专题复习教案——数列(学生用)Word文档格式.doc
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⑴-,,-,…;
⑵1,2,6,13,23,36,…;
⑶1,1,2,2,3,3,
变式训练
1.某数列{an}的前四项为0,,0,,则以下各式:
①an=[1+(-1)n]
②an=
③an=
其中可作为{an}的通项公式的是 ()
A.① B.①②
C.②③ D.①②③
例2.已知数列{an}的前n项和Sn,求通项.
⑴Sn=3n-2
⑵Sn=n2+3n+1
2:
已知数列{an}的前n项的和Sn满足关系式lg(Sn-1)=n,(n∈N*),则数列{an}的通项公式为.
例3.根据下面数列{an}的首项和递推关系,探求其通项公式.
⑴a1=1,an=2an-1+1(n≥2)
⑵a1=1,an=(n≥2)
⑶a1=1,an=(n≥2)
3.已知数列{an}中,a1=1,an+1=(n∈N*),求该数列的通项公式.
方法二:
求出前5项,归纳猜想出an=,然后用数学归纳证明.
例4.已知函数=2x-2-x,数列{an}满足=-2n,求数列{an}通项公式.
4.知数列{an}的首项a1=5.前n项和为Sn且Sn+1=2Sn+n+5(n∈N*).
(1)证明数列{an+1}是等比数列;
(2)令f(x)=a1x+a2x2+…+anxn,求函数f(x)在点x=1处导数f1
(1).
归纳小结
1.根据数列的前几项,写出它的一个通项公式,关键在于找出这些项与项数之间的关系,常用的方法有观察法、通项法,转化为特殊数列法等.
2.由Sn求an时,用公式an=Sn-Sn-1要注意n≥2这个条件,a1应由a1=S1来确定,最后看二者能否统一.
3.由递推公式求通项公式的常见形式有:
an+1-an=f(n),=f(n),an+1=pan+q,分别用累加法、累乘法、迭代法(或换元法).
第2课时等差数列
1.等差数列的定义:
-=d(d为常数).
2.等差数列的通项公式:
⑴an=a1+×
d
⑵an=am+×
3.等差数列的前n项和公式:
Sn==.
4.等差中项:
如果a、b、c成等差数列,则b叫做a与c的等差中项,即b=.
5.数列{an}是等差数列的两个充要条件是:
⑴数列{an}的通项公式可写成an=pn+q(p,q∈R)
⑵数列{an}的前n项和公式可写成Sn=an2+bn
(a,b∈R)
6.等差数列{an}的两个重要性质:
⑴m,n,p,q∈N*,若m+n=p+q,则.
⑵数列{an}的前n项和为Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成数列.
例1.在等差数列{an}中,
(1)已知a15=10,a45=90,求a60;
(2)已知S12=84,S20=460,求S28;
(3)已知a6=10,S5=5,求a8和S8.
变式训练1.在等差数列{an}中,a5=3,a6=-2,则a4+a5+…+a10=.
例2.已知数列{an}满足a1=2a,an=2a-(n≥2).其中a是不为0的常数,令bn=.
⑴求证:
数列{bn}是等差数列.
⑵求数列{an}的通项公式.
2.已知公比为3的等比数列与数列满足,且,
(1)判断是何种数列,并给出证明;
(2)若,求数列的前n项和
例3.已知{an}为等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,已知S7=7,S15=75,Tn为数列{}前n项和。
求Tn.
3.两等差数列{an}、{bn}的前n项和的比,则的值是()
A.B.C.D.
例4.美国某公司给员工加工资有两个方案:
一是每年年末加1000美元;
二是每半年结束时加300美元.问:
⑴从第几年开始,第二种方案比第一种方案总共加的工资多?
⑵如果在该公司干10年,问选择第二种方案比选择第一种方案多加工资多少美元?
⑶如果第二种方案中每半年加300美元改为每半年加a美元.
问a取何值时,总是选择第二种方案比第一种方案多加工资?
变式训练4.假设某市2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,
(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?
(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?
1.欲证{an}为等差数列,最常见的做法是证明:
an+1-an=d(d是一个与n无关的常数).
2.a1,d是等差数列的最关键的基本量,通常是先求出a1,d,再求其他的量,但有时运算较繁.
3.对等差数列{an}的最后若干项的求和,可以把数列各项的顺序颠倒,看成公差为-d的等差数列进行求和.
4.遇到与等差数列有关的实际问题,须弄清是求项的问题还是求和的问题.
第3课时等比数列
1.等比数列的定义:
=q(q为不等于零的常数).
