141 课时1相似三角形的判定及有关性质.docx
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141课时1相似三角形的判定及有关性质
课时1 相似三角形的判定及有关性质
1.平行线等分线段定理
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等.
推论1:
经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.
推论2:
经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线平分另一腰.
2.平行线分线段成比例定理
三条平行线截两条直线,截得的对应线段成比例.
推论:
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),截得的对应线段成比例.
3.相似三角形的判定及性质
(1)判定定理:
内容
判定定理1
两角对应相等,两三角形相似
判定定理2
两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似
判定定理3
三边对应成比例,两三角形相似
(2)性质定理:
相似三角形的对应线段的比等于相似比,周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方.
4.直角三角形的射影定理
直角三角形的每一条直角边是它在斜边上的射影与斜边的比例中项,斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的比例中项.
1.如图,在四边形ABCD中,△ABC≌△BAD.求证:
AB∥CD.
证明 由△ABC≌△BAD得∠ACB=∠BDA,
故A,B,C,D四点共圆,从而∠CAB=∠CDB.
由△ABC≌△BAD得∠CAB=∠DBA,
因此∠DBA=∠CDB,所以AB∥CD.
2.如图,BD⊥AE,∠C=90°,AB=4,BC=2,AD=3,求EC的长度.
解 在Rt△ADB中,DB==,
依题意得,△ADB∽△ACE,
∴=,可得EC==2.
3.如图,在△ABC中,D是AC的中点,E是BD的中点,AE交BC于点F,求的值.
解 如图,过点D作DG∥AF,交BC于点G,易得FG=GC,又在△BDG中,BE=DE,即EF为△BDG的中位线,故BF=FG,因此=.
题型一 平行截割定理的应用
例1 如图,在四边形ABCD中,AC,BD交于点O,过点O作AB的平行线,与AD,BC分别交于点E,F,与CD的延长线交于点K.求证:
KO2=KE·KF.
证明 延长CK,BA,设它们交于点H,
因为KO∥HB,
所以=,=.
因此=,即=.
因为KF∥HB,
同理可得=.故=,
即KO2=KE·KF.
思维升华 当条件中给出平行线时,应优先考虑平行线分线段成比例定理,在有关比例的计算与证明题中,常结合平行线分线段成比例定理构造平行线解题.作平行线常用的方法有利用中点作中位线,利用比例线段作平行线等.
(1)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,BD与AC相交于点O,过点O的直线分别交AB,CD于E,F,且EF∥BC,若AD=12,BC=20,求EF的长度.
(2)如图所示,在△ABC中,DE∥BC,EF∥CD,若BC=3,DE=2,DF=1,求AB的长.
解
(1)∵AD∥BC,
∴===,
∴=.
∵OE∥AD,∴==.
∴OE=AD=×12=,
同理可求得OF=BC=×20=,
∴EF=OE+OF=15.
(2)∵DE∥BC,
∴===,=.
又∵EF∥CD,∴==.
∴AD=3.∴AB=AD=.
题型二 相似三角形的判定与性质
例2 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,E为AC的中点,ED、CB延长线交于一点F.
求证:
FD2=FB·FC.
证明 ∵E是Rt△ACD斜边上的中点,
∴ED=EA,∴∠A=∠1,∵∠1=∠2,∴∠2=∠A,
∵∠FDC=∠CDB+∠2=90°+∠2,∠FBD=∠ACB+∠A=90°+∠A,∴∠FBD=∠FDC,
∵∠F是公共角,∴△FBD∽△FDC,
∴=,∴FD2=FB·FC.
思维升华
(1)判定两个三角形相似要注意结合图形的性质特点,灵活选择判定定理.在一个题目中,相似三角形的判定定理和性质定理可能多次用到.
(2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等,也可间接证明线段相等.
(1)如图,AB与CD相交于点E,过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P.已知∠A=∠C,PD=2DA=2,求PE的长.
(2)如图,四边形ABCD中,DF⊥AB,垂足为F,DF=3,AF=2FB=2,延
长FB到E,使BE=FB,连接BD,EC.若BD∥EC,求四边形ABCD的面积.
