实数基本定理的相互证明Word文档格式.docx
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a<
a+sQ®
心—久⑺一^)。
(2)定31=>
定理3(爾界原理ncantor区同套定理)
证因为⑷,仇]=[%],乞J,a}<
a2<
■■-<
an<
-<
bn<
b2<
b1O
则显然数列{“”}、{b„}皆为有界数列,且毎个®
U是°
”的上界,毎个爲81是-的下界所以由确界原理知,3a=sup{^,}使得3b=sup{bll}使得©
sbsb”。
所以\a-b\^an-bn\^^为(®
-陽)TO,所以d皂b。
记§
=a=b则即有冷使得歹u[色,®
]。
假设还有另外一点了wR且孑割,b」,则I歹一孑曰冷一®
ItO,BO§
=了。
从而唯一11得证。
(3)定理1=>
定理4(為界原理Heine-Borel有限覆盖定理)
证设H是有冈区间[a,b]的任一开畏盖。
令
E={c\[a,c]可以被H有限黴盖,ce[a,b]}o
因为ae[a,b],BU(a)eU,3aeU,VflilU(a)含有[a,b]中的&
x^a,&
U(a)B盖[a,x]G即£
h0,且有上界b。
由确界原理亂Bc=supE,cER^c<
bo
下面证明cwE:
为1HIffg间(a,0)已Hoce(a,0),J}3xze£
使a<
x'
5c,Pw(a,0)。
由于[a,xf]有有限股盖,故添上(a,0),[a,c]的有有限股盖,从而ceEo
现iic=b:
若c<
b9Qa<
c<
J31故玉"
w(c,0)c(c,b),则x"
eE。
这与c是£
的上确界矛盾,Vlc=bQ
(4)定理1二>
定理5(爾界原理nWeierstrass聚点原理)
S设S是直线上的有界无限点集,则由确界原理有〃=supS,§
=infS。
若〃疋中有一点不是S的孤立点,则显然就是S的一个聚点。
否则,令E:
={xeR\S中仅有有限个数小干X}。
显然E非空目有上界。
令;
r=sup£
则由E的构造方法可知,Dw>
0必有〃,+e圧E,BPS中有无限f数小于/+£
大于〃,。
所以(/—&
〃,+£
)中含有s的无限个数,故/是S的聚点。
(5)定理1二>
定36(«
界原理Bolzano致密性定理)
S设{©
}是有界无穷数列,则由(4)的证明可知,{心}有聚点。
再由聚点的等价定义可知,在U”}中存在点列以该聚点为极限。
再将此收敛的自列作些技术性处理就可得到的一个收敛的子肌
(6)定理1二>
定理7(爾界煉理Cauchy收敛准U)
S设{心}为Cauchy基本列,则P£
>
gN>
0,am>
n>
N,有\xn-xm|<
^o易证{"
”}为有界列。
由确界原理可知,m〃=sup{x”},§
=inf{x“}o
Cased)若〃Hmax{£
}或者。
不妍设I
V£
O,a/V使得歹<
兀<
歹+0。
设s=^-,|必Bnk(nk>
/?
+1)使得g<
S<
百+宁o令Ets,则乙V。
KPV£
O,mK>
0使得当£
K时,有lx心一纟1<
。
由于{©
}为Cauchy基本列,所以\/s>
O,mN]=max{N,K}使得Pn>
N、有
1暫一%1+%-尔2&
故X”-S)。
Case
(2)若〃=max{£
}fl疔=min{x”},I令E={xn],E,=E-{maxE,minE}o害厶有Case
(1)的条件,则可知{兀}收敛。
否则令E2^E-fmaxE^minEJo依%递推,若日比有Case
(1)的条升比立,则可知{斗}收敛。
否IVneW,EnMt®
小值,则得两f数列{“”},an=minE“和{bn},®
=max£
;
其中{%}单增、[bn}单赣且部有界。
ifla=sup{«
J,i
0,3^2>
0,使得V/?
>
N2,有ci-s<
aNi<
an<
ao所以▽g>
0,日“3=max{MN?
