苏科版中考数学必考经典题学案-1.数与式问题Word格式文档下载.doc
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本题考查了实数的运算法则,属于基础题,解答本题的关键是熟练掌握二次根式的化简以及负整数指数幂.
【变式1-3】
(2019•盐城)计算:
|﹣2|+(sin36°
)0tan45°
【分析】首先对绝对值方、零次幂、二次根式、特殊角三角函数分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果,
【解析】原式=2+1﹣2+1=2.
【类型2】:
整式的化简求值
【例2】
(2019•南京)计算(x+y)(x2﹣xy+y2)
【分析】根据多项式乘以多项式的法则,可表示为(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn,计算即可.
【解析】
(x+y)(x2﹣xy+y2),
=x3﹣x2y+xy2+x2y﹣xy2+y3,
=x3+y3.
故答案为:
x3+y3.
本题主要考查多项式乘以多项式的法则.注意不要漏项,漏字母,有同类项的合并同类项.
【变式2-1】
(2019•建湖县二模)先化简,再求值:
(x﹣3)2+2(x﹣2)(x+7)﹣(x+2)(x﹣2),其中x2+2x﹣3=0.
【分析】原式利用完全平方公式,平方差公式,以及多项式乘以多项式法则计算,去括号合并得到最简结果,求出方程的解得到x的值,代入计算即可求出值.
【解析】原式=x2﹣6x+9+2x2+10x﹣28﹣x2+4=2x2+4x﹣15,
由x2+2x﹣3=0,得到x2+2x=3,
则原式=2(x2+2x)﹣15=6﹣15=﹣9.
【变式2-2】
(2019•宜兴市二模)
(1)计算:
(3﹣π)0﹣()﹣2﹣tan30°
(2)化简:
(2a﹣b)2﹣(a﹣b)(4a﹣b)
【分析】
(1)根据零指数幂,负整数指数幂,特殊角的三角函数值进行计算,再求出即可;
(2)先算乘法,再合并同类项即可.
(1)原式=1﹣4
=﹣3;
(2)原式=4a2﹣4ab+b2﹣4a2+ab+4ab﹣b2
=ab.
【变式2-3】
(2019•江都区一模)
(1)计算:
2cos45°
+|1|(﹣2019)0
(2+a)(2﹣a)+a(a﹣1)
(1)先算三角函数值,去绝对值,根式化简和零指数,然后分数约分和去括号,最后合并同类二次根式.
(2)是整式加减乘除混合运算,平方差公式,再单项式×
多项式,最后合并同类项.
(1)原式═2
(1)﹣21
═1﹣21
═0
(2)原式═22﹣a2+a2﹣a
═4﹣a
第
(1)题考查了学生对实数运算的基本运算能力是否具有方向性,同时求三角函数值、零指数,无理数的估算,去绝对值、二次根式化简等放到实数运算中,让一部分学生计算中不知道怎样处理,这给课堂提出了更高的要求;
第
(2)考查了整式的运算,学生只要理解整式运算顺序,才会计算此题,同时平方差公式的运用既体现多项式×
多项式的法则通法通解,也体现了该公式特殊性.两个小题放在一起,既可以类比学习从熟悉的实数运算到式的运算,又为梯度式教学设计提供一个很好的教学素材模式.
【类型3】:
因式分解
【例3】
(2019•苏州)因式分解:
x2﹣xy= .
【分析】直接提取公因式x,进而分解因式即可.
【解析】x2﹣xy=x(x﹣y).
x(x﹣y).
此题主要考查了提取公因式法分解因式,正确找出公因式是解题关键.
【变式3-1】
(2019•南京)分解因式(a﹣b)2+4ab的结果是 .
【分析】直接利用多项式乘法去括号,进而合并同类项,再利用公式法分解因式得出答案.
(a﹣b)2+4ab
=a2﹣2ab+b2+4ab
=a2+2ab+b2
=(a+b)2.
