学年高一数学北师大版必修4学案12 角的概念的推广Word文档下载推荐.docx
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答 经过10小时,时针旋转形成的角是-300°
,分针旋转形成的角是-3600°
探究点二 象限角与终边落在坐标轴上的角
思考1 如果把象限角定义中的“角的始边与x轴的非负半轴重合”改为“与x轴的正半轴重合”行不行,为什么?
答 不行,因为始边包括端点(原点).
思考2 是不是任意角都可以归结为是象限角,为什么?
答 不是,一些特殊角终边可能落在坐标轴上;
如果角的终边落在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限.
思考3 终边落在坐标轴上的角经常用到,下表是终边落在x轴、y轴各半轴上的角,请完成下表.
α终边所在的位置
角α的集合
x轴正半轴
{α|α=k·
,k∈Z}
x轴负半轴
+180°
y轴正半轴
+90°
y轴负半轴
+270°
思考4 下表是终边落在各个象限的角的集合,请补充完整.
α终边所在
的象限
第一象限
{α|k·
<
α<
k·
第二象限
第三象限
第四象限
-90°
探究点三 终边相同的角
思考1 在同一直角坐标系中作出390°
,-330°
,30°
的角,并观察这三个角终边之间的关系?
角的大小关系?
答 如图所示,三个角终边相同.相差360°
的整数倍.
思考2 对于任意一个角α,与它终边相同的角的集合应如何表示?
答 所有与α终边相同的角,连同α在内,可以构成一个集合:
S={β|β=α+k·
,k∈Z},即任何一个与角α终边相同的角,都可以表示成角α与周角整数倍的和.
思考3 集合S={α|α=k·
-30°
,k∈Z}表示与角-30°
终边相同的角,其中最小的正角是多少度?
已知集合S={α|α=45°
+k·
180°
,k∈Z},则角α的终边落在坐标系中的什么位置?
答 330°
第一或第三象限的角平分线上.
小结
(1)终边相同的角相差360°
的整数倍.因此,所有与角α终边相同的角(连同角α在内)的集合S={β|β=α+k·
,k∈Z}.
(2)终边相同的角不一定相等,但是相等的角终边一定相同,终边相同的角有无数多个,它们相差360°
例1 在0°
范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判定它们是第几象限角.
(1)-150°
(2)650°
(3)-950°
15′.
解
(1)因为-150°
=-360°
+210°
,所以在0°
范围内,与-150°
角终边相同的角是210°
角,它是第三象限角.
(2)因为650°
=360°
+290°
范围内,与650°
角终边相同的角是290°
角,它是第四象限角.
(3)因为-950°
15′=-3×
+129°
45′,所以在0°
范围内,与-950°
15′角终边相同的角是129°
45′角,它是第二象限角.
反思与感悟 解答本题可先利用终边相同的角的关系:
β=α+k·
,k∈Z,把所给的角化归到0°
范围内,然后利用0°
范围内的角分析该角是第几象限角.
跟踪训练1 判断下列角的终边落在第几象限内:
(1)1400°
(2)-2014°
解
(1)1400°
=3×
+320°
,∵320°
是第四象限角,
∴1400°
也是第四象限角.
(2)-2014°
=-6×
+146°
,∴-2014°
与146°
终边相同.∴-2014°
是第二象限角.
例2 写出终边在y轴上的角的集合S.
解 所有与90°
角终边相同的角构成集合
S1={β|β=90°
所有与270°
S2={β|β=270°
于是,终边在y轴上的角的集合S=S1∪S2
={β|β=90°
,k∈Z}∪{β|β=270°
+2k·
,k∈Z}∪{β|β=90°
+(2k+1)·
+n·
,n∈Z}.
反思与感悟 利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合,如果集合能化简的还要化成最简.
跟踪训练2 写出终边落在x轴上的角的集合S.
