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故所求直线方程为x+y-3=0或x+2y-4=0.
x+y-3=0或x+2y-4=0
8.(2014湘潭质检)若过点A(-2,m),B(m,4)的直线与直线2x+y+2=0平行,则m的值为________.
∵过点A,B的直线平行于直线2x+y+2=0,
∴kAB==-2,解得m=-8.
-8
9.若过点P(1-a,1+a)与Q(3,)的直线的倾斜角为钝角,则实数a的取值范围是________.
由直线PQ的倾斜角为钝角,可知其斜率k<
0,
即<
0,化简得<
0,∴-2<
a<
1.
(-2,1)
10.已知k∈R,则直线kx+(1-k)y+3=0经过的定点坐标是________.
令k=0,得y+3=0,令k=1,得x+3=0.
解方程组得
所以定点坐标为(-3,-3).
(-3,-3)
三、解答题
11.已知两直线l1:
x+ysinα-1=0和l2:
2xsinα+y+1=0,试求α的值,使
(1)l1∥l2;
(2)l1⊥l2.
解:
(1)法一 当sinα=0时,直线l1的斜率不存在,
l2的斜率为0,显然l1不平行于l2.
当sinα≠0时,k1=-,k2=-2sinα.
要使l1∥l2,需-=-2sinα,
即sinα=±
,∴α=kπ±
,k∈Z.
故当α=kπ±
,k∈Z时,l1∥l2.
法二 由l1∥l2,得∴sinα=±
,
∴α=kπ±
(2)∵l1⊥l2,∴2sinα+sinα=0,即sinα=0.
∴α=kπ,k∈Z.
故当α=kπ,k∈Z时,
l1⊥l2.
12.设直线l1:
y=k1x+1,l2:
y=k2x-1,其中实数k1,k2满足k1k2+2=0.
(1)证明l1与l2相交;
(2)证明l1与l2的交点在椭圆2x2+y2=1上.
证明:
(1)假设l1与l2不相交,则l1∥l2即k1=k2,代入k1k2+2=0,得k+2=0,这与k1为实数的事实相矛盾,从而k1≠k2,即l1与l2相交.
(2)法一 由方程组解得交点P的坐标为,
而2x2+y2=22+2
=
=1.
即P(x,y)在椭圆2x2+y2=1上.
即l1与l2的交点在椭圆2x2+y2=1上.
法二 交点P的坐标(x,y)满足故知x≠0.
从而
代入k1k2+2=0,得·
+2=0,
整理后,得2x2+y2=1.
所以交点P在椭圆2x2+y2=1上.
第八篇 第2节
1.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为( )
A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1
C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.x2+(y-3)2=1
由题意,设圆心(0,t),
则=1,得t=2,
所以圆的方程为x2+(y-2)2=1,故选A.
2.(2014郑州模拟)动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍,则动点P的轨迹方程为( )
A.x2+y2=32 B.x2+y2=16
C.(x-1)2+y2=16 D.x2+(y-1)2=16
设P(x,y),
则由题意可得2=,
化简整理得x2+y2=16,故选B.
3.(2012年高考陕西卷)已知圆C:
x2+y2-4x=0,l是过点P(3,0)的直线,则( )
A.l与C相交B.l与C相切
C.l与C相离D.以上三个选项均有可能
x2+y2-4x=0是以(2,0)为圆心,以2为半径的圆,而点P(3,0)到圆心的距离为d==1<
2,
点P(3,0)恒在圆内,过点P(3,0)不管怎么样画直线,都与圆相交.故选A.
4.(2012年高考辽宁卷)将圆x2+y2-2x-4y+1=0平分的直线是( )
A.x+y-1=0 B.x+y+3=0
C.x-y+1=0 D.x-y+3=0
由题知圆心在直线上,因为圆心是(1,2),
所以将圆心坐标代入各选项验证知选项C符合,故选C.
5.(2013年高考广东卷)垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是( )
A.x+y-=0 B.x+y+1=0
C.x+y-1=0 D.x+y+=0
与直线y=x+1垂直的直线方程可设为x+y+b=0,由x+y+b=0与圆x2+y2=1相切,可得=1,故b=±
.因为直线与圆相切于第一象限,故结合图形分析知b=-,则直线方程为x+y-=0.故选A.
6.(2012年高考福建卷)直线x+y-2=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点,则弦AB的长度等于( )
A.2 B.2
C. D.1
因为圆心到直线x+y-2=0的距离d==1,半径r=2,
所以弦长|AB|=2=2.
故选B.
7.(2013年高考浙江卷)直线y=2x+3被圆x2+y2-6x-8y=0所截得的弦长等于________.
圆的方程可化为(x-3)2+(y-4)2=25,
故圆心为(3,4),半径r=5.
