜边AB的中点时,CP′⊥AB, 此时CP′=AB=2,即CQ+PQ的最小值是2.故填: 2. 变式练习>>> 3.如图,已知等边△ABC的面积为4,P、Q、R分别为边AB、BC、AC上的动点,则PR+QR的最小值是() 解得: x=,则CQ= 变式练习>>> 解答】解: 取AB的中点O,点O、G关于BC的对称点分别为 ∵G与G'关于BC对称,∴FG=FG', ∴FG+DF=FG'+DF, ∴当G(也就是G')固定时,取DG'与BC的交点F,此时能够使得FG+FD最小,且此时FG+DF的最小值是DG', 现在再移动点E(也就是移动G), ∵BG⊥AE,∴∠AGB=90°, ∴当点E在BC上运动时,点G随着运动的轨迹是以O为圆心,OA为半径的90°的圆弧, 点G'随着运动的轨迹是以O'为圆心,O'B为半径的90°的圆弧, ∴当取DO'与交点为G'时,能够使得DG'达到最小值, 且DG'的最小值=DO'﹣O'G'=﹣1=﹣1, 即DF+GF的最小值为﹣1. 故选: A. 变式练习>>> N分别是⊙A、⊙B上的动点,P为x轴上的动点,则PM+PN的最小值为() A.112.5°B.105°C.90° 【解答】解: 如图,作CH⊥BC,且CH=BC,连接BH交AD于M,连接FH, 2,BF+CE的值最小,∴∠AFB=105°,故选: B. ∵△ABC是等边三角形,AD⊥BC, ∴AC=BC,∠DAC=30°, ∴AC=CH, ∵∠BCH=90°,∠ACB=60°,∴∠ACH=90°﹣60°=30°,∴∠DAC=∠ACH=30°,∵AE=CF, ∴△AEC≌△CFH, ∴CE=FH,BF+CE=BF+FH, ∴当F为AC与BH的交点时,如图 此时∠FBC=45°,∠FCB=60°,变式练习>>> CH⊥BC,使得CH=BC,连接NH,∵△ABC是等边三角形,AD⊥BC,CH⊥BC,∴∠DAC=∠DAB=30°,AD∥CH,∴∠HCN=∠CAD=∠BAM=30°,∵AM=CN,AB=BC=CH,∴△ABM≌△CHN(SAS),∴BM=HN,∵BN+HN≥BH,∴B,N,H共线时,BM+BN=NH+BN的值最小,如图2中,当B,N,H共线时,∵△ABM≌△CHN,∴∠ABM=∠CHB=∠CBH=45∵∠ABD=60°,∴∠DBM=15°,∴∠MBN=45°﹣15°=30∴当BM+BN的值最小时,∠MBN=30°,故答案为30. N分别是⊙A、⊙B上的动点,P为x轴上的动点, 故答案为: 8﹣2和8+2. 4.正方形ABCD,AB=4,E是CD中点,BF=3CF,点M,N为线段BD上的动点,MN=,求四边形EMNF周长的最小值++. 【解答】解: 作点E关于BD的对称点G,则点G在AD上, 连接GM,过G作BD的平行线,截取GH=MN=,连接HN,则四边形GHNM是平行四边形,∴HN=GM=EM, 过H作PQ⊥BC,交AD于P,交BC于Q,则∠HPG=∠HQF=90°,PQ=AB=4, ∵∠PGH=∠ADB=45°, ∴HP=PG==1,HQ=4﹣1=3, 由轴对称的性质,可得DG=ED=2,∴AP=4﹣2﹣1=1,∴BQ=1, 又∵BF=3CF,BC=4, ∴CF=1,∴QF=4﹣1﹣1=2, ∵当点H、N、F在同一直线上时,HN+NF=HF(最短),此时ME+NF最短, ∴Rt△HQF中,FH===,即ME+NF最短为, 又∵Rt△CEF中,EF===,∴ME+NF+MN+EF=++, ∴四边形EMNF周长的最小值为++.故答案为: ++. 5.如图,已知点D,E分别是等边三角形ABC中BC,AB边的中点,BC=6,点F是AD边上的动点,则 BF+EF的最小值为3. 【解答】解: 过C作CE⊥AB于E,交AD于F,连接BF,则BF+EF最小(根据两点之间线段最短;点到直线垂直距离最短),由于C和B关于AD对称,则BF+EF=CF, ∵等边△ABC中,BD=CD, ∴AD⊥BC, ∴AD是BC的垂直平分线(三线合一),∴C和B关于直线AD对称, ∴CF=BF,即BF+EF=CF+EF=CE, ∵AD⊥BC,CE⊥AB, ∴∠ADB=∠CEB=90°,在△ADB和△CEB中,,∴△ADB≌△CEB(AAS), ∴CE=AD, ∵BC=6,∴BD=3,∴AD=3,即BF+EF=3. 