2.等比数列的通项公式:
⑴an=a1qn-1⑵an=amqn-m
3.等比数列的前n项和公式:
Sn=
4.等比中项:
如果a,b,c成等比数列,那么b叫做a与c的等比中项,即b2=(或b=).
5.等比数列{an}的几个重要性质:
⑴m,n,p,q∈N*,若m+n=p+q,则.
⑵Sn是等比数列{an}的前n项和且Sn≠0,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成数列.
⑶若等比数列{an}的前n项和Sn满足{Sn}是等差数列,则{an}的公比q=.
例1.已知等比数列{an}中,a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求项数n和公比q的值.
变式训练1.已知等比数列{an}中,a1·
a9=64,a3+a7=20,则a11=.
例2.设等比数列{an}的公比为q(q>
0),它的前n项和为40,前2n项和为3280,且前n项中数值最大项为27,求数列的第2n项.
2.已知等比数列{an}前n项和Sn=2n-1,{an2}前n项和为Tn,求Tn的表达式.
例3.有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数.
3.设是等差数列的前项和,,则等于()
A.15B.16C.17D.18
例4.已知函数f(x)=(x-1)2,数列{an}是公差为d的等差数列,数列{bn}是公比为q的等比数列(q≠1),若a1=f(d-1),a3=f(d+1),b1=f(q-1),b3=f(q+1),
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)设数列{cn}对任意的自然数n均有:
,求数列{cn}前n项和Sn.
变式训练4.已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d>
0,且第二项,第五项,第十四项分别是
等比数列{bn}的第二项,第三项,第四项.
⑴求数列{an}与{bn}的通项公式;
⑵设数列{cn}对任意正整数n,均有,求c1+c2+c3+…+c2007的值.
1.在等比数列的求和公式中,当公比q≠1时,适用公式Sn=,且要注意n表示项数;
当q=1时,适用公式Sn=na1;
若q的范围未确定时,应对q=1和q≠1讨论求和.
2.在等比数列中,若公比q>
0且q≠1时,可以用指数函数的单调性确定数列的最大项或最小项.
3.若有四个数构成的函数,前三个成等差数列,后三个成等比数列时,关键是如何巧妙地设这四个数,一般是设为x-d,x,x+d,再依题意列出方程求x、d即可.
4.a1与q是等比数列{an}中最活跃的两个基本量.
第4课时等差数列和等比数列的综合应用
1.等差数列的常用性质:
⑴m,n,p,r∈N*,若m+n=p+r,则有.
⑵{an}是等差数列,则{akn}(k∈N*,k为常数)是数列.
⑶Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成数列.
2.在等差数列中,求Sn的最大(小)值,关键是找出某一项,使这一项及它前面的项皆取正(负)值或0,而它后面的各项皆取负(正)值.
⑴a1>
0,d<
0时,解不等式组可解得Sn达到最值时n的值.
⑵a1<
0,d>
0时,解不等式组可解得Sn达到最小值时n的值.
3.等比数列的常用性质:
⑴m,n,p,r∈N*,若m+n=p+r,则有.
⑵{an}是等比数列,则{a}、{}是数列.
⑶若Sn≠0,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成数列.
例1.是否存在互不相等的三个实数a、b、c,使它们同时满足以下三个条件:
①a+b+c=6
②a、b、c成等差数列.
③将a、b、c适当排列后成等比数列.
变式训练1.若a、b、c成等差数列,b、c、d成等比数列,成等差数列,则a、c、e成()
A.等差数列B.等比数列
C.既成等差数列又成等比数列D.以上答案都不是
例2.已知公差大于0的等差数列{}满足a2a4+a4a6+a6a2=1,a2,a4,a8依次成等比数列,求数列{an}的通项公式an.
2.已知成等差数列,求证:
也成等差数列。
例3.已知△ABC中,三内角A、B、C的度数成等差数列,边a、b、c依次成等比数列.求证:
△ABC是等边三角形.
变式训练3.若互不相等的实数、、成等差数列,、、成等比数列,且,则=()
A.4B.2C.-2D.-4
例4.数列{an}的前n项和Sn,且a1=1,an+1=Sn,n=1,2,3……
求:
⑴a2、a3、a4的值及{an}的通项公式;
⑵a2+a4+a6+…+a2n的值.
4.设数列的前项的和,
求首项与通项。
1.在三个数成等差(或等比)时,可用等差(或等比)中项公式;
在三个以上的数成等差(或等比)时,可用性质:
m、n、p、r∈N*,若m+n=p+r,则am+an=ap+ar(或am·
an=ap·
ar)进行解答.
2.若a、b、c成等差(或等比)数列,则有2b=a+c(或b2=ac).
3.遇到与三角形相关的问题时,一般要注意运用正弦定理(或余弦定理)及三角形内角和等于180°
这一性质.