解
(1)∵BC∥PE,
∴∠PED=∠C=∠A,
∴△PDE∽△PEA,
∴=,则PE2=PA·PD,
又∵PD=2DA=2,∴PA=PD+DA=3.
∴PE==.
(2)如图,过点E作EN⊥DB交DB的延长线于点N,在Rt△DFB中,DF=3,FB=1,则BD=,
由Rt△DFB∽Rt△ENB,
知=,
所以EN=,又BD∥EC,所以EN为△BCD底边BD上的高,故S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=AB·DF+BD·EN=×3×3+××=6.
题型三 射影定理的应用
例3 如图,在△ABC中,D、F分别在AC、BC上,且AB⊥AC,AF⊥BC,BD=DC=FC=1,求AC.
解 在△ABC中,设AC为x,
∵AB⊥AC,AF⊥BC.
又FC=1,根据射影定理,
得AC2=FC·BC,
即BC=x2.
再由射影定理,得AF2=BF·FC=(BC-FC)·FC,
即AF2=x2-1,∴AF=.
在△BDC中,过D作DE⊥BC于E.
∵BD=DC=1,∴BE=EC=x2.
又∵AF⊥BC,∴DE∥AF,∴=,
∴DE==.
在Rt△DEC中,∵DE2+EC2=DC2,
即()2+(x2)2=12,∴+=1.
整理得x6=4,∴x=,即AC=.
思维升华
(1)在使用直角三角形射影定理时,要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”.
(2)证题时,作垂线构造直角三角形是解直角三角形常用的方法.
(1)如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,且AD∶BD=9∶4,求AC∶BC.
(2)已知圆的直径AB=13,C为圆上一点,过C作CD⊥AB于D(AD>BD),若CD=6,求AD的长.
解
(1)∵AC2=AD·AB,BC2=BD·AB,
∴AC2∶BC2=AD∶BD=9∶4,
∴AC∶BC=3∶2.
(2)如图,连接AC,CB,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°.
设AD=x,∵CD⊥AB于D,
∴由射影定理得CD2=AD·DB,
即62=x(13-x),
∴x2-13x+36=0,解得x1=4,x2=9.
∵AD>BD,∴AD=9.
1.判定两个三角形相似的常规思路
(1)先找两对对应角相等;
(2)若只能找到一对对应角相等,则判断相等的角的两夹边是否对应成比例;
(3)若找不到角相等,就判断三边是否对应成比例,否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”.
2.直角三角形中常用的四个结论
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB(如图):
(1)∠A=∠BCD,∠B=∠ACD.
(2)△ABC∽△ACD∽△CBD.
(3)a2=pc,b2=qc,h2=pq,ab=ch(其中c=p+q).
(4)在a、b、p、q、h五个量中,知道两个量的值,就能求出其他三个量的值.
A组 专项基础训练
(时间:
50分钟)
1.如图,△OAB是等腰三角形,P是底边AB延长线上一点,且PO=3,PA·PB=4,求腰长OA的长度.
解 如图,作OD⊥AP,垂足为D,
则PO2-PD2=OB2-BD2,
所以PO2-OB2=PD2-BD2,
因为AD=BD,所以PD2-BD2=PD2-AD2=(PD+AD)(PD-AD)=PA·PB=4,
所以PO2-OB2=4,
所以OB2=9-4=5,
所以OB=,所以OA=.
2.如图,∠B=∠D,AE⊥BC,∠ACD=90°,且AB=6,AC=4,AD=12,求AE的长.
解 由于∠ACD=∠AEB=90°,
∠B=∠D,∴△ABE∽△ADC,
∴=.又AC=4,AD=12,AB=6,
∴AE===2.
3.如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,若AB∶AC=2∶1,求AD∶BC.
解 设AC=k,则AB=2k,BC=k,
∵∠BAC=90°,AD⊥BC,∴AC2=CD·BC,
∴k2=CD·k,∴CD=k,
又BD=BC-CD=k,
∴AD2=CD·BD=k·k=k2,
∴AD=k,∴AD∶BC=2∶5.
4.在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AD∶BD=2∶3,求△ACD与△CBD的相似比.
