导数复习知识点总结Word格式文档下载.docx
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⑧
x
③(sinx)cosx.④(cosx)
⑤(ex)ex;
⑥(ax)axlna;
4•两个函数的和、差、积的求导法则法则1:
两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),
即:
(UV)'
u'
V.
法则2:
两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数,即:
(uv)'
uvuv'
.
IIIII
若C为常数,则(Cu)CuCu0CuCu.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数:
(Cu)'
Cu'
法则3:
两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母
Uu'
vuv'
2
的平方:
v'
二V(V0)。
形如y=f(X)的函数称为复合函数。
复合函数求导步骤:
分解一一求导一一回代。
法则:
y/Ix=y
|U•u/|X
2010高考数学复习详细资料一一导数应用
知识清单
单调区间:
一般地,设函数yf(x)在某个区间可导,
如果f'
(x)0,则f(x)为增函数;
如果f(X)0,则f(x)为减函数;
如果在某区间恒有f(X)0,则f(x)为常数;
2•极点与极值:
曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0;
曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;
曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正;
3.最值:
一般地,在区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值。
1求函数?
(x)在(a,b)的极值;
2求函数?
(x)在区间端点的值?
(a)、?
(b);
3将函数?
°
)的各极值与?
(b)比较,其中最大的是最大值,其中最小的是最小值。
4.定积分
(1)概念:
设函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点a=x0<
x1<
…<
xi—1<
xi<
…txn把!
区间[a,b]
n
f
等分成n个小区间,在每个小区间[xi—1,xi]上取任一点Ei=1,2,…n)作和式In=i=1(Ei)△其中Ax为小区间长度),把门-^即厶x一时,和式In的极限叫做函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,
记作:
bblimf
af(X)dX即af(X)dXn/E•、△
a,即a=i1(Ei)△x。
这里,a与b分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式。
基本的积分公式:
0dx=C;
1m1
xdx=m1x+C(m€Q,m^—1);
lnx+C;
exdxx
x=e+C;
C0Sxdx=sinx+C;
sinxdx=_cosx+C(表中C均为常数)。
(2)定积分的性质
圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。
对于半径为
R的球,若将R看作(0,
bb
kf(x)dxkf(x)dx
aa(k为常数);
bbb
af(x)g(x)dxaf(x)dxag(x)dx
aaa
b
边梯的面积Saf(X)dx。
课前预习
1•求下列函数导数
yrf^
af,x)dxaf2(x)dx
aa
o
+^)上的变量,请你写出类似于
1的式子:
;
2式可以用语言叙述为:
。
y_2
5.曲线x和yX在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是
6•对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x—1)f(x)0,则必有(
A.f(0)+f
(2)2f
(1)B.f(0)+f
(2)2f
(1)
C.f(0)+f
(2)2f
(1)D.f(0)+f
(2)2f
(1)
7.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f(x)在(a,b)的图象如图所示,贝q函数f(x)在开区间(a,b)
有极小值点()
A.
1个
B.2个
C.3个
D.4个
8.
fx
已知函数
1xax
e
1x。
(I)设a0,讨论y
fx的单调性;
(n)若对任意x0,1恒有fx1
求
a的取值围。
9.
32
f(x)x3x2在区间
1,1上的最大值是(
(A)—2
(B)0
(C)2
(D)4
10
.设函数f(x)=
=2x33(a
1)x21,其中a1.
(I)求f(x)的单调区间;
(n)讨论f(x)的极值。
3
11.设函数f(x)x3x2分别在X1、x2处取得极小值、极大值.xoy平面上点A、B的坐标分别为
uuuuiur
(心心))、(X2,f(X2)),该平面上动点P满足PA?
PB4,点Q是点P关于直线y2(x4)的对称点.求
(I)求点A、B的坐标;
(II)求动点Q的轨迹方程.
12.请您设计一个帐篷。
它下部的形状是高为1m的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥
(如右图所示)。
试问当帐篷的顶点0到底面中心O1的距离为多少时,帐篷的体积最大?
13.计算下列定积分的值
(1)
1(4x
x2)dx
5
(2)
1(x
1)dx.
(3)
2(x
sinx)dx
2cos2xdx
(4)2;
14.