}>
0,使f|V/z>
有卜”一“Sx”一°
叫+°
比一幺<
2wo
故肖料—>
oo时{x”}收敛°
(7)定理2二>
定理1(单调有界原理二>
爾界原理)
证设S是非空有上界集合,不如设S中有一f正数。
现构造函数列:
Step
(1)由于S有上界,所以S中的数必有一个最大的整数部分,记为5。
记集合={xwS|[x]=q)},则VxeEo,有<
x<
e0+1o
Step⑵设他中各数的一15小裁中最大是为q。
记集合
Step(n)设E,h中第料位小数中最大的为匕记集合En={xe天的第刃位数
为en}ti
有勺q•…匕5xv勺弓.••匕+1
从而得到一数列记为{心}其中£
=e唱…备且{£
}单增有上界,故由单调有界原理In{a-„)收敛。
不妨记为liniXn=etVx有幺〉e()e.•••£
I#He为S的一个上界。
现ile=sup5:
因为V£
0,37V>
0使(IVn>
N有e-£
<
xlt<
e+£
HP
BxneS^e-£
xnO所以由上确界定义Hl^=SUpSo
(8)定理2二>
定理3(单调有界定理nCantor区同套定理)
2B为[必]=[%如,所以有
ax<
a^<
--<
an<
---<
bn<
b^<
b}
从而可见数列{a~}单熠有上界,数列{仇}单减育下界故由单调有界定理可知
Bae/?
使得linian=a,3beR使f|linibn=bo
且Vne/V有a”N有b<
hn,JiJJIa,be[an,bn]t干是成立
JI因为lim(b”一d”)=0,所以a=bo记歹=a=b,从而存在性得证。
N—
(9)定理2二>
定理4(单调有界原理Heine-Borel有限覆盖定理)
证(反址法)假设冈区间S,b]有一个开覆盖H不能用它的任有限f开区间畏盖。
定义性质P:
不能用H中有限个开区间覆盖。
Step
(1)將S,切等分为两个子区同,则至少有一个具有性质P,不妍记该区同为[如也],则U,bju[a,b];
Step
(2)将]等分为两个子区间,则至少有一f具有性质P,不奶记该区同为[如如,则[如乞]<
=[如也];
■
Step(n)将[勺十仇一]等分为两个子区间,则至少有一个貝有性质P,不妬记该区间为[勺,仇],则[务,化]u[%,$_]];
由此可得一个区间套{[务如}且满足
(3.1)
所以{色}为单贈有上界数列,也}为单减有下界的数列。
所以由有单调有界原理可知m歹I,歹2WR使得Urn«
n=刍,limZ?
w=场o由(3.1)易知,刍=%=©
从而3C/(^^)c=t/eH,3N>
0^n>
N9有[均心]u”厲£
)uU已H,这与[an9bn]具有性
IPf®
o魁就证明rHeine-Borel有限夏盖定理。
(10)定理2二>定理5(单调有界原理nWeierstrass聚点定理)
证设E是直线上的有界无眼点集。
容易込明结论一:
若£
无最大S,«
UE中去掉任恵有限自集F所需无限点集仍然无最大数。
现在我们从E中挑选单调数列如下:
Case
(1)当E无最大数时,由给论一知,对干心\已E、3x2eEXjxJ使x{<x2;
因£
\{“,七}仍然是无最大数的无限集,由结论一知,Bx3eE\{xpx2}使x2<x3;
此过程可以无限继续下去,于是就UE中找到了一个单调递增数列UJO
Case
(2)当E有最大数小时,考察Eg},若它无最大数,则由Cased)过论可需一个单调递增数列;
若E\{Xi}有最大数勺,显然有羽“;
此过程可以无限址续下去,于是就从E中找到了一个单城数列{£
}或单增数列。
由单调有界原理知,从E中挑选单调数列{©
}有极限。
再由衆点的等价定文知,E至少有一个聚点"
(11)定理2二>定理6(单调有界原理nBolzano致密牲定理)
2设{£