解 S={α|α=k·
,k∈Z}∪{α|α=k·
={α|α=2k·
,k∈Z}∪{α|α=(2k+1)·
={α|α=n·
例3 写出终边落在直线y=x上的角的集合S,并把S中适合不等式-360°
≤β<
720°
的元素β写出来.
解 直线y=x与x轴的夹角是45°
,在0°
范围内,终边在直线y=x上的角有两个:
45°
,225°
.因此,终边在直线y=x上的角的集合:
S={β|β=45°
,k∈Z}∪{β|β=225°
={β|β=45°
,k∈Z}∪{β|β=45°
,k∈Z}={β|β=45°
∴S中适合-360°
的元素是:
-2×
=-315°
-1×
=-135°
+0×
=45°
+1×
=225°
+2×
=405°
+3×
=585°
反思与感悟 当角的集合的表达式分两种或两种以上情形时,能合并的尽量合并,注意,把最后角的集合化成最简的形式.
跟踪训练3 求终边在直线y=-x上的角的集合S.
解 由于直线y=-x是第二、四象限的角平分线,在0°
间所对应的两个角分别是135°
和315°
,
从而S={α|α=k·
+135°
+315°
,k∈Z}={α|α=2k·
,k∈Z}={α|α=n·
1.-361°
的终边落在( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
答案 D
2.下列各角中与330°
角终边相同的角是( )
A.510°
B.150°
C.-150°
D.-390°
3.若角α满足180°
,角5α与α有相同的始边,且又有相同的终边,那么角α=________.
答案 270°
解析 由于5α与α的始边和终边相同,所以这两角的差应是360°
的整数倍,即5α-α=4α=k·
.又180°
,得k=3,得α=270°
4.写出终边落在坐标轴上的角的集合S.
解 ∵终边落在x轴上的角的集合:
S1={β|β=k·
,k∈Z};
终边落在y轴上的角的集合:
S2={β|β=k·
∴终边落在坐标轴上的角的集合:
S=S1∪S2={β|β=k·
,k∈Z}∪{β|β=k·
,k∈Z}={β|β=2k·
90°
,k∈Z}∪{β|β=(2k+1)·
,k∈Z}={β|β=n·
[呈重点、现规律]
1.对角的理解,初中阶段是以“静止”的眼光看,高中阶段应用“运动”的观点下定义,理解这一概念时,要注意“旋转方向”决定角的“正负”,“旋转量”决定角的“绝对值大小”.
2.关于终边相同角的认识
注意:
(1)α为任意角;
(2)k·
与α之间是“+”号,k·
-α可理解为k·
+(-α);
(3)相等的角终边一定相同;
终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无数多个,它们相差360°
的整数倍;
(4)k∈Z这一条件不能少.
一、基础过关
1.设A={θ|θ为锐角},B={θ|θ为小于90°
的角},C={θ|θ为第一象限的角},D={θ|θ为小于90°
的正角},则下列等式中成立的是( )
A.A=BB.B=C
C.A=CD.A=D
2.与405°
A.k·
-45°
,k∈ZB.k·
,k∈Z
C.k·
+45°
,k∈ZD.k·
答案 C
3.
如图,终边落在直线y=±
x上的角α的集合是( )
A.{α|α=k·
B.{α|α=k·
C.{α|α=k·
D.{α|α=k·
4.若α是第四象限角,则180°
-α是( )
A.第一象限角B.第二象限角
C.第三象限角D.第四象限角
解析 可以给α赋一特殊值-60°
则180°
-α=240°
,故180°
-α是第三象限角.
5.与2013°
角的终边相同的最小正角是________,绝对值最小的角是________.
答案 213°
-147°
解析 与2013°
角终边相同的角为2013°
(k∈Z).当k=-5时,213°
为最小正角;
当k=-6时,-147°
为绝对值最小的角.
6.下列说法中,正确的是________.(填序号)
①终边落在第一象限的角为锐角;
②锐角是第一象限的角;
③第二象限的角为钝角;
④小于90°
的角一定为锐角;
⑤角α与-α的终边关于x轴对称.
