等差数列、等比数列知识点梳理Word格式文档下载.doc
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3、等差中项
(1)如果,,成等差数列,那么叫做与的等差中项.即:
或
(2)等差中项:
数列是等差数列
4、等差数列的前n项和公式:
前N相和的推导:
当时,则有,特别地,当时,则有。
(注:
,)当然扩充到3项、4项……都是可以的,但要保证等号两边项数相同,下标系数之和相等。
5、等差数列的判定方法
(1)定义法:
若或(常数)是等差数列.
(2)等差中项:
(3)数列是等差数列(其中是常数)。
(4)数列是等差数列,(其中A、B是常数)。
6、等差数列的证明方法
定义法或者等差中项发是等差数列.
7、等差数列相关技巧:
(1)等差数列的通项公式及前和公式中,涉及到5个元素:
、、、及,其中、称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。
(2)设项技巧:
①一般可设通项
②奇数个数成等差,可设为…,…(公差为);
③偶数个数成等差,可设为…,,…(注意;
公差为2)
8、等差数列的性质:
(1)当公差时,等差数列的通项公式是关于的一次函数,且斜率为公差;
前和是关于的二次函数且常数项为0。
(2)若公差,则为递增等差数列,若公差,则为递减等差数列,若公差,则为常数列。
(3)当时,则有,特别地,当时,则有。
(4)、为等差数列,则都为等差数列
【新数列可以化为一次函数的形式】
(5)若{}是等差数列,则,…也成等差数列
推导过程:
(6)数列为等差数列,每隔k(k)项取出一项()仍为等差数列
推导过程:
(7)、的前和分别为、,则
(8)等差数列中,
若,,则
(1)
若,则
(2)
推导:
解出A和B就可以推导出
(1)
(2)式直接用推广公式即可
(9)求的最值
法一:
因等差数列前项和是关于的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性。
法二:
(1)“首正”的递减等差数列中,前项和的最大值是所有非负项之和
即当由可得达到最大值时的值.
(2)“首负”的递增等差数列中,前项和的最小值是所有非正项之和。
即当由可得达到最小值时的值.
或求中正负分界项
法三:
直接利用二次函数的对称性:
由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数,故n取离二次函数对称轴最近的整数时,取最大值(或最小值)。
若Sp=Sq则其对称轴为
等比数列的相关公式和性质
1、等比数列的定义:
,为公比
2、通项公式:
,为首项,为公比
推广公式:
3、等比中项
(1)如果成等比数列,那么叫做与的等差中项.即:
注意:
同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个(两个等比中项互为相反数)
(2)数列是等比数列
4、等比数列的前n项和公式:
(1)当时,
(2)当时,
(为常数)
5、等比数列的判定方法
(1)用定义:
对任意的n,都有为等比数列
(2)等比中项:
(0)为等比数列
(3)通项公式:
为等比数列
(4)前n项和公式:
6、等比数列的证明方法
依据定义:
若或为等比数列
7、等比数列相关技巧:
(1)等比数列的通项公式及前和公式中,涉及到5个元素:
(2)为减少运算量,要注意设项的技巧,一般可设为通项:
如奇数个数成等比,可设为…,…(公比为,中间项用表示);
注意隐含条件公比的正负
8、等比数列的性质:
(1)当时
①等比数列通项公式是关于的带有系数的类指数函数,底数为公比
②前项和,系数和常数项是互为相反数的类指数函数,底数为公比
(2)对任何m,n,在等比数列中,有,特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式。
因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。
(3)若(),则。
特别的,当时,得
(4)列,为等比数列,则数列,,,(k为非零常数)均为等比数列。
【可以化为为等比数列】
(5)数列为等比数列,每隔k(k)项取出一项()仍为等比数列
(6)如果是各项均为正数的等比数列,则数列是等差数列
(7)若为等比数列,则数列,,,成等比数列
(8)若为等比数列,则数列,,成等比数列
备注:
和(7)本质上是一样的。
(9)①当时,②当时,
③当q=1时,该数列为常数列(此时数列也为等差数列);
④当q<
0时,该数列为摆动数列。
(10)在等比数列中,当项数为2n(n)时,,。
(11)若是公比为q的等比数列,则
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