}为一有界无穷点列,则对(10)的证明做自技术性处理,就是保证挑选的数列构成{Aj的子列即可。
事实上因为每f{£
}'
{£
“,…,%}都含有{©
}的无陨乡项,所以必存在仏已乞:
={心}\傀,…,%},£
屮>,n,+I>nk,如果乞无最大数。
(12)定理2二>定理7(单调有界原理nCauchy收敛准剧)
证设{£
}为-Cauchy基本见,则易证{百}有界,由(10)fll(11)的证明可知存在{©
}的一个子列%}单调且有界,由单调有界原理可知,%}有极限X。
参照的证明就知道{£
}收敛。
(13)定理3二>定理l(Canto「区同套定理二>确界原理)
证明:
设S是有上界集合,不如设b是的一个上界,取qeS构造区同[a,b],定义性质P:
IflE间E满足3^gE,^eS且丸w£
*,兀,ES。
仿⑼的证明对S,b]按性质P,用二等分法,可以构造出区同套{[“”&
]},其中毎个仇为S的上界。
由Cantor区间套定理知存在唯一的歹割如且纟为{"
”}的一个下界为仗」的一个上界,使得0£
>0刖>0,当〃>N时,有[曾如ui/徐)。
W>0,BamGS(m>N)使貼一£
v%“,故纟为S的上确界。
(14)定理3二>定32(Cantor区同套定理二>单调有界原理)
}是单调递增有上界的数列,则存在一个区间S,b],使得{£
}U[“],显然VneN,有xn<bo定义性质P:
含有{©
}中无巩多项。
仿(9)的证明,利用二等分法容易构造出满足U1P的区间套{⑷如}。
故由Cantor区间套定J!
可知,存在唯一的^e[afl,bn]^[an,bn]中包含{%}中的无限多顶。
由于{兀”}是单调递增的,所以[色,仇]包含{占}中某一顶后的所有项。
由于彳为{©
}的一个上界,所以0“一£
M乞一气TO,(/1T8)。
所以召T§
(MToO)o
(15)定理3二>定理4(Cantor区间套定理二>Heine-Borel有限覆盖定理)
证(反证法)假设01区间S,b]有一个开覆盖H不能用它的任有限个开区间驗盖。
定义性质戶:
仿(9)的证明,利用二等分法容易构造出满足性质P的区间套{KADo故由Cantor区间套定理可知,存在唯一的从而mt/(§
w)uUwH,mN沁"
〉N,有[%ug,£
)ugH,这与[。
”,仏]具有性质P矛盾。
这就证明了Heine-Borel有限夏盖定理。
(16)定理3二>
定理5(Cantor区同套定理nWeierstrass聚点定理)
证设S={x}为貞线上的有界无陨点集,不妬设{x}u[a,b]。
定义性质P:
含有S中无限多个虑。
仿(9)的证明,利用二等分法容易构造岀满足性质P的区间套{[anibn]}且满足(3.1)。
故由Cantor区同套定理可知,存在唯一的纟e[色,》]o由(3.1川而可知,W>
0,列>
0,5〃>
N,有[勺,仇]u“筑刃。
即>
0,有UDcS有无限点,所以g即为S的一个聚点。
(17)定理3=>
定理6(CantorgB套定理Bolzano致密性定理)
S设{耳}为有界数列,不!
O{xn]cz[a9b]o定义性质P:
含有数列的无限多顶。
防(9)的込明,利用二等分法容易构造岀满足性质P的区间套{[%,»
]},且满足(3.1)o故由IS区间套定理可知存在唯一的歹割如。
TiU是"
”}某f子列的股限。
事实上因为毎个[匕,仇]都含有{九}的无限名顶,所以必存在6丘[勺,勺]只存在%e[a2,b2]&
ni<
n2tUtil程可以无眼进行下去,于是得到一个子见{£
」且有乙丘⑷‘如]。
由(3.1)易伙is)。
(18)定理3二>
定理7(Cantor区间套定理nCauchy收敛准JS)
证设{%}为Cauchy基本列,即\/£
0,mN>
0,\//?