(1)一物体按规律x=bt3作直线运动,式中x为时间t通过的距离,媒质的阻力正比于速度的平方.试求物体由x=0运动到x=a时,阻力所作的功。
(2)抛物线y=ax2+bx在第一象限与直线x+y=4相切.此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S.求使S达到最大值的a、b值,并求Smax.
典型例题
一导数的概念与运算
EG:
如果质点A按规律s=2t3运动,则在t=3s时的瞬时速度为()
A.6m/sB.18m/sC.54m/sD.81m/s
变式:
定义在D上的函数f(x),如果满足:
xD,常数MO,
都有|f(x)|<
m成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数的上界.
M=1为上界的有界函数,数a的取值围.
以M=1为上界的有界函数,数a的取值围.
f(x)
则lim-
f(2
x)f
(2)
已知
xx0
的值是()
A.4
B
.2
C.4
D.—2
设f3
4,则lim
f3
hf3
为
变式1:
h0
2h
()
A.—1
B.—2
C.
—3D.1
A2fx°
bfx°
C3fx°
d4fx°
变式2:
设^在x°
可导,则讥5*J。
"
等于()
A.(—3,0)U(3,+x)
B.(—3,0)U(0,3)
求所给函数的导数:
则不等式f(x)g(x)V0的解集是
D.(—x,-3)U(0,3)
C.(—x,-3)U(3,+x)
已知函数yxlnx.(i)求这个函数的导数;
(2)求这个函数在点x1处的切线的方程.
变式1:
已知函数ye
(1)求这个函数在点xe处的切线的方程;
(2)过原点作曲线y二ex的切线,求切线的方程.
变式2:
函数y=ax2+1的图象与直线y=x相切,则a=()
111
A.8B.4C.2D.1
判断下列函数的单调性,并求出单调区间:
(1)f(x)x33x;
(2)f(x)x22x3;
⑶f(x)sinxx,x(0,);
⑷f(x)2x33x224x1.
函数f(x)XeX的一个单调递增区间是
A.1,0B.2,8C.1,2D.0,2
y-x3x2ax5
已知函数3
(1)若函数的单调递减区间是(-3,1),则a的是
⑵若函数在[1,)上是单调增函数,则a的取值围是
变式3:
设t0,点P(t,0)是函数f(x)x3»
与g(x)bx2c的图象的一个公共点,两函数的
图象在点P处有相同的切线•
(I)用t表示a,b,c;
(n)若函数y
f(x)g(x)在(—1,3)上单调递减,求t的取值围.
求函数f(x)
^x34x4
3的极值.
求函数
f(x)
〔x34x403
3在,3上的最大值与最小值
函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f(x)在佝b)的图象如图所示,贝U函数f(x)在开区
间(a,b)有极小值点()
A.
已知函数f(x)axbxcx在点xo处取得极大值5,其导函数yf'
(x)的图象经过点(1,0),
(2,0),如图所示•求:
(I)X。
的值;
(n)a,b,c的值.
4
3—
若函数f(x)axbx4,当x2时,函数f(x)极值3,
(1)求函数的解析式;
(2)若函数f(x)k有3个解,数k的取值围.
3x
12
—x
2x
c
变式4:
,对x〔—1,2〕,不等式f(x)c2恒成立,求
c的取
值韦。
利用函数的单调性,
证明:
lnx
ex,x0
11
1x
x1
(理科)设函数f(x)=(1+x)2—In(1+x)2.若关于x的方程f(x)=x2+x+a在[0,2]上恰好有两个相异的实根,数a的取值围.
函数f(x)x3xxR,若fmxf1mx°
恒成立擞m的取值围
3fmsinf1m00—
设函数f(x)x3xxR,若2恒成立,数m的取值围.
22
如图,曲线段OMB是函数f(x)x(0x6)的图象,BAx轴于点a,曲线段OMB上一点M(t,t)
处的切线PQ交x轴于点P,交线段AB于点Q,
(1)若t已知,求切线PQ的方程⑵求QAP的面积的最大值
用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小形,然后把四边翻折900角,再焊接而成,问该容器的高为多少时,容器的容积最大?
最大的容积是多少?
c(x)1200—x3
变式4:
某厂生产某种产品x件的总成本75(万元),已知产品单价的平方与产品件数x成反比,生产100件这样的产品单价为50万元,产量定为多少时总利润最大?
