关于向量组线性相关性的几种判定毕业设计论文.docx
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关于向量组线性相关性的几种判定毕业设计论文
关于向量组线性相关性的几种判定
摘要
向量组线性相关性在线性代数中是一块基石,在它的基础上我们推导和衍生出其他许多理论。
所以熟练地掌握向量组线性相关性的判定方法,可以让我们更好的理解其他理论知识。
本文从介绍向量组线性相关性的定义着手,然后论述了若干种判定向量组线性相关的方法,例如利用线性相关的定义、行列式的值、矩阵的秩、齐次线性方程组的解、克莱姆法则等知识运用于向量组的线性相关性的判定,并比较了不同判定方法的适用条件及范围。
正是为了研究线性方程组解的存在性与唯一性,才引入诸如线性相关性、秩、极大线性无关组等基本概念。
使用了这些概念,不仅可以圆满地解决线性方程组的问题,还使我们更深刻地认识了线性方程组。
同时构建了一座通向向量组线性相关性判定方法的桥梁,使二者之间可以相互转化。
在判定向量组线性相关性的问题上,我们可以通过构造线性方程组,在解线性方程组的过程中便可以得到向量组线性相关与否的结论。
向量组线性相关性的判定理论作为数学知识中的基础理论,在现实世界中,有着深入的广泛应用。
三角网格自适应loop细分方法就是根据线性相关的三个向量在同一个平面的原理,提出了一种新的三维表面自适应loop细分算法,即对网格模型过同一顶点1邻域上的所有三个紧邻边组成的三个向量判断其是否线性相关來断定该顶点的1邻域是否平坦,从而进一步判断该顶点是否参与细分。
但是三角网格模型上的三条边不可能都严格地在同一个平面上,当这些向量组成的行列式值趋于零时,便认为它们在同一平面上。
实验表明,该方法减少了细分的数据量和处理速度。
关键词:
向量组;线性相关;行列式;判定方法;矩阵;克莱姆法则;线性方程组等。
SeveralMethodsforJudgingtheRelatedLinearityofVectors
Group
Abstract
TheRelatedLinearityofVectorsGroupmLinearAlgebraisonecomstonejhebasisofitsdenvationandderivedfromourmanvothertheories.Soskilledmasterlmearvectortodeterminetherelevanceofthemethodallowsustobetterunderstandtheothertheones.TlusarticlefromtheVectorGroup,introducedthedefinitionofalmearconelationtoproceed,andthendiscussedanumberofVectorGrouptodetennmethemethodoflmearcoiTelation.Forexample,thedefinitionoftheuseoflmearconelationjhevalueofthedetennmant.iaiikofmatiixjiomogeneoussolutionoflinearequations,Cfamerrsmleappliedtovectorgroups,suchasknowledgeofthelinearconelationfound.Aiidcompaiedifferentmethodstodetennmetheconditionsandscopeoftheapplication.
IstostudysolutionsoflinearequationsexistenceandumquenessofbeforetheuitroductionofsuchalinearcoiTelationjaiik^andsoagreatgroupoflineallymdependentbasicconcepts.Tlieuseoftheseconceptscannotonlycompletesolutiontotheproblemoflinearequations.butalsogivesusadeeperundeistanduigofthesystemoflinearequations.Atthesametune,awaytobuildalmearvectormethodtodetenmnetherelevanceofthebndge.sothatconversionbetweeneachothei.Linearvectorinthedetenninationoftherelevanceoftheissue,wecanstmctuiethelinearequations.solvinglmearequationsintheprocessofvectoicanbelmearornottheconclusionsofthelelevant.