又直线方程为2x-y+3=0,
∴圆心到直线的距离为d==,
∴弦长为2×
=2=4.
4
8.已知直线l:
x-y+4=0与圆C:
(x-1)2+(y-1)2=2,则圆C上各点到l的距离的最小值为________.
因为圆C的圆心(1,1)到直线l的距离为
d==2,
又圆半径r=.
所以圆C上各点到直线l的距离的最小值为d-r=.
9.已知圆C的圆心在直线3x-y=0上,半径为1且与直线4x-3y=0相切,则圆C的标准方程是________.
∵圆C的圆心在直线3x-y=0上,
∴设圆心C(m,).
又圆C的半径为1,且与4x-3y=0相切,
∴=1,
∴m=±
1,
∴圆C的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=1或(x+1)2+(y+3)2=1.
(x-1)2+(y-3)2=1或(x+1)2+(y+3)2=1
10.圆(x-2)2+(y-3)2=1关于直线l:
x+y-3=0对称的圆的方程为________.
已知圆的圆心为(2,3),半径为1.
则对称圆的圆心与(2,3)关于直线l对称,由数形结合得,对称圆的圆心为(0,1),半径为1,故方程为x2+(y-1)2=1.
x2+(y-1)2=1
11.已知圆C:
x2+(y-2)2=5,直线l:
mx-y+1=0.
(1)求证:
对m∈R,直线l与圆C总有两个不同交点;
(2)若圆C与直线相交于点A和点B,求弦AB的中点M的轨迹方程.
(1)证明:
法一 直线方程与圆的方程联立,消去y得(m2+1)x2-2mx-4=0,
∵Δ=+16(m2+1)=+16>
∴对m∈R,直线l与圆C总有两个不同交点.
法二 直线l:
mx-y+1恒过定点(0,1),且点(0,1)在圆C:
x2+(y-2)2=5内部,
(2)解:
设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y),
由方程(m2+1)x2-2mx-4=0,
得x1+x2=,
∴x=.
当x=0时m=0,点M(0,1),
当x≠0时,由mx-y+1=0,得m=,
代入x=,得x=,
化简得x2+2=.
经验证(0,1)也符合,
∴弦AB的中点M的轨迹方程为x2+2=.
12.已知圆C:
x2+y2-8y+12=0,直线l:
ax+y+=0.
(1)当a为何值时,直线l与圆C相切;
(2)当直线l与圆C相交于A、B两点,且|AB|=2时,求直线l的方程.
将圆C的方程x2+y2-8y+12=0配方得标准方程为x2+(y-4)2=4,则此圆的圆心为(0,4),半径为2.
(1)若直线l与圆C相切,
则有=2.解得a=-.
(2)过圆心C作CD⊥AB,则根据题意和圆的性质,
得解得a=-7,或a=-1.
故所求直线方程为7x-y+14=0或x-y+2=0.
第八篇 第3节
1.设P是椭圆+=1上的点.若F1、F2是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于( )
A.4 B.5
C.8 D.10
由方程知a=5,根据椭圆定义,|PF1|+|PF2|==10.故选D.
2.(2014唐山二模)P为椭圆+=1上一点,F1,F2为该椭圆的两个焦点,若∠F1PF2=60°
,则·
等于( )
A.3 B.
C.2 D.2
由椭圆方程知a=2,b=,c=1,
∴
∴|PF1||PF2|=4.
∴·
=||||cos60°
=4×
=2.
3.(2012年高考江西卷)椭圆+=1(a>
b>
0)的左、右顶点分别是A、B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为( )
C. D.-2
本题考查椭圆的性质与等比数列的综合运用.
由椭圆的性质可知|AF1|=a-c,|F2|=,
|F1B|=a+c,
又|AF1|,|F2|,|F1B|成等比数列,
故(a-c)(a+c)=()2,
可得e==.故应选B.
4.(2013年高考辽宁卷)已知椭圆C:
+=1(a>
0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=,则C的离心率为( )
|AF|2=|AB|2+|BF|2-2|AB||BF|cos∠ABF=100+64-2×
10×
8×
=36,
则|AF|=6,∠AFB=90°
半焦距c=|FO|=|AB|
=5,
设椭圆右焦点F2,
连结AF2,
由对称性知|AF2|=|FB|=8,
=|AF2|+|AF|=6+8=14,
即a=7,
则e==.
5.已知椭圆E:
+=1,对于任意实数k,下列直线被椭圆E截得的弦长与l:
y=kx+1被椭圆E截得的弦长不可能相等的是( )
A.kx+y+k=0 B.kx-y-1=0
C.kx+y-k=0 D.kx+y-2=0
取k=1时,l:
y=x+1.