解 如图所示,在Rt△ACB中,CD⊥AB,由射影定理得:
CD2=AD·BD,
又∵AD∶BD=2∶3,
令AD=2x.则BD=3x(x>0),
∴CD2=6x2,∴CD=x.
又∵∠ADC=∠BDC=90°,∴△ACD∽△CBD.
易知△ACD与△CBD的相似比为==.
即相似比为∶3.
5.如图所示,在△ABC中,∠CAB=90°,AD⊥BC于点D,BE是∠ABC的角平分线,交AD于点F,求证:
=.
证明 ∵BE是∠ABC的角平分线,
∴=,①
=.②
在Rt△ABC中,由射影定理知,
AB2=BD·BC,即=.③
由①③得=,④
由②④得=.
6.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,M是BC的中点,CN⊥AM,垂足是N,求证:
AB·BM=AM·BN.
证明 ∵CM2=MN·AM,
又∵M是BC的中点,
∴BM2=MN·AM,∴=,
又∵∠BMN=∠AMB,∴△AMB∽△BMN,
∴=,∴AB·BM=AM·BN.
B组 专项能力提升
(时间:
30分钟)
7.如图所示,平行四边形ABCD中,E是CD延长线上的一点,BE与AD交于点F,DE=CD.
(1)求证:
△ABF∽△CEB;
(2)若△DEF的面积为2,求平行四边形ABCD的面积.
(1)证明 ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A=∠C,AB∥CD.∴∠ABF=∠CEB.
∴△ABF∽△CEB.
(2)解 ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB∥CD.
∴△DEF∽△CEB,△DEF∽△ABF.
∵DE=CD,
∴=()2=,=()2=.
∵S△DEF=2,∴S△CEB=18,S△ABF=8.
∴S四边形BCDF=S△CEB-S△DEF=16.
∴S四边形ABCD=S四边形BCDF+S△ABF=16+8=24.
8.如图,在平行四边形ABCD中,过点B作BE⊥CD,垂足为E,连接AE,F为AE上一点,且∠BFE=∠C.
(1)求证:
△ABF∽△EAD;
(2)若∠BAE=30°,AD=3,求BF的长.
(1)证明 ∵AB∥CD,∴∠BAF=∠AED.
又∵∠BFE=∠C,∠BFE+∠BFA=∠C+∠ADE,
∴∠BFA=∠ADE.∴△ABF∽△EAD.
(2)解 ∵∠BAE=30°,∴∠AEB=60°,
∴=sin60°=,
又△ABF∽△EAD,∴=,
∴BF=·AD=.
9.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,且AB=2CD,E、F分别是AB、BC的中点,EF与BD相交于点M.
(1)求证:
△EDM∽△FBM;
(2)若DB=9,求BM.
(1)证明 ∵E是AB的中点,∴AB=2EB.
∵AB=2CD,∴CD=EB.
又∵AB∥CD,
∴四边形CBED是平行四边形.
∴CB∥DE,
∴
∴△EDM∽△FBM.
(2)解 ∵△EDM∽△FBM,∴=.
∵F是BC的中点,
∴DE=2BF.∴DM=2BM,
∴BM=DB=3.
10.如图,在梯形ABCD中,点E,F分别在AB,CD上,EF∥AD,假设EF做上下平行移动.
(1)若=,求证:
3EF=BC+2AD;
(2)若=,试判断EF与BC,AD之间的关系,并说明理由;
(3)请你探究一般结论,即若=,那么你可以得到什么结论?
(1)证明 过点A作AH∥CD分别交EF,BC于点G,H.
因为=,所以=,
又EG∥BH,所以==,即3EG=BH.
又EG+GF=EG+AD=EF,
从而EF=(BC-HC)+AD,
所以EF=BC+AD,
即3EF=BC+2AD.
(2)解 EF与BC,AD的关系式为5EF=2BC+3AD,理由和
(1)类似.
(3)解 因为=,所以=.
又EG∥BH,所以=,即EG=BH.
所以EF=EG+GF=EG+AD
=(BC-AD)+AD,
所以EF=BC+AD,
即(m+n)EF=mBC+nAD.
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