WctorGrouptodeterminethelmearconelationoftheoreticalknowledgeasthebasisofmathematicaltheoiyiiitherealworld,withextensiveuseofdepth.Anewadaptivesubdivisionschemeispresentedbasedontheprmciplewluchisthatthreecomposedofeveiytlueeadjacentvectorsfiomaveilexoftrianglemeshiscomputedtoverifywhethertheyarecoplanar.Ifthedeterminatevalueisapproxmiatelvequaltozero,thesurfacesunoundmgthatvertexcanbeconsideredasfairlyflatandthecoiTespondingtriangleneedn'tbesubdivided.Suchanapproachcancutdowntheamountofsubdivisionsduimgrefiningameshmodelandeffectivelyacceleratethepiocessmgspeed・
Keywords:
Vectoisgioup;Relateddependeiice;Determinant;Judgingmethod;Matiix;Ciamernile;Solutionofsystemoflinearequations
毕业设计(论文)原创性声明和使用授权说明
原创性声明
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所呈交的毕业设计(论文),是我个人在指导教师的指导下进行的研究工作及取得的成果。
尽我所知,除文中特别加以标注和致谢的地方外,不包含其他人或组织已经发表或公布过的研究成果,也不包含我为获得及其它教育机构的学位或学历而使用过的材料。
对
本研究提供过帮助和做出过贡献的个人或集体,均已在文中作了明确的说明并表示了谢意。
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日期:
指导教师签名:
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作者签名:
日期:
•3-
引言1
第1章绪论2
第2章向量组线性相关性的定义3
2.1向量组线性相关性的定义32.2
10
第3章向量组线性相关的判定方
3.8.2预备知识19
3.9方程组法23
3.10数学归纳法24
3.11有限维向量空间中向量组的线性关系的判别法25
第4章向量组线性相关的具体应用27
4.1引言27
4.2Loop细分模式28
4.3自适应细分曲面29
4.3.1向量相关性的几何意义30
4.3.2顶点平坦度30
4.3.3算法的具体步骤30
4.4实验结果与分析32
4.5结论33
结论与展望34
致谢35
参考文献36
附录A外文文献及翻译37
1234----4444图图图图
插图清单
loop细分模式模板示思图22
三维空间中3个向量线性相关23
顶点平坦度定义的示意图24
三角形分裂的4种情况26
表格清单
表4J两种方法的实验结果对比
27
向量组的线性相关性在线性代数中起到贯穿始终的作用。
它与矩阵、线性方程组构成一个整体并且可以实现相互转化。
若一个向量组线性相关则意味着在线性方程组中有一个方程可以由其他的方程线性表示。
现实世界中往往需要我们分辨判别不同事物的关系,这就是需要我们将待考察的不同事物抽象为不同的向量或是不同的方程一一构成向量组或是方程组,研究它们之间的相关性。
在统计学中,我们己经将向量组的线性相关性的思想应用到实处。
相关分析就是一种统计分析方法,它是对客观存在的具有相互联系的现象,根据其关系形态,选择一个合适的数学模型,用以表达现象间的平均数量变化关系。