(a+b)2.
【变式3-2】
(2019•无锡)分解因式4x2﹣y2的结果是( )
A.(4x+y)(4x﹣y) B.4(x+y)(x﹣y)
C.(2x+y)(2x﹣y) D.2(x+y)(x﹣y)
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案.
【解析】4x2﹣y2=(2x+y)(2x﹣y).
故选:
C.
【变式3-3】
(2019•广陵区校级二模)下列多项式因式分解的结果不含a﹣1的是( )
A.a2﹣1 B.a2﹣a C.a2﹣a﹣2 D.a4﹣1
【分析】各项分解得到结果,即可作出判断.
【解析】A、原式=(a+1)(a﹣1),不符合题意;
B、原式=a(a﹣1),不符合题意;
C、原式=(a﹣2)(a+1),符合题意;
D、原式=(a2+1)(a+1)(a﹣1),不符合题意,
此题考查了因式分解﹣十字相乘法,以及提公因式法,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
【类型4】:
分式的化简求值
【例4】
(2019•南通)先化简,再求值:
(m),其中m2.
【分析】先化简分式,然后将m的值代入计算.
【解析】原式
•
=m2+2m,
当m2时,
原式=m(m+2)
=
(2)(2+2)
=2﹣2
【变式4-1】
(2019•淮安)先化简,再求值:
(1),其中a=5.
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简,代入计算即可.
(1)
()
=a+2,
当a=5时,原式=5+2=7.
【变式4-2】
(2019•苏州)先化简,再求值:
(1),其中,x3.
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式,再将x的值代入计算可得.
【解析】原式()•,
当x3时,
原式.
【变式4-3】
(2019•盐城)
【生活观察】甲、乙两人买菜,甲习惯买一定质量的菜,乙习惯买一定金额的菜,两人每次买菜的单价相同,例如:
第一次
菜价3元/千克
质量
金额
甲
1千克
3元
乙
第二次:
菜价2元/千克
2 元
1.5 千克
(1)完成上表;
(2)计算甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价.(均价=总金额÷
总质量)
【数学思考】设甲每次买质量为m千克的菜,乙每次买金额为n元的菜,两次的单价分别是a元/千克、b元/千克,用含有m、n、a、b的式子,分别表示出甲、乙两次买菜的均价、,比较、的大小,并说明理由.
【知识迁移】某船在相距为s的甲、乙两码头间往返航行一次.在没有水流时,船的速度为v,所需时间为t1;
如果水流速度为p时(p<v),船顺水航行速度为(v+p),逆水航行速度为(v﹣p),所需时间为t2.请借鉴上面的研究经验,比较t1、t2的大小,并说明理由.
(1)金额=单价×
质量可求第二次甲的金额与乙的质量;
(2)利用均价=总金额÷
总质量可求甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价;
【数学思考】分别表示出、,然后求差,把分子配方,利用偶次方的非负性可得答案;
【知识迁移】分别表示出、,然后求差,判断分式的值总小于等于0,从而得结论.
(1)2×
1=2(元),3÷
2=1.5(元/千克)
故答案为2;
1.5.
(2)甲两次买菜的均价为:
(3+2)÷
2=2.5(元/千克)
乙两次买菜的均价为:
(3+3)÷
(1+1.5)=2.4(元/千克)
∴甲两次买菜的均价为2.5(元/千克),乙两次买菜的均价为2.4(元/千克).
【数学思考】,
∴═0
∴
【知识迁移】t1,t2
∴t1﹣t2═
∵0<p<v
∴t1﹣t2<0
∴t1<t2.