选项A中直线:
y=-x-1与l关于x轴对称,截得弦长相等.
选项B中直线:
y=x-1与l关于原点对称,所截弦长相等.
选项C中直线:
y=-x+1与l关于y轴对称,截得弦长相等.
排除选项A、B、C,故选D.
6.(2014山东省实验中学第二次诊断)已知椭圆+=1(a>
0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆上存在点P,使=,则该椭圆的离心率的取值范围为( )
A.(0,-1) B.
C. D.(-1,1)
由题意知点P不在x轴上,
在△PF2中,由正弦定理得
=,
所以由=
可得=,
即==e,
所以|PF1|=e|PF2|.
由椭圆定义可知|PF1|+|PF2|=,
所以e|PF2|+|PF2|=,
解得|PF2|=.
由于a-c<
|PF2|<
a+c,
所以有a-c<
<
即1-e<
1+e,
也就是
解得-1<
e.
又0<
e<
∴-1<
1.故选D.
7.设F1、F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,P为椭圆上一点,M是F1P的中点,|OM|=3,则P点到椭圆左焦点距离为________.
∵|OM|=3,∴|PF2|=6,
又|PF1|+|PF2|=10,
∴|PF1|=4.
8.椭圆+=1(a>
0)的左、右焦点分别是F1、F2,过F2作倾斜角为120°
的直线与椭圆的一个交点为M,若MF1垂直于x轴,则椭圆的离心率为________.
不妨设|F2|=1,
∵直线MF2的倾斜角为120°
∴∠MF1=60°
.
∴|MF2|=2,|MF1|=,=|MF1|+|MF2|=2+,
=|F2|=1.
∴e==2-.
2-
9.(2014西安模拟)过点(,-),且与椭圆+=1有相同焦点的椭圆的标准方程为________________.
由题意可设椭圆方程为+=1(m<
9),
代入点(,-),
得+=1,
解得m=5或m=21(舍去),
∴椭圆的标准方程为+=1.
+=1
10.已知F1,F2是椭圆C:
0)的两个焦点,P为椭圆C上的一点,且⊥.若△PF2的面积为9,则b=________.
由题意得
∴(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|=2,
即2-2|PF1||PF2|=2,
∴|PF1||PF2|=2b2,
∴S△PF2=|PF1||PF2|=b2=9,
∴b=3.
3
11.(2012年高考广东卷)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:
0)的左焦点为F1(-1,0),且点P(0,1)在C1上.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:
y2=4x相切,求直线l的方程.
(1)由椭圆C1的左焦点为F1(-1,0),且点P(0,1)在C1上,可得
故椭圆C1的方程为+y2=1.
(2)由题意分析,直线l斜率存在且不为0,
设其方程为y=kx+b,
由直线l与抛物线C2相切得
消y得k2x2+(2bk-4)x+b2=0,
Δ1=(2bk-4)2-4k2b2=0,化简得kb=1.①
由直线l与椭圆C1相切得
消y得(2k2+1)x2+4bkx+2b2-2=0,
Δ2=(4bk)2-4(2k2+1)(2b2-2)=0,
化简得2k2=b2-1.②
①②联立得
解得b4-b2-2=0,
∴b2=2或b2=-1(舍去),
∴b=时,k=,b=-时,k=-.
即直线l的方程为y=x+或y=-x-.
12.(2014海淀三模)已知椭圆C:
0)的四个顶点恰好是一边长为2,一内角为60°
的菱形的四个顶点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线y=kx交椭圆C于A,B两点,在直线l:
x+y-3=0上存在点P,使得△PAB为等边三角形,求k的值.
(1)因为椭圆C:
所以a=,b=1,
椭圆C的方程为+y2=1.
(2)设A(x1,y1),则B(-x1,-y1),
当直线AB的斜率为0时,AB的垂直平分线就是y轴,
y轴与直线l:
x+y-3=0的交点为P(0,3),
又因为|AB|=2,|PO|=3,
所以∠PAO=60°
所以△PAB是等边三角形,
所以直线AB的方程为y=0,
当直线AB的斜率存在且不为0时,
则直线AB的方程为y=kx,
所以
化简得(3k2+1)x2=3,
所以|x1|=,
则|AO|==.
设AB的垂直平分线为y=-x,
它与直线l:
x+y-3=0的交点记为P(x0,y0),
解得
则|PO|=,
因为△PAB为等边三角形,
所以应有|PO|=|AO|,
代入得=,
解得k=0(舍去),k=-1.
综上,k=0或k=-1.
第八篇 第4节
1.设P是双曲线-=1上一点,F1,F2分别是双曲线左右两个焦点,若|PF1|=9,则|PF2|等于( )
A.1 B.17
C.1或17 D.以上答案均不对
由双曲线定义||PF1|-|PF2||=8,
又|PF1|=9,
∴|PF2|=1或17,但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c-a=6-4=2>
∴|PF2|=17.