线性相关分析在探讨不同类型的糖代谢紊乱与老年危重病人APACHEII评分中得到较深的应用,利用向量线性相关找到了三角网格自适应loop的细分方法,同时在化学、物理、建筑、经济、管理、计算机应用等各领域也都有着广泛的应用,且难度相对于其他数学分支低一些,为人们解决实际问题提供了有利的判断依据。
随着科学技术的不断发展,随着数学知识与其他学科结合的不断深化,向量组线性相关性的理论必将深入到我们的日常生活中。
为此,我们应当熟练的掌握判定向量组线性相关性的判定方法。
关于向量组线性相关性的判定方法,我们可以利用线性相关的定义、行列式的值、矩阵的秩、齐次线性方程组的解、克莱姆法则等知识运用于向量组的线性相关性的判定,从而给出若干种关于线性相关与线性无关的判定方法。
向量组的线性相关性反映的是线性方程组中方程间的线性表示,即是否存在可删去的方程。
而向量组的一个极大无关组,则反映了由线性方程组中部分方程所构成的与原方程组同解的一个“最简”方程组。
那么矩阵的秩(或者行向量组的秩)就是这样一个“最简”方程组中所含方程的个数。
第1章绪论
线性相关性这个概念在数学专业许多课程中都有体现,如解析几何、高等代数和常微分方程中等等。
它是线性代数理论的基本概念,它与向量空间(包括基、微数)、子空间等概念有密切关系,同时在解析几何以及常微分方程中都有广泛的应用。
因此,掌握线性相关性这个概念有着非常重要的意义,也是解决问题的重要的理论根据。
向量组的线性相关与线性无关实际上可以推广到函数组的线性相关与线性无关。
在线性代数中,向量组的线性相关性占到了举足轻重的作用。
它可以将线性代数中的行列式、矩阵、二次型等知识联系在一起。
若能熟练地学握向量组的线性相关性则能更好的理解线性代数的各部分知识,理清线性代数的框架,做到融会贯通。
本文主要研究的是向量组线性相关性的判定方法,从定义及性质下手,熟悉了一些重要理论,从而能在各领域中得到更好的运用。
本文的第二章就是介绍了向量组线性相关的定义以及相关理论,熟悉定义就能更清晰的掌握向量组线性相关性的本质。
而本文的第三章主要给出了向量组线性相关的若干种判定方法,比较了不同判定方法的优劣及适用范围,并给出了一些详细证明,附带了一些证明题和例题,从而能更深刻地熟悉这些理论知识。
第四章主要给出了向量组线性相关性的具体应用。
而后面的就是结论与展望及一些参考文献还有一些附录关于引用的具体文献。
第2章向量组线性相关性的定义
2.1向量组线性相关性的定义
定义2.1给定向量组Aqg,…,G”,如果存在不全为零的数k\,k“…,灯,使
比口+匕①+•••+《"”(2-1)
则称向量组A是线性相关的,否则称它为线性无关。
说向量组勺,冬,…4”线性相关,通常是指m>2的情形。
但上述定义也适用于加=1的情形。
当加=1时,向量组只含有一个向量,对于只含一个向量a的向量组,当。
=0时是线性相关的,当QH0时是线性无关的。
对于含2个向量44的向量组,它线性相关的充分必要条件是①,冬的分量对应成比例,其几何意义是两向量共线。
3个向量线性相关的几何意义是三向量共面。
向量组A-.a^a2,^am(ni>2)线性相关,也就是在向量组A中至少有一个能由其他m-1个向量线性表示。
这是因为:
如果向量组A线性相关,则有不全为0的数kS,k”,,使(2-1)式成立。
因不全为0,不妨设&工0,于是便有
_1
即©能由E,…4”线性表示。
如果向量组A中有某个向量能由其余〃?
-1个向量线性表示,不妨设心能由
勺,…线性表示,即有人,…人”_1使4”=人©+人6+…+血于是
也+…+几”lS”-i+(-%”=°
因为人,…,血t,T这m个数不全为0(至少-1工0),所以向量组A是线性相关的。
向量组的线性相关与线性无关的概念也可移用于线性方程组。
当方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时,这个方程就是多余的,这时称方程组是线性相关的;当方
程组中没有多余方程,就称该方程组线性无关。
向量组A-.al9a2,^am构成矩阵A=…卫”J,向量组A线性相关,就是齐次线性
方程组
+x2a2+•••+xinam=0,即山=0有非零解。
2.2小结