N有
\xn-xN\<
s,即e[xN-£
xn
定义性质P:
V£
O,3/V>
O,V/7>
^有£
w[冷一£
兀\,+£
]。
则
Step
(1):
令£
=i37V,使得[不[—+,兀勒+*]具有性质P,不妨记此区同
为[q,0J。
Step
(2):
=〒,Rl]3A^2(>
NJ使借[兀也一尹,旳匕+尹I具有P,不妍
记此区间为[0^02】。
Step(k):
=*‘MlPN心Nk_)使得[兀皿-尹叫+尹]具有卩,不斯记此区间为[ak.pk]Q
由此可得一冈区间套{[y,,0J}满足
(DU,0”]n[%+i,0“+J;
(ii){p„-a
(iii)[a„,A]具有性ffiP,IP含有某个N>
0后的所有项。
由冈区间套定理可知存在唯一的歹曰匕,灿]。
从而X”T§
(“TS)。
(19)定理4二>
定理1(Heine-Borel有限覆盖定理二>
证设S是有上界的非空数集,则mbwR使得VxwS有xvb,取aeS,得到区间[讪。
反证法,假设S没有上确界,MVxe[a,fe],3^>
0,使得U(询满足条件:
若%是的上界,那么U(x^)中的点都是S的上界;
若x是S中的自,朋么t/(xV)中不存在S的上界。
从而得[%]的一个开畏盖
H:
={(/(x,J)|xe[a,b\}o(3.2)
由Heine-Borel有限覆盖定理知,存在H的一个有限子股盖
H]:
={5兀・,爲)低e[6/,Z?
],z=1,2,o(3.3)
因此必有一f,不如设为u(K,q),包含b。
因为b是S的一个上界,故卩(州,4)内的元素全是S的上界。
从而与:
/(和q)相交的比中的邻域的自也必为S的上界。
依次类推下去,将有a为S的一个上界,这与«
eS?
l§
故S具有上确界。
(20)定理4二>
定32(Helne-Borel有限覆盖定理二>
单调有界定理)
证不斯设□”}为单调递增的有上界的无限数列,即存在冈区间[“上]使W则(x„}u[a,b]o若{心}收敛干歹,则必有§
G[atb]o
假设\/xe[a,b]部不是{xn}的极限,则盹>
0使得V*>
0,3n.>
0ffi九一兀》勺),即%"
+勺)或者乙宀一勺)。
Cased)若3^,3s>
x+sQii”(俎勺)至多只含有{心}有限名顶。
Case
(2)若vkj<
兀一勺,则u(x,%)也只能含有{心}的有限名加,因为
Pm>
nk,由nm>
m知x%>
电U(xt£
0)o
综上可知〃g)只含有g的有限项。
因此,可得["
“]的一个开股盖(3.2)记为H。
由Heine-Borel有限履盖定理可知存在H的一个有限子覆盖(3.3)记ftH.o因为比中每一个Ug,%)中只含有口”}的有限多个数,所以归上]也只含有{石}的有限多个数,这与U»
}u[M]是无限数列矛猶。
故必存在代[恥]是{£
}的极限。
(21)定理4=>
定理3(Heine-Borel有限覆盖定理^>
Cantor区同套定理)
证(艮込法)假设金题不成立,则Vxe[a,b]:
=[t/,,/?
J,3/7(x,J)使得至少有一f[cim,bm]与U(x,5)不相交,期么Vn>
rn有i/(x,5)c[a”,b”]=0。
U而得[a,b]的一个开股盖(3.2)记为H。
由Heine-Borel有限股盖定理可知存在H的一个有限子股盖(3.3)记为H],所以当n>
N:
=max{m[t"
9mk]时,(uHjc[a”,仇]=0。
魁显然与(uHJ二[d,b]n["
n,b”]不暗。
故假设錯锲,原命题成立。
(22)定理4二>
定理5(Heine-Borel有限覆盖定理二>
Weierstrass聚点原理)
证(反证法)假设原金題不成立,则由于S是直线上的有界无限虑集,即存在冈区间["
],使得Su[a,b],所以只含S中的有限多项。
U而得[a9b]的一个开股盖(3.2)记为H。
由Heine-Borel有限覆盖定理可知存在H的一个有限子黴盖(3.3)记为H2所以只含有S中的有限多f点,这显然与(5i”S是矛盾的,故可知假设錯溟,原命题成立。
(23)定94=>
定理6(Heine-Borel有限覆盖定理=>
Bolzano致密性定理)