【类型5】:
代数计算的创新考法
【例5】
(2019•宿迁模拟)若2019个数a1、a2、a3、…、a2019满足下列条件:
a1=2,a2=﹣|a1+5|,a3=﹣|a2+5|,…,a2019=﹣|a2018+5|,则a1+a2+a3+…+a2019=( )
A.﹣5040 B.﹣5045 C.﹣5047 D.﹣5051
【分析】通过前面几个数的计算,根据数的变化可得出从第3个数开始,按﹣2,﹣3依次循环,按此规律即可得出a1+a2+a3+…+a2019的值.
【解析】依题意,得:
a1=2,
a2=﹣|2+5|=﹣7,
a3=﹣|﹣7+5|=﹣2,
a4=﹣|﹣2+5|=﹣3,
a5=﹣|﹣3+5|=﹣2,
a6=﹣|﹣2+5|=﹣3,
……
由上可知,这2019个数a1、a2、a3、…、a2019从第三个数开始按﹣2,﹣3依次循环,
故这2019个数中有1个2,1个﹣7,1009个﹣2,1008个﹣3,
∴a1+a2+a3+…+a2019=2﹣7﹣2×
1009﹣3×
1008=﹣5047,
【变式5-1】
(2019•徐州二模)如图所示,将形状、大小完全相同的“•”和线段按照一定规律摆成下列图形.第1幅图形中“•”的个数为a1,第2幅图形中“•”的个数为a2,第3幅图形中“•”的个数为a3,…,以此类推,则的值为 .
【分析】首先根据图形中“●”的个数得出数字变化规律,进而求出即可.
【解析】a1=3=1×
3,a2=8=2×
4,a3=15=3×
5,a4=24=4×
6,…,an=n(n+2);
(1)()
,
【变式5-2】.(2019•莘县一模)图
(1)是一个水平摆放的小正方体木块,图
(2)、(3)是由这样的小正方体木块叠放而成,按照这样的规律继续叠放下去,第六个叠放的图形中,小正方体木块总数应是 .
【分析】可用逐条分析的方法,从最高的那条开始计数.根据所给图形可知,从上到下逐层条是添加四个小正方体,通过计算得出结果.
【解析】根据题意可得知:
图
(1)中有1×
1=1个小正方体;
图
(2)中有1×
2+4×
1=6个小正方体;
图(3)中有1×
3+4×
1=15个小正方体;
以此类推第六个叠放的图形中,小正方体木块总数应是1×
6+4×
5+4×
4+4×
1=66个.
66.
此题考查了学生由特殊到一般的归纳能力.注意此题中第六个叠放的图形中,小正方体木块总数应是1×
【变式5-3】
(2019•临清市一模)在某多媒体电子杂志的某一期上刊登了“正方形雪花图案的形成”的演示案例:
作一个正方形,设每边长为4a,将每边四等分,作一凸一凹的两个边长为a的小正方形,得到图形如图
(2)所示,称为第一次变化,再对图
(2)的每个边做相同的变化,得到图形如图(3),称为第二次变化.如此连续作几次,便可得到一个绚丽多彩的雪花图案.如不断发展下去到第n次变化时,图形的面积是否会变化, (填写“会”或者“不会”),图形的周长为 .
【分析】观察图形,发现对正方形每进行1次分形,周长增加1倍;
每增加一个小正方形同时又减少一个相同的小正方形,即面积不变.
【解析】周长依次为16a,32a,64a,128a,…,2n+4a,即无限增加,
所以不断发展下去到第n次变化时,图形的周长为2n+4a;
图形进行分形时,每增加一个小正方形同时又减少一个相同的小正方形,即面积不变,是一个定值16a2.
不会、2n+4a.
【达标检测】
一.选择题(共10小题)
1.(2019•南通)下列计算,正确的是( )
A.a2•a3=a6 B.2a2﹣a=a C.a6÷
a2=a3 D.(a2)3=a6
【答案】D
【解析】∵a2•a3=a5,
∴选项A不符合题意;
∵2a2﹣a≠a,
∴选项B不符合题意;
∵a6÷
a2=a4,
∴选项C不符合题意;
∵(a2)3=a6,
∴选项D符合题意.