只有充分理解了向量组线性相关的定义,我们才能找到不同的判定方法來判定某组向量是否是线性相关的,并比较不同的判定方法的适用条件。
第3章向量组线性相关的判定方法
3.1定义法
这是判定向量组的线性相关性的基本方法。
定义法既适用于分量没有具体给出的抽象向量组,也适用于分量己经给出的具体向量组。
其定义是,给定向量组九⑰冬,…,%,如果存在不全为零的数k、,k“…,灯,使kLaL+k2a2+•••+kmam=0,则称向量组A是线性相关的,否则称它为线性无关。
也就是说,只有当心人,…,忍都为0时,
kg+k2a2+…+kmam=0才成立,则称向量组A是线性无关的⑴。
例3.1叫设切=4+冬厶=冬+。
3厶=6+6,£=心+勺,证明向量组耳,%,妇,乞线性相关。
证明:
设存在4个数人山局局,使得k秋+k2b2+k扛+k4b4=0
将$=兔+冬,®=&2++①,乞=a4+at代入上式有:
&(q+a2)+k2(a2+ai)+匕(①+a4)+k4(a4+al)=Ot
&+kjcn+&+k2)a2+(k2+人)°3+伙3+k4)a4=0,取=k3=l,k2=^4=-1,则有
k、b\+k2b2++k4b4=0
由向量组线性相关的定义可知,向量组b血,Sb线性相关。
3.2利用向量组内向量之间的线性关系判定
即向量组山4,冬,…卫,”线性相关的充要条件是向量组A中至少有一个向量可以由其余加-1个向量线性表示。
比如上例,取❻=心=1,&=Q=-1,则切=®_代+乞,即切可由b2,bi9b4三个向量线性表示,所以向量组切厶厶,乞线性相关。
这种判定方法就是利用向量组内向量之间的线性关系进行判定的:
J
3.3利用齐次线性方程组的解进行判定
在应用定义法解一个齐次线性方程组,需由该方程组是否有非零解來判定向量组的线性相关性。
即应用定义法的同时就应用了齐次线性方程组的解进行了判定。
对于各分量都给出的向量组人4,冬,•••“”,若以力=(©,冬4,…蚣)为系数矩阵的齐次线性方程组Ay=O有非零解向量,则此向量组£©,$,•••,心是线性相关的。
若以A=(al,a2,a.,^aj为系数矩阵的齐次线性方程组Ar=O只有零解向量,则此向量组人44,...卫,”是线性无关的。
例如:
例3.2叫证明向量组珂=(2,1,0,5),a2=(7-5,4-l),a3=(3-7,4-11)线性相关。
证明:
以ms,©为系数向量的齐次线性方程组是xg+x2a2+x3a3=0,即
2兀i+7x2+3x,=0
X]—5x2+7x5=0
<
4x2+4x3=0
5X]-x2-1lx3=0
利用矩阵的行初等变换将方程组的系数矩阵A化为行阶梯型矩阵,即
(2
7
31
(1
-5
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A=
1
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6
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(-5沟十匕
1
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A/
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0
0
〔0
24
24丿
<0
1
1
7
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0
0丿
由行阶梯型矩阵可知,7?
(A)=2<3,即齐次线性方程组有非零解,所以向量组
3.4利用矩阵的秩判定向量组线性相关性
设向量组A.a^a2,-,am是由加个”维列向量所组成的向量组,则向量组A的线性相
关性可由向量组A所构成的矩阵4的秩的大小來判定。
即
(1)当R(A)=用时,贝ij向量组A:
厲®,…,©”是线性无关的。