答案 ②⑤
解析 终边落在第一象限的角不一定是锐角,如400°
的角是第一象限的角,但不是锐角,故①的说法是错误的;
同理第二象限的角也不一定是钝角,故③的说法也是错误的;
小于90°
的角不一定为锐角,比如负角,故④的说法是错误的.
7.在与角-2013°
终边相同的角中,求满足下列条件的角.
(1)最小的正角;
(2)最大的负角;
(3)-720°
~720°
内的角.
解
(1)∵-2013°
+147°
∴与角-2013°
终边相同的最小正角是147°
(2)∵-2013°
=-5×
+(-213°
),
终边相同的最大负角是-213°
(3)∵-2013°
∴与-2013°
终边相同也就是与147°
终边相同.
由-720°
≤k·
,k∈Z,解得:
k=-2,-1,0,1.代入k·
依次得:
-573°
,-213°
,147°
,507°
二、能力提升
8.集合{α|k·
≤α≤k·
,k∈Z}中,角所表示的范围(阴影部分)正确的是( )
9.在-180°
范围内,与2000°
角终边相同的角为______.
答案 -160°
,200°
解析 ∵2000°
=200°
+5×
2000°
=-160°
+6×
∴在-180°
范围内与2000°
角终边相同的角有-160°
两个.
10.已知角α,β的终边关于y轴对称,若α=30°
,则β=________.
答案 150°
解析 ∵30°
与150°
的终边关于y轴对称,
∴β的终边与150°
角的终边相同.
∴β=150°
,k∈Z.
11.已知角x的终边落在图示阴影部分区域,写出角x组成的集合.
解
(1){x|k·
-135°
≤x≤k·
(2){x|k·
+30°
+60°
,k∈Z}∪{x|k·
+240°
={x|2k·
≤x≤2k·
,k∈Z}∪{x|(2k+1)·
≤x≤(2k+1)·
={x|n·
≤x≤n·
12.已知角β的终边在直线
x-y=0上.
(1)写出角β的集合S;
(2)写出S中适合不等式-360°
β<
的元素.
解
(1)如图
,直线
x-y=0过原点,倾斜角为60°
范围内,终边落在射线OA上的角是60°
,终边落在射线OB上的角是240°
,所以以射线OA、OB为终边的角的集合分别为:
S1={β|β=60°
,k∈Z},
S2={β|β=240°
所以,角β的集合S=S1∪S2={β|β=60°
,k∈Z}∪{β|β=60°
={β|β=60°
,k∈Z}={β|β=60°
(2)由于-360°
,即-360°
60°
,n∈Z.解得-
n<
,n∈Z,所以n=-2,-1,0,1,2,3.
所以S中适合不等式-360°
的元素为:
=-300°
=-120°
=60°
=240°
=420°
=600°
三、探究与拓展
13.若α是第一象限角,问-α,2α,
是第几象限角?
解 ∵α是第一象限角,
∴k·
(k∈Z).
(1)-k·
-α<
-k·
(k∈Z),
∴-α所在区域与(-90°
,0°
)范围相同,故-α是第四象限角.
(2)2k·
2α<
2k·
∴2α所在区域与(0°
,180°
)范围相同,
故2α是第一、二象限角或终边在y轴的非负半轴上.
(3)k·
120°
方法一 (分类讨论)当k=3n(n∈Z)时,
∵n·
n·
(n∈Z),
∴
是第一象限角;
当k=3n+1(n∈Z)时,∵n·
+120°
+150°
(n∈Z),∴
是第二象限角;
当k=3n+2(n∈Z)时,∵n·
是第三象限角.
综上可知:
是第一、二或第三象限角.
方法二 (几何法)如图,先将各象限分成3等份,再从x轴的非负半轴的上方起,依次将各区域标上1,2,3,4,则标有1的区域即为
终边所落在的区域,故
为第一、二或第三象限角.
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