D.
2.(2019•常州)下列各数中与2的积是有理数的是( )
A.2 B.2 C. D.2
【解析】∵
(2)
(2)=4﹣3=1;
3.(2019•常州)若代数式有意义,则实数x的取值范围是( )
A.x=﹣1 B.x=3 C.x≠﹣1 D.x≠3
【解析】∵代数式有意义,
∴x﹣3≠0,
∴x≠3.
4.(2019•泰州)若2a﹣3b=﹣1,则代数式4a2﹣6ab+3b的值为( )
A.﹣1 B.1 C.2 D.3
【答案】B
【解析】4a2﹣6ab+3b,
=2a(2a﹣3b)+3b,
=﹣2a+3b,
=﹣(2a﹣3b),
=1,
B.
5.(2019•南京)实数a、b、c满足a>b且ac<bc,它们在数轴上的对应点的位置可以是( )
【答案】A
【解析】因为a>b且ac<bc,
所以c<0.
选项A符合a>b,c<0条件,故满足条件的对应点位置可以是A.
选项B不满足a>b,选项C、D不满足c<0,故满足条件的对应点位置不可以是B、C、D.
A.
6.(2019•镇江一模)小明根据右表,作了三个推测:
x
2
1
10
1.1
1000
1.001
10000
1.0001
(1)2(x>0)的值随着x的增大越来越小;
(2)2(x>0)的值有可能等于1;
(3)2(x>0)的值随着x的增大越来越接近于1;
则推测正确的是( )
A.
(1)
(2) B.
(1)(3) C.
(2)(3) D.
(1)
(2)(3)
【解析】22﹣
(1)=1,
(1)当x>0时,会随着x的增大而减小.
所以,1会随着x的增大而减小,故
(1)对;
(2)不为0,故,1的值不可能等于1,故
(2)不对;
(3)又因为当x>0时,0,所以11,且会随着x的增大而越来越接近1,故正确.
7.(2019•鼓楼区校级模拟)甲、乙二人分别从A、B两地同时出发,相向而行,在C地相遇后,甲又经过t1小时到达B地,乙又经过t2小时到达A地,设AC=S1,BC=S2,那么t1:
t2等于( )
A.S1:
S2 B.
C.S2:
S1 D.
【解析】设甲的速度为v甲,乙的速度v乙,
由相遇时的时间相同,可得,即,
∴t1:
t2S22:
S12.
8.(2019•相城区校级二模)下列运算中,正确的是( )
A.3 B.(a+b)2=a2+b2
C.()2(a≠0) D.a3•a4=a12
【答案】C
(﹣3)3=﹣27,负数没有平方根,故A错误;
(a+b)2=a2+2ab+b2,故B错误;
()2,故C正确;
a3•a4=a7,故D错误.
9.(2019•宿迁三模)若(2x+1)4=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4,则a0+a2+a4的值为( )
A.82 B.81 C.42 D.41
【解析】令x=1,得34=a0+a1+a2+a3+a4,①
令x=﹣1,得1=a0﹣a1+a2﹣a3+a4,②
①+②得:
2(a0+a2+a4)=82,
则a0+a2+a4=41,
10.(2019•昆山市一模)若2x﹣3y2=3,则1﹣xy2的值是( )
A.﹣2 B. C. D.4
【解析】∵2x﹣3y2=3,
∴xy2,
则原式=1﹣(xy2)
=1
二.填空题(共10小题)
11.(2019•海州区校级模拟)某市在一次扶贫活动中,共捐款21900000元,将2190000科学记数法表示为 .
【答案】2.19×
106.
【解析】2190000=2.19×
106,
2.19×
12.(2019•工业园区校级二模)当x=1时,代数式ax3+bx+1的值为5,则代数式4﹣a﹣b的值= .