(2)当R(A) 主要结论叫 我们将向量珂,偽,…,勺己行排成矩阵 (B为阶梯型矩阵) 于是有如下结论: 定理3.1⑴向量组q,冬%线性相关的充分必要条件是矩阵B中出现零行。 证明: 阶梯型矩阵B中出现零行;O矩阵屮的秩R(AT) 推论3.1⑴向量组耳,冬,线性无关的充分必要条件是矩阵B中不出现零行。 对矩阵灯进行初等行变换化为阶梯型矩阵B的过程,其实就是对勺,色,…卫”进行向量的线性运算。 如果E中出现零行,则向量组4,冬,…,%中一定有某个向量能被其余的舁-1个向量线性表示,从而知向量组勺,冬,…,①是线性相关的;反之,如果B中没有零行,则向量组八①,…,〜中没有任何一个向量能被其他的〃-1向量线性表示,从而知q4,是线性无关的。 例3.3叫判断向量组珂=(1,3,—4,7,5),冬=(2,4,-5,3,2),偽=(46—7,-5,-3)的线性相关性。 解: 将444以行排成矩阵 fl 3 -4 7 5> <1 3 -4 7 5) 4= a2 = 2 4 -5 3 2 0 -2 3 -11 -8 4 \ 6 -7 -5 一3丿 0 0 0 矩阵A化为阶梯型矩阵后没有出现零行,则4,冬,6中每个向量都不能被剩下的向量线性 表示,故由推论知,向量组“①,①是线性无关的。 我们注意到,定理中的矩阵4厂在初等行变换的过程中,不论是否化成了阶梯型矩 阵,一旦出现零行,就可以断定中必有一个向量能被其余剩下的ml个向量线性表示,从而知向量组©卫”・・卫〃线性相关。 例3.4叫判定向量组 q=(1,3,—2丄5)卫严(—2,-2,4,6,—9),6=(1,-1,一2,-7,4),侑=(1,—3,5,9,5)的线性相关性。 解: 将①心侶以行排成矩阵 所以,矩阵A经过初等行变换后出现了零行,则❻冬4“勺中必有一向量可以由其余的向量线性表示,故向量组q卫①是线性相关的。 推论3・2如果向量组中含有零向量,则向量组4卫”・・,%是线性相关的。 推论3.3如果向量组勺耳,…,©中有个部分组他,%,…,花,(其中 k.w{1,2,•••/},,=1,2,…,也,〃? <刃)线性相关,贝ij向量组q,6,…,碍也一定线性相关。 例3.5: 设q=(l,l,l)r,672=(l,2,3)r,^=(l,3,Or,问当r为何值时,向量组q,冬心线性相 关,并将①表示为①和①的线性组合。 解: 利用矩阵的秩有 q 1 <1 11、 <1 11] A=(al,a2,a3)= 1 2 3 0 12 0 12 1 3 t 0 2/—1 i0 0/—5, \ / X / 当f=5时,向量组44, 线性相关, 并且有 <11 r 4 0 -V 4= 01 2 -> 0 1 2 所以(厶= 一4 +2ci2 00 o> 〔° \ 0 0丿 可见, 利用矩阵的秩与利用齐次线性方程组的解进行判定的出发点不同,但实质上是一样的,都是要利用矩阵的初等行变换将相应的系数矩阵化简为行阶梯形矩阵,从而求出向量组的秩,即系数矩阵的秩,然后再作出判定。 3.5利用行列式的值来判定向量组线性相关性 若向量组卫2,…,佥是由m个m维列向量所组成的向量组,且向量组A所构成的矩阵人之厲心,©,…©),即A为m阶方阵,贝ij (1)当国=0时,则向量组40,冬,%是线性相关的。 (2)当制工0时,则向量组4: q,冬,…,y”是线性无关的。 若向量组Aq,冬,…,J的个数m与维数n不同时,贝IJ (1)当m>〃时,则向量组A: 即冬,…竝是线性相关的。 ⑵当加时,转化为上述来进行判定,即选取加个向量组成的加维向量组,若此加维向量组是线性相关的,则添加分量后,得到的向量组也是线性相关的。 102 证明: 令人=(©卫2,。 3),则同=124=0,所以444线性相关。 157 行列式值的判定实质上是根据克莱姆法则判定以向量组作为系数向量的齐次线性方程组是否有非零解,然后再对向量组的线性相关性作出判定,所以能应用行列式值进行判定的向量组,也可以应用矩阵的秩和齐次线性方程组是否有非零解的方法來进行判定。 例3.7叫己知向量组A.a^a2,a5是线性无关的,且有玄=aY+a2,b2=a2+a^b5=ci5+ciY,证明向量组b“b少线性无关。 证明一: 设有,使得b^+b^+b^=0
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