2.(2013年高考湖北卷)已知0<
θ<
,则双曲线C1:
-=1与C2:
-=1的( )
A.实轴长相等 B.虚轴长相等
C.离心率相等 D.焦距相等
双曲线C1的半焦距c1==1,双曲线C2的半焦距c2==1,故选D.
3.(2012年高考湖南卷)已知双曲线C:
-=1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C的方程为( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
由焦距为10,知=10,c=5.
将P(2,1)代入y=x得a=2b.
a2+b2=c2,5b2=25,b2=5,a2=4b2=20,
所以方程为-=1.故选A.
4.已知F1、F2为双曲线C:
x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2等于( )
∵c2=2+2=4,
∴c=2,=|F2|=4,
由题可知|PF1|-|PF2|==2,
|PF1|=2|PF2|,
∴|PF2|=2,|PF1|=4,
由余弦定理可知cos∠F1PF2==.故选C.
5.设椭圆C1的离心率为,焦点在x轴上且长轴长为26,若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为( )
在椭圆C1中,因为e=,=26,
即a=13,所以椭圆的焦距=10,
则椭圆两焦点为(-5,0),(5,0),
根据题意,可知曲线C2为双曲线,
根据双曲线的定义可知,
双曲线C2中的2=8,
焦距与椭圆的焦距相同,
即2=10,
可知b2=3,
所以双曲线的标准方程为-=1.故选A.
6.(2014福州八中模拟)若双曲线-=1渐近线上的一个动点P总在平面区域(x-m)2+y2≥16内,则实数m的取值范围是( )
A.[-3,3] B.(-∞,-3]∪[3,+∞)
C.[-5,5] D.(-∞,-5]∪[5,+∞)
因为双曲线-=1渐近线4x±
3y=0上的一个动点P总在平面区域(x-m)2+y2≥16内,即直线与圆相离或相切,所以d=≥4,解得m≥5或m≤-5,故实数m的取值范围是(-∞,-5]∪[5,+∞).选D.
7.(2013年高考辽宁卷)已知F为双曲线C:
-=1的左焦点,P,Q为C上的点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(5,0)在线段PQ上,则△PQF的周长为________.
由题知,双曲线中a=3,b=4,c=5,
则|PQ|=16,
又因为|PF|-|PA|=6,
|QF|-|QA|=6,
所以|PF|+|QF|-|PQ|=12,
|PF|+|QF|=28,
则△PQF的周长为44.
44
8.已知双曲线C:
-=1(a>
0,b>
0)的离心率e=2,且它的一个顶点到较近焦点的距离为1,则双曲线C的方程为________.
双曲线中,顶点与较近焦点距离为c-a=1,
又e==2,两式联立得a=1,c=2,
∴b2=c2-a2=4-1=3,∴方程为x2-=1.
x2-=1
9.(2014合肥市第三次质检)已知点P是双曲线-=1(a>
0)和圆x2+y2=a2+b2的一个交点,F1,F2是该双曲线的两个焦点,∠PF1=2∠PF2,则该双曲线的离心率为________.
依题意得,线段F2是圆x2+y2=a2+b2的一条直径,
故∠F1PF2=90°
,∠PF2=30°
设|PF2|=m,
则有|F2|=,|PF1|=m,
该双曲线的离心率等于
==+1.
+1
10.(2013年高考湖南卷)设F1,F2是双曲线C:
0)的两个焦点.若在C上存在一点P,使PF1⊥PF2,且∠PF2=30°
,则C的离心率为________.
设点P在双曲线右支上,
由题意,在Rt△F1PF2中,
|F2|=,∠PF2=30°
得|PF2|=c,|PF1|=c,
根据双曲线的定义:
|PF1|-|PF2|=,(-1)c=,
e===+1.
11.已知双曲线x2-=1,过点P(1,1)能否作一条直线l,与双曲线交于A、B两点,且点P是线段AB的中点?
法一 设点A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上,
且线段AB的中点为(x0,y0),
若直线l的斜率不存在,显然不符合题意.
设经过点P的直线l的方程为y-1=k(x-1),
即y=kx+1-k.
由
得(2-k2)x2-2k(1-k)x-(1-k)2-2
=0(2-k2≠0).①
∴x0==.
由题意,得=1,
解得k=2.
当k=2时,方程①成为2x2-4x+3=0.
Δ=16-24=-8<
0,方程①没有实数解.
∴不能作一条直线l与双曲线交于A,B两点,且点P(1,1)是线段AB的中点.
法二 设A(x1,y1),B(x2,y2),
若直线l的斜率不存在,
即x1=x2不符合题意,
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