【答案】0
【解析】由题意得,a+b+1=5,
∴a+b=4,
当a+b=4时,
原式=4﹣(a+b)
=4﹣4
=0.
故答案为0.
13.(2019•常熟市二模)若a+b=4,a﹣b=1,则(a+2)2﹣(b﹣2)2的值为 .
【答案】20
【解析】∵a+b=4,a﹣b=1
∴(a+2)2﹣(b﹣2)2=[(a+2)+(b﹣2)][(a+2)﹣(b﹣2)]=(a+b)(a﹣b+4)=4×
(1+4)=20
20
14.(2019•建邺区校级二模)计算()2的结果是 .
【答案】.
【解析】原式2
2
故答案为.
15.(2019•玄武区二模)分解因式(a﹣b)(a﹣9b)+4ab的结果是 .
【答案】
(a﹣3b)2.
(a﹣b)(a﹣9b)+4ab
=a2﹣9ab﹣ab+9b2+4ab
=a2﹣6ab+9b2
=(a﹣3b)2.
16.(2019•兴化市二模)已知:
a﹣b=b﹣c=1,a2+b2+c2=2,则ab+bc+ac的值等于 .
【答案】﹣1.
【解析】∵a﹣b=b﹣c=1,
∴a﹣c=2,
∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac(2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac)[(a﹣b)2+(b﹣c)2+(c﹣a)2]=3,
∴ab+bc+ac=a2+b2+c2﹣3=2﹣3=﹣1;
﹣1.
17.(2019•常州一模)已知分式的值为2,且y≠﹣1,则分式的值为 .
【答案】2
【解析】,
3x=2x+2y,
x=2y,
∴原式2,
2.
18.(2019•高邮市一模)对于每个正整数n,设g(2n)表示2+4+6+…+2n的个位数字.如:
当n=1时,g
(2)表示2的个位数字,即g
(2)=2;
当n=2时,g(4)表示2+4的个位数字,即g(4)=6;
当n=4时,g(8)表示2+4+6+8的个位数字,即g(8)=0.则g
(2)+g(4)+g(6)+…+g(2022)的值为 .
【答案】2022.
【解析】g
(2)=2,
g(4)=6,
g(6)=2,
g(8)=0,
g(10)=0,
…
从10以后,每5组就是一组循环,
∵g
(2)+g(4)+g(6)+g(8)+g(10)=10,
又∵g
(2)+g(4)+g(6)+…+g(2022)有202组余下g(2022),
根据规律可得g(2022)=2,
∴g
(2)+g(4)+g(6)+…+g(2022)=202×
10+2=2022.
故答案为2022.
19.(2019•姑苏区校级二模)已知x+y=2,则5﹣x﹣y的值是 .
【答案】3
【解析】∵x+y=2,
∴5﹣x﹣y=5﹣(x+y)=5﹣2=3.
故答案是:
3.
20.(2019•徐州二模)如图所示,将形状、大小完全相同的“•”和线段按照一定规律摆成下列图形.第1幅图形中“•”的个数为a1,第2幅图形中“•”的个数为a2,第3幅图形中“•”的个数为a3,…,以此类推,则的值为 .
三.解答题(共6小题)
21.(2019•建湖县二模)先化简,再求值:
【答案】﹣9
22.(2019•宜兴市二模)
(1)计算:
(1)﹣3;
(2)=ab.
23.(2019•宿豫区模拟)计算:
﹣12020()﹣2﹣2sin60°
【答案】1
【解析】原式=﹣1﹣
(2)+4
=﹣1﹣24
24.(2019•海陵区校级三模)
(1)计算:
|﹣1|
(1)原式=11+4
=11+2
;
(2)原式[]
[]
=a.
25.(2019•工业园区校级二模)先化简,再求值:
,其中x=﹣3+2.
【解析】原式•
当x=﹣3+2时,
原式
26.(2019•宿豫区模拟)先化简,再求值:
(x﹣1),其中x的值从不等
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