4.在涉及an与Sn相关式子中用Sn-1和Sn的关系表示an时应该注意“n≥2”这个特点.
第5课时数列求和
求数列的前n项和,一般有下列几种方法:
1.等差数列的前n项和公式:
Sn==.
2.等比数列的前n项和公式:
①当q=1时,Sn=.
②当q≠1时,Sn=.
3.倒序相加法:
将一个数列倒过来排列与原数列相加.主要用于倒序相加后对应项之和有公因子可提的数列求和.
4.错位相减法:
适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.
5.裂项求和法:
把一个数列分成几个可直接求和的数列.
例1.已知数列:
1,,,,…,,求它的前n项的和Sn.
变式训练1.数列前n项的和为( )
A. B.
C.D.
例2.求Sn=1+++…+.
变式训练2:
数列{an}的通项公式是an=,若前n项之和为10,则项数n为()
A.11B.99
C.120D.121
例3.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=,bn=an·
2n,求数列{bn}的前n项和Tn.
变式训练3.设数列{an}的前n项和为Sn=2n2,{bn}为等比数列,且a1=b1,b2(a2-a1)=b1.
⑴求数列{an}和{bn}通项公式.
⑵设Cn=,求数列{Cn}前n项和Tn.
例4.求Sn=1!
+2·
2!
+3·
3!
+…+n·
n!
.
4.以数列{an}的任意相邻两项为坐标的点Pn(an、an+1)均在一次函数y=2x+k的图象上,数列{bn}满足条件:
bn=an+1-an,且b1≠0.
⑴求证:
数列{bn}为等比数列.
⑵设数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn,若S6=T4,S5=-9,求k的值.
1.求和的基本思想是“转化”.其一是转化为等差、等比数列的求和,或者转化为求自然数的方幂和,从而可用基本求和公式;
其二是消项,把较复杂的数列求和转化为求不多的几项的和.
2.对通项中含有(-1)n的数列,求前n项和时,应注意讨论n的奇偶性.
3.倒序相加和错位相减法是课本中分别推导等差、等比数列前n项和用到的方法,在复习中应给予重视.
数列章节测试题
一、选择题:
1.数列则是该数列的()
A.第6项B.第7项C.第10项D.第11项
2.方程的两根的等比中项是()
A.B.C.D.
3.已知等差数列满足,,则它的前10项的和()
A.138 B.135 C.95 D.23
4、已知等比数列的前三项依次为,,,则
A.B.C.D.
5.一个有限项的等差数列,前4项之和为40,最后4项之和是80,所有项之和是210,则此数列的项数为()
A.12B.C.16D.18
6、若等差数列的前5项和,且,则( )
(A)12 (B)13 (C)14 (D)15
7、在数列中,,,则( )
A.B.C.D.
8.两等差数列{an}、{bn}的前n项和的比,则的值是()
9.{an}是等差数列,,则使的最小的n值是()
A.5B.C.7D.8
第1个
第2个
第3个
10、黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案
则第个图案中有白色地面砖的块数是( )
A. B.
C. D.
11.若数列前100项之和为0,则的值为()
A.B.C.D.以上的答案均不对
12.设2a=3,2b=6,2c=12,则数列a,b,c成
A.等差B.等比C.非等差也非等比D.既等差也等比
二、填空题
13、设Sn是等差数列{an}的前n项和,a12=-8,S9=-9,则S16=.
14、由正数构成的等比数列{an},若,则.
15.已知数列的前项和为某三角形三边之比为,则该三角形最大角为.
16、给定(n∈N*),定义乘积为整数的k(k∈N*)叫做“理想数”,则区间[1,2008]内的所有理想数的和为.
三、解答题
17、已知函数是一次函数,且成等比数列,设,()
(1)求;
(2)设,求数列的前n项和。
18、数列{an}的前n项和记为Sn,
(1)求{an}的通项公式;
(2)等差数列{bn}的各项为正,其前n项和为Tn,且,又成等比数列,求Tn
19、假设某市2004年新建住房400万,其中有250万是中低价房。
预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长。
另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万。
那么,到哪一年底,
(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万?
(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于?
20、已知数列中,,,其前项和满足(,).
(1)求数列的通项公式;
(2)设为非零整数,),试确定的值,使得对任意,都有成立.
21、已知直线与圆交于不同点An、Bn,其中数列满足:
.
(1)求数列的通项公式;
(2)设求数列的前n项和.
22、已知是公差为的等差数列,它的前项和为,,.
(1)求公差的值;
(2)若,求数列中的最大项和最小项的值;
(3)若对任意的,都有成立,求的取值范围.
第21页共21页
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