八年级下册数学四边形中的类比探究专题训练Word下载.docx
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类比探究:
⑵如图2,在正方形ABCD中,点H,E,G,F分别在AB,BC,CD,D4上若EFLHG于点O,探究线段EF与HG的数量关系,并说明理由;
拓展应用:
⑶已知,如图3,在
(2)问条件下,若BC=49E为BC的中点,=
4
AF^HG的长.
【直角结构】
1数学课上,张老师出示了问题:
如图1,四边形ABCD是正方形,ZDAB=ZABC=ZBCD=ZCDΛ=90o,AB=BC=CD=DA,AB∕∕CDfAD//BC,点E是边BC的中点,ZAEF=90°
且EF交正方形外角ZDCG的平分线CF于点F,求证:
AE=EF.
经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:
取AB的中点M,连接ME,贝IJAM=EC,易证△AMEmAECF,所以AE=EF.
在此基础上,同学们作了进一步的研究:
$小颖提出:
如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上(除B,C外)的任意一点”,其他条件不变,那么结论“AE=EF”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗?
如果正确,写出证明过程;
如果不正确,请说明理由.
2
小华提出:
如图3,点E是3C的延长线上(除C点外)的任意一点,其他条件不变,结论aAE=EF”仍然成立.你认为小华的观点正确吗?
如果正确,写出证明过程;
如果不正确,请说明理由.
2提出问题:
如图1,将三角板放在正方形ABCD上,使三角板的直角顶点P在对角线AC上,一条直角边经过点B,另一条直角边交边DC与点、E,求证:
PB=PE.
分析问题:
学生甲:
如图1,过点P作PM丄BC,PN丄CD,垂足分别为M,N通过证明两三角形全等,进而证明两条线段相等.
学生乙:
连接DP,如图2,很容易证明PD=PB,然后再通过“等角对等边”证明PE=PD,就可以证明PB=PET.
解决问题:
请你选择上述一种方法给予证明.
问题延伸:
如图3,移动三角板,使三角板的直角顶点P在对角线AC上,一条直角边经过点B,另一条直角边交DC的延长线于点E,PB=PE还成立吗?
若成立,请证明;
若不成立,请说明理由.
【旋转结构】
已知:
∕∖ABC是等腰直角三角形,动点P在斜边AB所在的直线上,以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ,其中ZPCQ=90°
探究并解决下列问题:
(I)如图1,若点P在线段AB上,且AC=1+JJ,PA=√2,贝9:
1线段M=,PC=:
2猜想:
PA?
PB2,PQ2三者之间的数量关系为;
0如图2,若点P在AB的延长线上,在
(1)中所猜想的结论仍然成立,请你利用图2给出证明过程;
⑶若动点P满足竺=],求竺的值.(提示:
请利用备用图进行探求)
PB3AC
B∖
备用图
2【提出问题】
$已知:
菱形ABCD的变长为4,ZADC=60。
,ZXPEF为等边三角形,当点P与点D重合,点E在对角线ACH寸(如图1所示),求AE+AF的值;
【类比探究】
2在上面的问题中,如果把点P沿D4方向移动,使PD=I,其余条件不
变(如图2),你能发现AE+AF的值是多少?
请直接写出你的结论;
【拓展迁移】
9在原问题中,当点P在线段DA的延长线上,点E在Cq的延长线上时(如图3),设AP=m,贝9线段AE,AF的长与加有怎样的数量关系?
请说明理由.
3
(1)如图1,O是等边△ABC内一点,连接OA,OB,OC,且OA=3,OB=4,
OC=5,将Z∖BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD,连接OD求:
1线段OD的长为;
2求ZBDC的度数.
(2)如图2所示,O是等腰直角ZXABC(ZABC=90°
)内一点,连接OA,OB,OC,ZAOB=I35o,0A=∖,OB=2,求OC的长.
小明同学借用了图1的方法,将厶BAO绕点B顺时针旋转后得到ABCD,请你继续用小明的思路解答,或是选择自己的方法求解.
4已知,在厶ABC中,ZBAC=90。
,AB=AC,点£
>为直线BC上一动点(点D不与3,C重合),以AD为边作正方形ADEF,连接CF.
(1)观察猜想
如图1,当点D在线段BC上时可以证明ACF,贝IJ
1BC与CF的位置关系为:
;
2BC,DC,CF之间的数量关系为.
(2)类比探究
如图2,当点D在线段BC的延长线上时,其他条件不变,
(1)中①,②结论是否仍然成立?
若成立,请给予证明;
若不成立,请你写出正确结论再给予证明.
(3)拓展延伸
如图3,当点D在线段BC的反向延长线上时,且点A,F分别在直线BC的两侧,其他条件不变.
1BC,DC,CF之间的数量关系为:
2若正方形ADEF的边长为3,对角线AE,DF相交于点O,连接OC,则
OC的长度为.
图3
【新定义】
如图1,我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.
⑴概念理解:
如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,问四边形ABCD是垂美四边形吗?
请说明理由.
⑵性质探究:
试探索垂美四边形ABCD两组对边AB2,CD2与BC1,AD2之间的数量关系.
猜想结论:
(要求用文字语言叙述);
写出证明过程(先画出图形,写出已知、求证).
⑶问题解决:
如图3,分别以Rt∆ΛCB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE,连接CE,BG,GE,已知AC=4,AB=S,求GE长.
2类比、转化、从特殊到一般等思想方法,在数学学习和研究中经常用到,请看下面的案例.
I、如图1,已知AABC,分别以AB.AC为边,在BC同侧作等边三角形
ABD和等边三角形ACE,连接CD,BE.
(1)通过证明厶,可以得到DC=BE.
II、如图2,四边形ABCD中,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,
DA的中点,顺次连接E,F,G,H,得到四边形EFGH,我们称四边形EFGH
为四边形ABCD的中点四边形,连接BD,利用三角形中位线的性质,可得四边形EFGH是平行四边形.
拓展应用
⑵如图3,点P是四边形ABCD内一点,且满足PA=PB,PC=PD,
ZAPB=ZCPD,点、E,F,G,H分别为边AB,BC,CDDA的中点,猜想四边形EFGH的形状,并证明.
⑶若改变
(2)中的条件,使ZAPB=ZCPD=90。
,其他条件不变,四边形
EFGH的形状是.
3我们定义:
在AABC中,把AB绕点A顺时针旋转α(0o<
α<
180o)得到ABf.把AC绕点A逆时针旋转〃得到AC,竝BC.场+0=180。
时,我〃淋ZXABC∏4∕∖ABC的“旋补三角形”,ZXABc的边BC上的中线AD叫做∕∖ABC的“旋补中线”.下面各图中,ZMBC均是AABC的“旋补三角形”,AD均是AABC的“旋补中线”.
(1)如图1,若AABC为等边三角形,BC=8,则AD的长等于.
(2)如图2,若ZBAC=90°
求证:
AD=1BC
2・
(3)如图3,若∕∖ABCMl意三角形,
(2)中结论还成立吗?
如果成立,给予证明;
如果不成立,说明理由•
Ct
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