证(反込法)设"
”}是有界无限数列,W3a,beR使得{£
}u[d,b],假设{心}中任一子列{£
」(为方便起见,用{心}表示该子列。
由(10)的证明可不妍设{©
}是单调递增子列)部不收敛,则\fxe[a,b]都不是{%}的极限,即Vxe>
0,VN>
0,3/7^>
N使得卜,、一尤卜匂。
则容易il明〃(兀q)含有{心}的有限多项。
这是因为xnN电〃(兀£
),Pm>
程],有x„}<
xm<
xnmoCase
(1)若兀属于{£
}的上界=>
x“t<
Xg<
x-sQ^xm^U(x,勺);
Case⑵若x不憾于{ah}的上界=>
x,„-x>
xn(-x>
s0=>
xWI^(/(x,50)o
从而得[“"
]的一个开股盖(3.2)记为H。
由Heine-Borel有限覆盖定理可知存在H的一个有限子覆盖(3.3)ifi为比。
所UoH,只含有{%„}巾的有限多个自,这显然与(申)二{£
}为无穷数列矛盾。
故有界无穷数列必含有收敛子列。
(24)定理4二>
定理"
Heine-Borel有限覆盖定理nCauchy柯西收敛准则)
if(反证法)假设柯西列{£
}不收敛,易证{£
}为有界无穷数肌即存在fflEffl[a9b]ft得K)u[讪o则Vxe[a,b],mg,S)QU(x,6使得t/(x,J)中只含有{%}中的有限多8((否則,若Vd>
0Q(”)部有{£
}中的无限多项,则易证{£
}收敛,这与假设fDoH而得[恥]的一个开覆盖(3.2)记为H。
由Heine-Borel有限覆盖定理可知存在H的一个有限子股盖(3.3)记为H2所只含有{£
}中的有限多个点,这显然与(申)二[讪二{£
}是示盾的,假投錯罠H1K{占}必收敛。
(25)定理5二>
定理1(Weierstrass聚虑原理二>
駕界原理)
il设S是一f有上界数集,则mbe/?
使胃VxwS有xvb,取oeS梅造区间[“,切。
区间巾至少有一彳、数厲于5I1E间的右常直为S的一个上界。
仿(9)的证明,利用二等分法容易枸造岀满足性质P的区间套{[勺如}且满足(3.1)o
显然9”}uS,b]且单调递减有下界。
aifjil明*事实上,不妨设{乞}有无穷个数,由Weierstrass聚点原理知他,}有聚壮。
因此▽£
0,mN>
0,使得如毎(/(§
£
)且如由于0}单调递减,则易证\/n>
N有b”eg,£
)。
由
于b”部为S的上界,所以纟也为S的上界。
由(3.1)易故%>
0,mN\>
ONn>
N\有ano从而可知,W>
N+NQx已Sq
仇]UU(§
即^-£
X<
^,故g为S的上确界。
(26)定理5二>
定理2(Weierstrass聚点原理二>
证不妍设U,}是单调有上界无穷数列,即3a,beR,使得UJuS,b]。
故由Weierstrass聚点原理可知为(x„}的聚点,即Vz>
0Q(§
)含有(x„}中的无限多顶。
由单调11易得知u(“外最多有{X„}中的有限顶,因此我『1込明T忑-TS)。
(27)定理5二>
定理3(Weierstrass聚点原理nContor区同套定理)
ff因为[务如*M+J,所以心为一单调递增有界数列。
故仿上題证明,Weierstrass聚点原理可知羽已§
为{an}的聚点且心t奚5t“)。
Q由(3.1),{饥}单调递减易证b”Tg,(n->
s)。
故有q?
^<
bnQ
(28)定理5二>
定理4(Weierstrass聚点原理二>
Heine-Borel有限覆盖定理)
证(反证法)假设冈区间S,b]有一个开覆盖H不能用它的任有限个开区间18盖。
定义性"
不能用H中有限个开区同願盖。
仿(9)的证明,利用二等分法容易构造出满足性质P的区间套{[aM)o故由Weierstrass聚点原理可知mgwR,症为口}*}的一个聚虑由Cantor区间套定理可10,存在唯一的,U而mi/(g,£
)uUwH,3N>
0,3H>
/V,有
[a„,bn]U1/(佔Ut/GH,这与Bn,b
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- 实数 基本 定理 相互 证明