故答案为: 3. 6. 如图,在边长为1正方形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点,3AE=EB,有只蚂蚁从E点出发,经过F、G、H,最后回到E点,则蚂蚁所走的最小路程是. D',使CD=CD',G对应位置为G',则FG=FG', 同样作D'A'⊥CD',D'A'=DA,H对应的位置为H',则G'H'=GH,再作A'B'⊥D'A',E的对应位置为E', 则H'E'=HE.容易看出,当E、F、G'、H'、E'在一条直线上时路程最小, 最小路程为EE'===2 7. 如图,在△ABC中,AC⊥BC,∠B=30°,点E,F是线段AC的三等分点,点P是线段BC上的动点,点Q是线段AC上的动点,若AC=3,则四边形EPQF周长的最小值是8. 解答】解: 过E点作E点关于BC的对称点E′,过F点作F点关于AC的对称点F′, 在△ABC中,AC⊥BC,∠B=30°,AC=3, AB=6, 点E,F是线段AC的三等分点, EF=2, E′F′=AB=6, 四边形EPQF周长的最小值是6+2=8. 8. 如图,长为1的线段AB在x轴上移动C(0,1)、D(0,2),则AC+BD的最小值是. 【解答】解: ∵E为AB上的一个动点, ∴如图,作G关于AB的对称点M,在CD上截取CH=4,然后连接HM交AB于E,接着在EB上截取 EF=4, 那么E、F两点即可满足使四边形CGEF的周长最小.∵在矩形ABCD中,AB=8,BC=10,G为边AD的中点,∴AG=AM=5,MD=15,而CH=4, ∴DH=4, 而AE∥CD, ∴△AEM∽△DHM, ∴AE: HD=MA: MD, ∴AE===, ∴AF=4+=.故答案为: . 10.如图,矩形ABCO的边OC在x轴上,边OA在y轴上,且点C的坐标为(8,0),点A的坐标为(0, OA、AB上的动点(不与端点重合),则当 6),点E、F分别足OC、BC的中点,点M,N分别是线段 四边形EFNM的周长最小时,点N的坐标为(4,6) ∵C的坐标为(8,0),点A的坐标为(0,6),点E、F分别足OC、BC的中点,∴OE=OE′=4,FB=CF=3, ∴E′C=12,CF′=9. ∵AB∥CE′,∴△F′NB∽△F′E′C. ∴==,即=,解得BN=4, ∴AN=4.∴N(4,6).故答案为: (4,6). 11.如图,在正方形ABCD中,AB=8,AC与BD交于点O,N是AO的中点,点M在BC边上,且BM=6.P为对角线BD上一点,则PM﹣PN的最大值为2. 解答】解: 如图所示,作以BD为对称轴作N的对称点N',连接PN',MN', 根据轴对称性质可知,PN=PN',∴PM﹣PN=PM﹣PN'≤MN',当P,M,N'三点共线时,取“=”∵正方形边长为8,∴AC=AB=, ∵O为AC中点,∴AO=OC=, ∵N为OA中点, ∴ON=, ∴ON'=CN'=, ∴AN'=, ∵BM=6, ∴CM=AB﹣BM=8﹣6=2, = = = = ∴PM∥AB∥CD,∠CMN'=90°, ∵∠N'CM=45°, ∴△N'CM为等腰直角三角形, ∴CM=MN'=2, 即PM﹣PN的最大值为2, 故答案为: 2. 12. 如图,两点A、B在直线MN外的同侧,A到MN的距离AC=16,B到MN的距离BD=10,CD=8,点P在直线MN上运动,则|PA﹣PB|的最大值等于10. 【解答】解: 延长AB交MN于点P′,∵P′A﹣P′B=AB,AB>|PA﹣PB|,∴当点P运动到P′点时,|PA﹣PB|最大,∵BD=10,CD=8,AC=16, 过点B作BE⊥AC,则BE=CD=8,AE=AC﹣BD=16﹣10=6, ∴AB===10, ∴|PA﹣PB|的最大值等于10,故答案为: 10.
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- 初中 几何 模型 轴对称