计算下列定积分:
(理科定积分、微积分)
⑴卞;
(2):
(2x于)dx;
(3)0sinxdx;
(4)sinxdx;
(5)°
sinxdx
计算:
;
2cos2x,dx
(1)0cosxsinx;
(2)
求将抛物线yx和直线x1围成的图形绕X轴旋转一周得到的几何体的体积.
2八
在曲线yxx0上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围的面积为12,试求:
切点A的坐标;
(2)在切点A的切线方程.
实战训练
1.设函数f(x)在定义域可导,y=f(x)的图象如右图所示,贝U导函数y=f(x)的图象可能为()
2.已知曲线S:
y=3x-x3及点P(2,
2),则过点P可向S引切线的条数为(
3.C设S上的切点(x0,y0)求导数得斜率,过点P可求得:
(x。
1)(x02)
4.函数yxcosxsinx在下面哪个区间是增函数(
(B)(,2)
35
(0("
(D)(2,3)
5.y=2x3-3x2+a的极大值为6,那么a等于()
(A)1,-1
(B)3,-17
(C)1,-17
(D)9,-19
7•设11为曲线y1=sinx在点(0,0)处的切线,12为曲线y2=cosx在点(2,0)处的切线,则11与12的夹角
为.
8.设函数f(x)=x3+ax2+bx—1,若当x=1时,有极值为1,则函数g(x)=x3+ax2+bx的单调递减区间
y—x2
9.(07)已知函数yf(x)的图象在点M(1,f
(1))处的切线方程是2,则f
(1)f
(1)
10.(07)函数f(x)12xx在区间[3,3]上的最小值是
11.(07)曲线yx2x4x在点(1,3)处的切线方程是9..已知函数
f(x)xaxb(a,bR)
(I)若函数f(x)图像上任意一点处的切线的斜率小于1,求证:
a3;
(U)若x0,1,函数yf(x)图像上任意一点处的切线的斜率为k,试讨论k<
1的充要条件。
(I)求](t)的表达式;
(n
)诗询在区间(-1,1)的单调性并求极值•
xx
12.
1,将f(x)的最小值记为g(t).
(07)设函数f(x)=-cos2x-4tsin°
cos2+4t2+t2-3t+4,x€R,其中<
实战训练B
时()
0,
g(x)0
B.
f(x)0,g(x)0
f(x)0,g(x)0
2.
(07)
曲线
ye在点(4,
e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(
92
A.2
4e2
C.2e
D.e
3.(07)
在点(2,
2e2
2~
C.eD.2
4.(07)
已知二次函数f(x)
axbxc的导数为f'
(x),f'
(0)
0,对于任意实数x都有f(x)0,则
f
(1)
5.(07)5.若
f(0)的最小值为
sinxA.
-xsinx
nB.
42
sinx—x
D.n
6.(07)若
2,贝U下列命题正确的是(
sinx—x
A.n
B.n
C.n
(x)与g(x)仅当x0时的函数值为0,且
7.(07)已知f(x)与g(x)是定义在R上的连续函数,如果
f(x)>
g(x),那么下列情形不可能出现的是()
A.0是f(x)的极大值,也是g(x)的极大值
B.0是f(x)的极小值,也是g(x)的极小值
C.0是f(x)的极大值,但不是g(x)的极值
d.0是f(x)的极小值,但不是g(x)的极值
(07全国一)
13
y3x
在点
1,4
3处的切线与坐标轴围成的三角形面积为(
c.3
10.(07)设f(X)是函数f(x)的导函数,将yf(x)和yf(X)的图象画在同一个直角坐标系中,不可
能正确的是()
12.(07)函数f(x)xlnx(x0)的单调递增区间是
13.(07)已知函数f(x)x12x8在区间[3,3]上的最大值与最小值分别为M,m,则Mm
22
14.(07)设函数f(x)tx22t2xt1(xR,t0).
(I)求f(X)的最小值h(t);
(n)若h(t)2tm对t(O,2)恒成立,数m的取值围.
15.(07)已知a是实数,函数f(x)2ax2x3a•如果函数yf(x)在区间[1,1]上有零点,求a的
取值围.
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